幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开
一、求下列幂级数的收敛区间
1. 12(21)
n
n x n n ∞
=-∑
解：12(21)
lim
lim 12(1)(21)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞-==++ 1R ?=
当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1
1
2(21)n n n ∞
=-∑收敛，
当1x =-时， 1(1)2(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛，
? 收敛区间为[1,1]-。
2. 1
1n n n -∞
=
解：11lim
2n n n n
a a +→∞== 2R ?=
当2x =
时，1
n
n ∞
=为收敛的交错级数，
当2x =-时，
111
n n n n -∞
∞===- ? 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞
=??
-+????
∑
解：11
1
1
(1)32lim
lim 3(1)32
n n n n n
n n n n
n a a ++++→∞
→∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??
- ???
。
4. 1
(23)(1)21n
n
n x n ∞
=---∑
解：121lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞-==+ 1R ?=
故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)11
1, 21212-1
2n n n n n n n n ∞
∞==--??=> ?--??∑∑发散，
当2x =时， 1
(1)21n
n n ∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为(1,2]。
5.
1
ln(1)
(1)1n n n x n ∞
=+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim
lim 1(2)ln(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==++ 1R ?=
故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为
1
ln(1)ln lim lim lim 01
1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，
2
ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1
(1)ln(1)
1n n n n ∞
=-++∑收敛，
当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11112n n n n +>>++ 所以1
ln(1)
1n n n ∞
=++∑发散，
? 收敛区间为[0,2)。 6. 211(1)(1)4
n
n n
n x n ∞
-=--∑
解：212
1211(1)41lim lim 1
(1)(1)44n n n n n n n n
u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当
2
111124
x x -
11(1)1(1)(11)42n n n n
n n n n -∞
∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 21
11(1)1(1)(31)4
2n n n n
n n n n ∞
∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数
1. 121
1
(1)21n n n x n +-∞
=--∑
解：212
121(21)lim lim (21)n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞-==+
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =-时， 121
11(1)(1)(1)2121
n n n n n n n +∞
∞
-==---=--∑∑
为收敛的交错级数， 当1x =时， 1
1
(1)21n n n +∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为[1,1]-。
令121
1
(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞
=-=?=-∑
1222201
11
()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).
x n n n S x x S x S dt x x t
S x x x ∞
+-='?=-=
?-==++?=≤∑? 2.
21
1
2n n nx
∞
-=∑
解：212
121(22)lim lim 2n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞+== 故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =-时，
21
11
2(1)
2n n n n n ∞
∞
-==-=-∑∑发散，
当1x =时，
1
2n n ∞
=∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。
令21
1
()2(0)0n n S x nx
S ∞
-==
?=∑
2
21
220
11
2
22
()212()(||1).11x
x
n n
n n x S t dt nt
dt x x x x
S x x x x
∞
∞
-==?===
-'???==< ?--??∑∑??
3.
1
(1)n
n n n x
∞
=+∑
解：1(1)(2)
lim
lim 1(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==+ 1R ?=
当1x =时，
1
(1)n n n ∞
=+∑发散；当1x =-时，1
(1)(1)
n
n n n ∞
=+-∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。
令1
()(1)(0)0n
n S x n n x
S ∞
==
+?=∑
1
2
1
1
1
1
22
22
1223
()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)x
x
n
n n n n n n n S t dt n n t dt nx
x
nx
x x x x x x x x x
S x x x x ∞
∞
∞
+-===∞=?=+==''????=== ? ?--????
'???==< ?--??
∑∑∑??∑
4.
22
1
(21)2n n n x
n ∞
-=-∑
解：22
122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n n
u x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =±时， 11211122n n n n n ∞
∞==-??=- ??
?∑∑（通项不趋于零）发散，
? 收敛区间为(1,1)-。
令221
211()(0)22n n n S x x S n ∞
-=-=
?=∑ 22212110011
12112
1
211111
()()(0),(0)0
222()(||1)1x
x
n n n n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n x x
S x x x x ∞
∞
∞--===∞
-=-?===≠='?==<-∑∑∑??∑
21120211
()(0)ln(1)12
1
()ln(1)
2
x
t S x S dt x t S x x ?-==---?=--?
2222
ln(1)1ln(1)
0 , ()212x x x S x x x x '??--?≠=-=+ ?-??
时 故
222
1ln(1), 0||112()1 , 02
x x x x S x x ?-+<
211
1111111()121212n n n n n n S x x x x n x n x x n ∞
∞
∞--===?
?=-=-=- ?--??∑∑∑ 三、求下列级数的和
1. 221
11
12322323n n n n n n n n n -∞
∞∞======??
∑∑ 也可以考虑利用幂级数
1
21
11(||1)1(1)
n n n n x nx
x x x x ∞
∞-==''
????===< ? ?--????∑∑
? 1
11221213
3
3332113n n n n n n -∞
∞==??
==
= ?
????- ???
∑∑ 2. 1111(1)11
1(1)(21)(21)
22121n n n n n n n n -∞
∞-==-??=-- ?-+-+??∑∑
1
1111111(1)(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑
1
121111(1)(1)221221
n k
n k n k ∞∞-===-----∑∑ 1
111
(1)212n n n ∞
-==---∑
1arctan12
142
π
=-
=-
四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x f x a a a =>≠ 解：()
()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f
x a a f a =?=
()0
(0)(ln )!!n n n n
n n f a x x n n ∞
∞==?=∑
∑， 1ln lim
lim 01
n n n n a a R a n +→∞
→∞==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由 (1)11
111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!
(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因x
a θ有界，11
(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0
(ln )!n n n a x n ∞
=∑
()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。?x
a =0
(ln )!n n
n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞。
2. ()sin
2
x
f x =
解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212
n n k
n n k n k
n x n f x f n k ππ+=????
=+?==?- ?=+??
?? ()21210
0(0)(1)!2
(21)!n n
n n n n n f x x n n ∞
∞++==-?=+∑
∑， 由 2321123212(21)!
lim lim 02(23)!n n n n n n n n
u x n R u n x +++++→∞→∞+==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由
2323232323
sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!
n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+??+ ?
??=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数21210(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以 对任意的x 上式均成立。?sin 2
x =
2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞。 五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数
常用幂级数展式：
（1）0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
（2）21
sin (1), ()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑
（3）20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑
（4）0
(1)(1)
(1)1, (11)!
n n n x x x n α
ααα∞
=?-??-++=+
-<<∑
022
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n
n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
（6）1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ （7）212110
1arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式
已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。
1．2
()x f x e -=
解：由0()!
n t
n t e t n ∞
==-∞<<+∞∑，令2
t x =-得
2
20
(1)()!n
x n
n x e
x n ∞
-==--∞<<+∞∑。
2. ()sin 2f x x =
解：由21
sin (1)()(21)!n n
n t t t n +∞
==--∞<<+∞+∑，令2t x =得
21
(2)sin 2(1)()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑。
3. 2
()sin f x x =
解：由20
cos (1)()(2)!n
n
n t t t n ∞
==--∞<<+∞∑，及()21sin 1cos 22x x =-令2t x =得
222
1011(2)(2)sin 1(1)(1)()2(2)!2(2)!n n n n n n t t x x n n ∞∞
+==??=--=--∞<<+∞?????∑∑。 4. ()arctan f x x =
解：22
1()(1)(11)1n n
n f x x x x ∞='==--<<+∑?
21220000
1arctan (1)(1)(11)121n x
x n n n n n x x dt t dt x t n +∞∞====-=--≤≤++∑∑??
1x =±时，均为收敛的交错级数。 5. 1
()52f x x
=-
解：由01(||1)1n n t t t ∞
==<-∑及111
()252515
f x x x
==
--，令25t x =得 0122
5
(), (1||)
52552
n
n n f x x x x x ∞
=?
?==
?-??
∑
6. ()ln(f x x =
11
13(21)(21)!!1(1)1(1)(11)24(2)(2)!!n n
n n n n n n t t t n n ∞∞
==???--=+-+--<≤???∑∑ ，得
21(21)!!()1(1)(||1)(2)!!n n n n f x x x n ∞
=-'===+-≤∑?
(
20
0121
1
(21)!!ln (1)(2)!!
(21)!!(1)(||1)
(21)(2)!!x
x n
n
n n n n n x x t n n x x x n n ∞
=∞
+=-==+--=+-≤+∑?
?∑
7. 1()ln
1x
f x x
+=- 解：22
2()2(11)1n
n f x x x x ∞
='==-<<-∑? 21
200
12ln 2(11)1121n x n x x dt x x t n +∞=+==-<<--+∑?。
六、在指定点处将下列函数展开成幂级数 1. 2()ln , x f x x ==在处
解：由1
1
ln(1)(1)
(11)n
n n t t t n
∞
-=+=
--<≤∑及 22ln ln(22)ln 21ln 2ln 122x x x x --????
=+-=+=++ ? ????
?，令22x t -=得
()11
11
222ln ln 2(1)ln 2(1)(04)2n
n n n n
n n x x x x n n ∞∞
--==-??
?-??=+-=+-<≤?∑∑。 2. 1(), x x f x e ==在处 解：1
(1)()!n
x
x n x e e e
e x n ∞
-=-=?=-∞<<+∞∑。
七、求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(2)n > 解：22
1
10
0()(1)
(1)k k k k k k x x f x x
k k
+∞
∞--===-=-∑∑ ()
1
22
(2)(1)(3)()(1)n k k n
k n k k k n f
x x k
∞
-+-=-+++-=
-?∑
()3
3!
(0)(1)(1)(1)(3)!2
n n n n f n n n n --=-=----。 八、设有两条抛物线21y nx n =+和2
1(1)1y n x n =+++，记它们的交点横坐标的绝对值为
n a
（1）求n a 的表达式
（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积n S （3）求级数
1n
n n
S a ∞
=∑的和 解：（1
）n a =
;
（2
）22
3114(1)13n
n a n n a S nx n x dx a n n -??=
+-+-== ?+?
??; （3）由111111
11lim lim lim 11(1)(1)1(1)n n
n n n n k k n n k k k k n n ∞
→∞→∞→∞===????==-=-= ? ?++++????
∑∑∑，得 21114414
.33(1)3n n n n n n
S a a n n ∞
∞∞======+∑∑∑
幂级数部分习题课
常用幂级数展式：
（1）0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
（2）21211
01
sin (1)(1), ()(21)!(21)!n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--∞<<+∞+-∑∑
（3）20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑
（4）0
(1)(1)
(1)1, (11)!
n n n x x x n α
ααα∞
=?-??-++=+
-<<∑
022
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n
n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑
（6）1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=
--<≤∑ （7）2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为
幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。
补充例题
一、把下列函数展成x 的幂级数
1. 2
()9x
f x x =+
解：2212
222001
()(1)(1), (33)99
93313n
n n n n n n x x
x x x f x x x x +∞∞
+==??==
=-=--<< ?+????
+ ???
∑∑。
2. ()arctan f x x x =-解：由
2210
()arctan 1arctan (1),(11)
21n n n x f x x x x
x x n +∞
='=+
+==--≤≤+∑
及(0)0f =?
22
()()(1), (11)(21)(22)n x
n
n x f x f t dt x n n +∞
='==--≤≤++∑?
。
3. 111
()ln arctan 412
x f x x x x +=
+-- 解：由424
1
111111
()11,(11)411211n n f x x x x x x x ∞
=??'=++-=-=-<< ?+-+-??∑ 及(0)0f =?
410
1()(), (11)41
n x
n x f x f t dt x n +∞
='=
=-<<+∑?
。
4. 234()ln(1)f x x x x x =++++
解：5
2
3
4
51()ln(1)ln
ln(1)ln(1)(1)1x f x x x x x x x x x
-=++++==---≠- 而
555
1
1
1
1
1
1()ln(1)(1)
,(11)()ln(1)(1),(11)n n
n n n n
n
n n n x x x x n n x x
x x n n
∞
∞
-==∞
∞
-==--=-=--≤<--=-=--≤<∑∑∑∑
故
54111
(1)(),(11)n n n n
n n n x x x f x x x n n n ∞
∞∞===-=-+=-≤<∑∑∑。
二、把下列函数在指定点展成幂级数 1. ()ln f x x =在1x =处
解：1
1
(1)()ln ln[1(1)](1)
,(02)n
n n x f x x x x n
∞
-=-==+-=-<≤∑ 2. 2
1
()32
f x x x =
++在1x =处
解：111
()(1)(2)12
f x x x x x =
=-
++++ 1
00111111(1)(1)(1),(13)112(1)222212
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑ 1
00111111(1)(1)(1),(24)123(1)333313
n
n n n n n n x x x x x x ∞∞
+==--??===-=--<< ?-++-??+∑∑故
110
1
1()(1)(1),(13)23n n n n n f x x x ∞
++=??=----<< ???∑
3. ()1x d e e f x dx x ??
-= ?-??
在1x =处
解： 1
1
01
(1)(1)!1!n x n x
x n n x e e x e ee
e e n x n -∞
∞
-==---==?=-∑∑?
2
2(1)()(1)1(2)!
x n n d e e x f x e x dx x n n -∞
=??--==≠ ?--??∑。 4. ()sin f x x =在4
x π
=处
解：由
sin sin 44sin
cos cos sin cos sin 4444244x x x x x x πππ
πππππ????=+- ???
????????
?????=-+-=-+- ? ? ? ????????????
及
21
0204sin (1)()
4(21)!4cos (1)()
4(2)!n n n n
n n x x x n x x x n ππππ+∞=∞=?
?- ?????-=--∞<<+∞ ?+???
?- ?????-=--∞<<+∞ ??
?∑∑?
212044sin (1)2(21)!(2)!n n
n n x x x n n ππ+∞
=?????
?--?? ? ???????
=-+??
+????
()x -∞<<+∞ 三、幂级数求和
步骤：1. 求出给定级数的收敛区间； 2. 两种途径：
适当变形?逐项积分 ?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x e x x x +几何级数等）?逐 项求导?得和函数
适当变形?逐项求导?常见函数之幂级数（,sin ,cos ,ln(1),x e x x x +几何级数等）?逐项积分?得和函数 1．
20
(21)!n
n n x n ∞
=+∑ 解：由2123!lim
lim ||0(1)!21n n n n
u n n x u n n +→∞
→∞+==++，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞， 设20
(21)()!n
n n S x x n ∞
=+=
∑，逐项积分得 22120
00()!!
n n
x
x n n x x S t dt x xe n n +∞
∞
=====?∑∑?222()()(12)()x x S x xe x e x '==+-∞<<+∞。
2. 2(1)
n
n x n n ∞
=-∑ 解：由1(1)
lim
lim 1(1)n n n n a n n a n n
+→∞
→∞-==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：[1,1]- 设2
()(1)n
n x S x n n ∞
==-∑，逐项求导得
10
21()ln(1)()ln(1)(1)ln(1)(||1)
1n n
x n n x x S x x S x t dt x x x x n n
-∞
∞=='===--?=--=---<-∑∑?
3. 1
2122
1(1)(21)!2
n n n n x n -∞
--=--∑
解：由222
12(21)!2lim lim ||0(21)!2n n n
n n n
u n x u n -+→∞→∞-==+，可知R =+∞，故收敛区间为(,)-∞+∞，
21
1121
22
11(1)(1)()22sin ,()(21)!2(21)!22
n n n n n n n x x
S x x x n n ---∞∞
--==--??===-∞<<+∞ ?--??
∑∑
4.
(21)n n n x ∞
=+∑ 解：由123lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞+==+，得1R =，进一步可确定收敛区间为：(1,1)- 0
10112
()(21)2121121112(11)11(1)
n
n
n
n n n x n n n n S x n x nx x x nt dt x
x x x
x x x x x x x ∞
∞
∞
===∞-=∞
==+=+'??=+
?-??'??
=+
?-??'
+??=+=-<< ?---??∑∑∑∑?∑
幂函数经典例题
例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．
故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1
幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象
6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；
幂函数练习题与答案
幂函数练习题及答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =3 2 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 （ ） A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),1[+∞- 9． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）
指数函数对数函数幂函数练习题大全(答案)
一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题（答案）
幕函数的概念 例1、下列结论中，正确的是() A ?幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C ?当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数 D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数 解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2 )(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值? ' 分析 关于舉函数y=x a ( 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 3.3 幂函数中档题 一．选择题（共4小题） 1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（） A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞） 2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（） A．B．C． D． 3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值 （） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）； ③＞；④＜．其中正确结论的序号是． 三．解答题（共13小题） 6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣ k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围． 7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求a++的取值围． 8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求的取值围． 9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上 是减函数， （1）求函数f（x）的解析式； （2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小． 10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=． （1）求g（x），f（x）的解析式； （2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围． 11．函数f（x）=是偶函数． （1）试确定a的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域． 12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a） 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共5０分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ?( ） Ａ．y x =43?B.y x =32 ?C ．y x =-2 ?D ．y x =- 14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是? ?( ） Ａ． 4 1 B.1- C.4?D ．4- ３．下列所给出的函数中,是幂函数的是 ? （ ) Ａ.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ?C.3 2x y =?D ．13 -=x y ４.函数34x y =的图象是?? ( ) A ． Ｂ. C ． D ． ５．下列命题中正确的是??? ( ) A.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 Ｂ.幂函数的图象都经过(0，０)和(1,1)点 C ．若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ( ) A.关于原点对称 ?Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于 y 轴对称 D.关于直线 x y =对称 7． 函数 R x x x y ∈=|,|,满足? ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 ? D ．是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是??( ） A.]6,(--∞ ? B.),6[+∞- ?C ．]1,(--∞ ?D ．),1[+∞- 9. 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A.102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D.142310αααα<<<<< 1０． 对于幂函数5 4)(x x f =，若210x x <<，则 )2( 21x x f +,2) ()(21x f x f +大小关系是（ ) A.)2( 21x x f +>2) ()(21x f x f + B ． )2( 21x x f +<2 ) ()(21x f x f + C. )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分,共24分). 1１．函数y x =-3 2 的定义域是 . １２.的解析式是? . １3.9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . １４.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的 奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1α 3α 4α 2α 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，1 2时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C 例2、已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 1 5(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值． 分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)， 当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x p q 的奇偶性与p 的值相对应． 解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0. 当t ＝0时，f (x )＝x 7 5是奇函数； 当t ＝－1时，f (x )＝x 2 5是偶函数； 当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和8 5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视． 幂函数经典例题(答案) A ．-1 作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m . 解 根据幂函数定义得 m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1 m 2－1 ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得??? m 2＋2m －2＝1 m 2 －1≠0 2n －3＝0 ， 解得? ???? m ＝－3n ＝3 2， 所以m ＝－3，n ＝32 . 例6、比较下列各组中两个数的大小： （1）5 3 5.1，5 37.1；（2）0.71.5 ，0.61.5 ；（3）3 2) 2.1(－ －，3 2) 25.1(－ －． 幂函数练习题及答案解析 13 )n ，则n ＝________. 解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13 )n ， ∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2 1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减． 2．幂函数的图象过点(2，1 4 )，则它的单调递 增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选C. 幂函数为y＝x－2＝1 x2，偶函数图象如图． 3．给出四个说法： ①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y＝x n在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－1 2的 图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B. 4．设α∈{－2，－1，－1 2， 1 3， 1 2，1,2,3}， 则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数， ∴α＝－1，1 3，1,3. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1. 5．使(3－2x－x2)－3 4 有意义的x的取值范围是() A．R B．x≠1且x≠3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：选 C.(3－2x－x2)－3 4＝ 1 4 (3－2x－x2)3 ， ∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0， 解得－3＜x＜1. 6．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝() A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 指对幂测试题 1.函数)1,0(≠>-=a a a a y x 的图像可能是（ ） A. B. C. D. 2.设11{3,2,1,,1,2,3}23 α∈----，则使幂y=x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3若函数()l o g (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A 、4 B 、2 C 、14 D 、12 4.若函数23()(23)m f x m x -=+是幂函数，则m 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5.函数x a a a x f ?+-=)33()(2是指数函数 ，则a 的值是( ) A.1=a 或2=a B.1=a C.2=a D.0>a 或1≠a 6.幂函数21 31 12x y ,x y ,x y ,x y --====在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ） A. 2134,,,C C C C B. 2314C ,C ,C ,C C. 4123C ,C ,C ,C D. 3241C ,C ,C ,C 7.函数lg x y x =的图象大致是 8已知(10)x f x =，则(5)f = （ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg 5 9.已知函数()2030 x x x f x x log ,,?>=?≤?, 则14f f ???? ? ?????的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19 - 10、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 11.若幂函数()322233-+++=m m x m m y 的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是 （ ） A ．2-=m B ．1-=m C ．12-=-=m m 或 D ．13-≤≤-m 12.函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 的图像恒过定点A ，若点A 在直线1-=+n y m x 上，且0,>n m ，则n m +3的最小值为 （ ）A. 13 B. 16 C.2611+. D. 28. 13.如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于_____________ 14.函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 15、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 ______. 16.函数 的递增区间是______. 17.已知函数f ( x ) = 3x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =λ·3ax – 4x 的定义域为[0，1]。 （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数g ( x )在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围。 18. 将函数)1(log )(2+=x x f 的图像向左平移1个单位，再将图像上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 )(x g y =的图像.（1）求函数)(x g y =的解析式和定义域； （2）求函数)()1()(x g x f x F y --==的最大值. 19.已知函数22()log (23)f x ax x a =+-， 当1a =-时，求该函数的定义域和值域； 20.函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 21.已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 22.设函数22()log (4)log (2)f x x x =?, 144 x ≤≤, （1）若x t 2log =,求t 取值范围; （2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值。 幕函数的概念 例1、下列结论中，正确的是（） A.幕函数的图象都通过点（0,0）, （1,1） B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C.当幕指数。取1,3,少寸，幕函数），=对是增函数 D.当幕指数G= — 1时，幕函数y=/在定义域上是减函数 解析当幕指数6（= - 1时，幕函数y = 的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幕函数在区间（0 , +8）上都有定义，且）'=寸（aGR） , y>0 , 所以幕函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当?= - 1时，y = x-!在区间（?8,0）和（0 , + 8）上是减函数，但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数冷）=（尸一/+1）*7 + 3/—2户）（作Z）是偶函数且在（0, +8）上为增函数，求实数，的值. 分析关于氨函数），=寸（aUR,。尹0）的奇偶性问题，设富（Ipl、Igl互质），当g为偶数时，p必为奇数，），=.*是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=/的奇偶性与p的值相对应. 解 ..顶>）是嘉函数，."./ + 1 = 1 , .?"= ? 1,1 或0. 7 当，=。时，/W = y是奇函数； 2 当/=?1时顶x） = y是偶函数； Q 2 R 当L1时，/u）= y是偶函数，且i和M都大于0 , 在（0 , +8）上为增函数. 故t= 1且/U）=碍或t= -1且.冏=%|. 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件给予足够的重视. 例3、如图是幕函数与 y=? 在第一象限内的图象，贝ij() m>\ 解析 在(0,1)内取同一值A-o ,作直线A=XO ,与各图象有交点，则“点低指数 大”.如图，04,求x 的取值范围. 1 1 错解 由于，则由X 2〉* ,可得XER 错因分析 上述错解原因是没有掌握篆函数的图象特征，尤其是)，=普在 O>\和0 指对幂函数试卷四 一、选择题 1.设 的大小关系是 、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== A.a 0的x 的集合是 . 3. )2log (2)9(log )(91 -==-f f x x f a ，则满足函数的值是_____. 二次函数与幂函数 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝ －b 2a ，顶点坐标是? ???? －b 2a ， 4ac －b 2 4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在? ????－∞，－b 2a 上递减，在?????? －b 2a ，＋∞上 递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2 4a ； ②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在? ????－∞，－b 2a 上递增，在?????? －b 2a ，＋∞上 递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2 4a . ③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； 高中数学幂函数测试题(含答案)一、选择题等于1、 A.－ B.－ C. D.2、已知函数f（x）= 则f （2+log23）的值为 A. B. C. D. 3、在f1（x）=x ，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是 A .f1（x）=x B.f2（x）=x2C.f3（x）=2x D.f4（x）=log x 4、若函数y (2-log2x)的值域是(-,0),那么它的定义域是( ) A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1) 5、下列函数中，值域为R+的是（）（A）y=5 （B）y=( )1 －x（ C）y= （D）y=6、下列关系中正确的是（） （A）（）（）（）（B）（）（）（） （C）（）（）（）（D）（）（）（） 7、设f:xy=2x是AB的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足（） A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23}页 1 第 C.A {0,1,2,log23} D.不存在满足条件的集合 函数：命题q函数的值域为R，8、已知命题p： 是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a 的取值范围是 A．a1 B．a2 C．12 D．a1或a2 9、已知函数f(x)=x2+lg(x+ ),若f(a)=M,则f(-a)=() A2a2-MBM-2a2C2M-a2Da2-2M 10、若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m－1 B．－10 C．m1 D．01 （）的根的情况是 11、方程 B．有两个正根A．仅有一根 C．有一正根和一个负根 D．有两个负根12、若方程有解，则a 的取值范围是（）A．a0或a－8 B．a0 ． DC．二、填空题：13、已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log （3－x）］的定义域是__________. 14、若函数f(x)=lg(x2+ax－a－1)在区间［2,+］上单调递增,则实数a的取值范围是_________. 页 2 第 15、已知 16、设函数的x取值范围.范围是。 三、解答题17、若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值； （2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？ 18、已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函 幂函数的概念 欧阳光明（2021.03.07） 例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，1 2时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x － 1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象 限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x － 1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C 例2、已知幂函数f (x )＝(t 3 －t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值． 分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x p q 的奇偶性与p 的值相对应． 解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0. 当t ＝0时，f (x )＝x 7 5是奇函数； 当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数； 当t ＝1时，f (x )＝x 8 5是偶函数，且25和8 5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) 高中数学- 幂函数、指数函数与对数函数（经典练习题） 高中数学精英讲解------------ 幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例 1 、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= 解析：函数在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为 1 ． 例 3 、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数． (1) 求函数的解析式；(2) 讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴ ，解得，∵ ∴ ．又是偶数，∴ ，∴ ． (2) ，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1) (A) ，(2) (F) ，(3) (E) ，(4) (C) ，(5) (D) ，(6) (B). 变式训练： A．y=－3x2B．y=3x2C． D ．y=x 2＋x －1 6、若f(x) 在［－5，5］上是奇函数，且f(3) 7、若 y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在 y=f(x) 图象上的是( ) B ． (－a ，－ f(a)) C ．( － a ，－ f( －a)) D ．(a ，f(－ a )) 若函数 f(x)=x 2 ＋ax 是偶函数，则实数 a=( ) 且 f( －1)=0，则满足 f(x)>0 的 的取值范围是( ) DACAD ABACD ，函数为偶函数，则有 f( － x)=f(x) ，即 x 2－ax=x 2 ＋ax ，所以有 a=0． 10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数 f(x) 在 上单调递增，则当 A ．(a ，－ f(a)) 8、 已知 ，则下列正确的是( ) A ． 奇函数，在 R 上为增函数 B ．偶函数，在 R 上为增函数 C ． 奇函数，在 R 上为减函数 D ．偶函数，在 R 上为减函数 9、 A ． －2 B ．－1 C ．0 D ．1 10、已知 f(x) 为奇函数， 定义域为 ，又 f(x) 在区间 上为增函数， A ． B ．(0，1) C ． D ． 11、 若幂函数 12、 函数 的定义域是 13、若 ，则实数 a 的取值范围是 14、 是偶函数，且在 上是减函数，则整数 a 的值是 9、指对幂函数经典练习题
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