2013年数学建模A题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响模型

摘要（黑体不加粗四号居中）

（摘要正文小4号，写法如下）

内容要点：

1、研究目的：本文研究……问题。

2、建立模型思路、：首先，本文……。

然后针对第一问……问题，本文建立……模型：

在第一个……模型中，本文对哪些问题进行简化，利用什么知识建立了什么模型

在第二个……模型中，本文对哪些问题进行简化，利用什么知识建立了什么模型

3、求解思路，使用的方法、程序

针对模型的求解，本文使用什么方法，计算出，并只用什么工具求解出什么问题，进一步求解出什么结果。

4、建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验等）

5、在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性

6、最后，本文通过改变，得出什么模型。

关键词：结合问题、方法、理论、概念等

一、问题重述（第二页起黑四号）

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：

1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实

际通行能力的变化过程。

2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占

车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与

事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段

下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长

度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

二、问题分析

内容要点：什么问题、需要建立什么样的模型、用什么方法来求解

问题一的分析：

问题：描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

分析：道路通行能力是指在一定的道路条件，交通条件和服务水平的情况下，单位时间能够通过车道上某截面处的最大交通流量。而事故发生后通过事故横断面处的车流量基本为饱和车流量，所以本题中把实际通行能力近似看作道路断面处单位时间的车流量。通过对视频进行实时数据采集，每隔30秒对视频中的通过断面车流量进行统计，即得到事故处横断面的实际通行能力数据，然后绘制事故所处横断面实际通行能力的变化图。根据图形分析实际通行能力的变化趋势。

问题二的分析：

问题：分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

分析：运用相同的统计方法对视频二中的数据进行采集，绘制实际通行能力的变化图。比较两幅图的区别分析对横断面实际通行能力影响的差异，事故下游三条车道的车流量比例决定了驶入上游不同车道的车流辆比例，会使得到达事故横断面的车辆需要变换车

道的车辆在数量上会有所不同，从而影响事故横断面实际通行能力，另外视频1的行车时间和视频二的行车时间不同，所以下班高峰期可能会影响事故横断面实际通行能力。问题三的分析：

问题：构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

分析：排队长度是与事故持续时间，上游车流量，事故处横断面的实际通行能力有关的。上游车流量越大事故横断面实际通行能力越小，排队长度越长，而因为红绿灯的原因，事故持续时间对排队长的影响是周期性变化的：上游路口绿灯亮时事故上游车流量突然增大，容易在事故横断面形成堵塞从而形成排队；而红灯亮时事故上游只有小区路口，上游右转车辆进入事故路段，两处的车流量总和不大，一般小于事故横断面处的通行能力，所以队长缩短，排队逐渐消失。所以把时间分为60秒一个周期，在一个周期内建立交通波模型与排队模型，用计算机仿真的方法计算出排队长度。

问题四的分析：

问题：视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

分析：事故所处横断面距离上游路口的距离由240米变为140米，会导致车辆平均到达事故处的时间减小。从而导致队伍更容易形成与延长。上游车流量转化为以60秒为周期的随机到达的车流量。所以对问题三的模型做适当修改，根据计算机仿真模拟算出排队到达路口的时间。

三、模型假设与约定

内容要点：

1、根据题目中条件作出假设

2、根据题目中要求作出假设

写作要求：

细致地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。将一些问题理想化、简单化。

1、论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解

2、所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立模型无关的假设只会扰乱读者的思考

3、假设应验证其合理性。假设的合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设，或者由观察所给数据的图象，得到变量的函数形式，也可以参考其他资料由类推得到。对于后者应指出参考文献的相关内容

1.因为二轮机动车所占空间小，比较灵活所以不考虑电瓶车与摩托车。

2.离事故发生点较远的小区路口车流量很少，忽略不计。

3.事故上游红灯过后，到来的车辆分布均匀。

四、符号说明及名词定义

内容要点：包括建立方程符号、及编程中用到的符号等

五、模型建立

内容要点：

1、模型一

2、模型二

3、模型三

对于每一个模型的建立，需要写出的内容：问题分析→公式推导→基本模型→最终或简化模型。基本模型要有数学公式、方案等。简化模型要明确说明简化思想、依据。 写作要点：

5.1基于问题三排队模型 5.1.1 问题分析

将道路系统模拟为服务系统,则道路瓶颈处的车道数即可比拟为服务台数,事故处横断面可以看作服务台，题目中显然只有一个服务台，一个服务台处每次只允许一辆车通过。车辆的到达一般满足泊松分布即到达时间间隔服从负指数分布，因为事故路段上游红绿灯的原因，车辆到达的时间间隔随时间的变化服从负指数分布的参数不同。需要分别计算。而服务的时间分布模型未知，需要通过模型计算拟合其分布规律。 5.1.2 建立排队模型

由问题分析知排队模型为：

单服务台模型(即M/G/1/∞/∞ 或 M/G/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;

服务时间:一般(参数为μ:服务率)分布;

服务台数: 1; 系统容量: 无限;

排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS.

考虑到到达的车辆受上游红绿灯的影响到达时间间隔T 的概率密度函数为：

1t

301floor 1t f e λλ-=+≠ 当（-1）0

2t

302floor =t

f e

λλ-= 当（-1）0

对任何情形下面关系都是正确的

E （系统中顾客数）=E （队列中顾客数）+E （服务机构中顾客数） E （在系统中逗留时间）=E （排队等待时间）+E(服务时间) 其中E （）表示求期望值，用符号表示上面关系式：

s q se l l l =+()

s q w w E T =+

s s l w λ=q q

l w λ=

对于M/G/1模型，服务时间T 的分布是一般的，其他条件和标准的M/M/1模型相同，其

()E T ρλ=中

pollaczek Khintchine -由（P-K ）公式，有

22var()

2(1)

s T l ρλρρ+=+-

只要知道,()var()E T T λ和不管T 是什么分布，就可求出s l

根据问题一的统计数据，排队模型也近似为M/D/1模型

对于一个M/D/1排队系统，服务时间T 是定长分布，排队系统的各项指标如下： 队长的均值为：

2

2

()2(1)2(1)s a l a a ρλρλρλ=+=+

--

其中

a ρλ=，a 为服务时间

平均逗留时间为：

22(1)s s l a w a a a λλ==+

-

平均排队等待队长为：

2()2(1)q a l a λλ=

-

排队等候的时间的均值为：

2

2(1)q a w a λλ=

-

5.2基于问题三交通波模型 5.2.1 问题分析

排队长度是与事故持续时间，上游车流量，事故处横断面的实际通行能力有关的。上游车流量越大事故横断面实际通行能力越小，排队长度越长，而因为红绿灯的原因，事故

持续时间对排队长的影响是周期性变化的：上游路口绿灯亮时事故上游车流量突然增大，容易在事故横断面形成堵塞从而形成排队；而红灯亮时事故上游只有小区路口，上游右转车辆进入事故路段，两处的车流量总和不大，一般小于事故横断面处的通行能力，队长缩短，排队逐渐消失。

车流在运行过程中，遇到道路封闭、交通事故时会造成一条或几条车道堵塞，在信号交叉口遇到红灯情况时，车流密度会即时增大，产生于车流运行方向相反的停车波，形成排队现象。如图(4-17)为某道路瓶颈处,交通高峰时,交通波形成过程和消散过程现象（瓶颈前为三条车道,瓶颈处缩为 1条车道）。

图 4-17 道路瓶颈位置的交通波集结和消散过程

1)交通高峰来临时,由于需求超过瓶颈处通行能力,因此在瓶颈位置车辆开始排队形成向后方传播的交通集结波,图 4-17 中 1 所示;

2)随着时间的延续,高峰开始散退,当需求等于瓶颈处通行能力时,队尾流入车流量等于排队前方的流出车流量,因此队尾处形成静止的交通波,即不前移也不 后退,如图 4-17 中 2 所示;

3)此后,需求继续降低到小于瓶颈处的通行能力时,队尾开使前移,排队长度逐渐减少,形成向前方传播的交通消散波;

4)随着消散时间增长,当排队长度为零,没有排队时,瓶颈处输入流量等于输出流量,交通波静止。

而造成交通高峰的主要原因是上游路段的红绿灯。

5.2.2建立交通波模型 设：事故持续时间为t

在事故横断面处畅通情况下的通行能力为1b 拥堵情况下的通行能力为2b

第i 次绿灯后，到达排队系统车流量为随机变量X 则引起到达车辆的车流密度为

i X k L

建立排队长度与事故持续时间，实际通行能力，和上游车流量的模型： 根据格林希尔治公式：

1i i f j k v v k ??=-??????

式中：j k 为阻塞密度；f v 为自由流速度。 令i

i j

k k η=

，称i η为标准化密度，则有： ()001f v v η=-()1i f i v v η=-

代入波速公式：

()()00000

11i f i f i w i i k v k v q q v k k k k ηη----=

=-- 式中：0,i q q 为别为到达事故上游的车流量和驶出事故上游的车流量；0,i k k 到达事故上游的车流密度和驶出事故上游的车流密度。

整理得：

()01w f i v v ηη=-+????

经过时间0t 当车到达事故断面时由于减速而产生的波以速度w v 向后传播，经过1t 时间后对排队系统来说新增加的车队长为

'1

i w l v t =

式中（1t

）为从事故上游车队头一辆车到达队尾的时间算起，车队尾部的一辆车到达队尾的时间，即头一辆车因减速产生的波振面与队尾相遇的时间。0t

为绿灯亮后到开

始排队的时间。 第i 次绿灯前：

因为引起道路堵塞原因主要是上游主干道的车辆，又由于问题一统计数据得到小区路口和上游右转车辆的车流量很小，所以红灯期间到达的车辆视为均匀到达。

系统已存在的排队长为'i l 所以在绿灯前的一段时间里所形成的排队长与时间和实际通行能力的关系为：

''112122(())i i l l f b t t μμ=--+''i l f N <（） '''22122(())i i l l f b t t μμ=--+''()i l f N >

式中12,b b 分别为事故处横断面畅通与堵塞的实际通行能力；12,μμ分别为小区路口

与上游右转车辆的平均到达率；N 为判定事故处畅通与拥堵的车辆数；max （2t ）为红灯亮后上游车队的最后一辆车到达队尾与下一次绿灯亮时经过的时间。f 为排队长与车辆数的换算关系：0()/3f N N k =

通过一次次的递推得到经过时间t ，第n 次绿灯后的事故上游的排队长度。 根据以上公式条件设计计算机仿真算法。 5.3 基于问题4的计算仿真模型 5.3.1问题分析：

事故所处横断面距离上游路口的距离由240米变为140米，会导致车辆平均到达事故处的时间减小。从而导致队伍更容易形成与延长。上游车流量转化为以60秒为周期的随机到达的车流量。所以对问题三的模型做适当修改，根据计算机仿真模拟算出排队到达路口的时间。

5.3.2 建立仿真模型

因为上游车流量为1500pcu/h ，所以每分钟内到达事故路段的车流量期望为25，根据第三题的数据统计假设到达事故路口的车流量的方差为3.2所以在计算达到排队系统车流量时随机变量X 服从(25, 3.2)μσ==的正态分布

对比问题三模型，事故横断面处的通行能力不变，而一个周期内红灯过后，上游车队车头到达事故处的时间变短，体现在问题3模型中为一个60秒周期内排队开始的时间

0t 的减小。减小量为(240140)/i v -，其他情况和模型3相同。

六、模型求解

问题一的求解：

由视频一采集的数据如下表：

表

小汽车数+大客车数

根据采集到的数据绘制附件一中的道路通行能力图

注：图中两条虚线表示事故开始点与事故结束点

图1 附件一中事故横断面处实际通行能力变化图

实际通行能力变化的描述：

在道路畅通的时候车辆均能保持正常的速度行驶，车流密度是一个定值，道路的通行能力主要是由道路宽度决定的。而在道路堵塞的时候，通行能力更多的受到车辆间相互的影响，比如在事故横断面处，大家争着先过就会导致进一步拥堵，从而降低了道路通行能力。而这时后影响道路通行能力的有车主很大的主观因素，过于复杂。所以直接把单位时间通过事故横断面处的车流量当作实际通行能力，既简化了分析，也有一定的合理性。

从图中可以看到事故横断面处实际通行能力随着事故持续时间成周期性变化：事故开始后，上游到达的车辆会在事故横断面处减速，此时车头间距减小，车流密度增大。如果上游是红灯到达的车辆不多，车辆还是可以保持畅通，以较低的速度通过事故横断面处。如果上游是绿灯到达的车流量增大，很有可能在事故横断面处形成排队，上游到达的车流量越多形成的排队越长。而形成排队后事故横断面处的实际通行能力降到最低。

事故期间，事故处横断面的最大通行能力为1440pcu/h ，最小通行能力为600pcu/h ，平均通行能力为1070pcu/h 。

0500

10001500

附件一道路通运能力统计

时间 单位：s

道路实际通运能力 单位：p c u /h

问题二的求解：

小汽车数+大客车数

图2 附件二中事故横断面处实际通行能力变化图

实际通行能力变化的描述：

与附件一中的通行能力的变化情况相似，附件二中事故处横断面的实际通行能力是随着事故持续时间成周期性变化的。在整个事故期间，事故处横断面的实际通行能力最大值为2100pcu/h ，最小值为480pcu/h ，平均值为1234pcu/h 。 差异分析：

0500

1000150020002500

附件二道路通运能力统计

时间 单位：s

道路实际通运能力 单位：p c u /h

事故时间范围内，道路实际通行能力为：1182pcu/h

事故时间范围内，道路实际通行能力为：1231pcu/h

1、模型一的求解

2、模型二的求解

模型二排队长度与事故处实际通行能力，上游车流量，事故持续时间直接的关系是一个实时的动态过程，需要计算机仿真t 时刻的排队长度，故写出计算机模拟的算法步骤。

计算机仿真模拟算法：

Step1：第一次绿灯亮后的到达车流量X 。

Step2：根据队长与时间和事故处通行能力的关系计算因车流量X 而引起的排队长。 Step3: 上游车队最后一辆车进入排队后系统中的剩余队长计入下阶段。

Step4：计入上一阶段的剩余队长再根据排队长度与时间和事故处实际通行能力的

关系计算红灯亮后因小区路口与上游路口车流量引起的队长

Step4：计算下一次绿灯亮之前系统中排队长度

0500

1000150020002500

道路通运能力统计

时间 单位：s

道路实际通运能力 单位：p c u /h

Step5：转到step1

算法中任何时候队长小于N时通行能力为b1，队长大于N时通行能力为b2，算法中每过1秒记录一次排队状态，当事故开始时间t后算法停止

算法流程图

图

运用matlab编程，计算机仿真后的输出结果：

3、基于问题4计算机仿真模型的求解：

利用问题3模型的计算机仿真程序，根据问题4的模型作必要的修改后求解得到下图：

每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称

写作要求：

1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密

2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称

3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出

4、设法算出合理的数值结果

5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的

6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进

7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出

8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据

9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析

▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式

▲求解方案，用图示更好

10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确

七、模型检验

内容要点：结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示

写作要求：

1、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的

2、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进

3、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出

4、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据

5、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析

▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式

▲求解方案，用图示更好

八、模型评价

内容要点：

1、优点

2、缺点（结合模型假设）

3、改进方法

写作要求：

优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。

九、模型推广

结合社会实际问题

十、参考文献

(书写格式如下)

[1] 作者名1,作者名2.文章名字.杂志名字，年，卷（期）：起始页码-结束页码

[2] 作者名1,作者名2.书名.出版地：出版社，年，起始页码-结束页码

[3] 作者名1,作者名2.文章名字. 年，卷（期）：起始页码-结束页码，网页地

址。

[4]徐慧智，程国柱等.车道变换行为对道路通行能力影响的研究.2010.

[5] 黄华华，蔡冬军。车头时距对道路通行能力的修正系数研究.2011.

[6] 胡章立，贺平.城市道路车道宽度对通行能力的影响分析。2012.

十一、附录

（正文中不许出现程序，如果要附程序只能以附件形式给出）

2006年数学建模评分参考标准：

摘要（很重要） 5分

数据筛选 35分

数学模型 35分

数据模拟 15分

总体感觉 10分

特别注意：

1、问题的结果要让评卷人好找到；显要位置---独立成段

2、摘要中要将方法、结果讲清楚；

3、可以有目录也可以不要目录；

4、建模的整个过程要清楚，自圆其说，有结果、有创新；

5、采样要足够多，每组不少于7 个；

6、模型要与数据结合，用数据验证过；

7、如果数学方法选错，肯定失败；

8、规范、整洁；总页数在35~45之间为宜。

9、必须有数学模型，同一问题的不同模型要比较；

10、数据必须有分析和筛选；

11、模型不能太复杂，若用多项式回归分析，次数以3次为好。