大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理

lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)

其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：

f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！

问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为

ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，

所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么

ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，

此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：

ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)

那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)

这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。

高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：

等价无穷小的定义及常用的等价无穷小

无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。

常用的等价无穷小有：

sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0)

sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0)

1?cos x～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0)

等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。

等价无穷小替换原理

定理1：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且

α～α1,β～β1α～α1,β～β1，若limαβlimαβ存在，则

limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1：

lim x→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln?(1+3x)sin?2x.

解：

lim x→0ln(1+3x)sin2x=lim x→03x2x=32.limx→0ln?(1+3x)sin?2x=lim

x→03x2x=32.

例2：

lim x→0tanx?sinxx3.limx→0tan?x?sin?xx3.

错误解法：

lim x→0tanx?sinxx3=lim x→0x?xx3=0.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x

?xx3=0.

正确解法：

lim x→0tanx?sinxx3=lim x→0sinx(1?cos x)x3?cosx=lim x→01?cos xx2?c osx=lim x→012cosx=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0sin?x(1?cos?x )x3?cos?x=limx→01?cos?xx2?cos?x=limx→012cos?x=12.

从上面的解法可以看出，该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的原因：等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f(x)f(x)在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+?+f(n)(0)n!x n+o(x n)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!

x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)

很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan?x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)

sinx=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)si n?x=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)

由此可知，\sin{x}与\tan{x}相差一个较x x的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不可忽略，因为把上述结论代入原式得

lim x→0tanx?sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan?x?sin

?xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.

由此，我们可以得出：加减情况下不能随便使用等价无穷小。

下面我们给出一个在加减情况下使用等价无穷小的定理并加以证明。在这里我们只讨论减的情况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。为方便，首先说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是x x，其趋近过程都相同：x→0x→0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。

定理2：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且

α～α1,β～β1α～α1,β～β1，则α?β～α1?β1α?β～α1?β1的充分必要条件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

证明：

1°1°充分性：

α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

则

limα?βα1?β1=limαβ1?ββ1α1β1?1=k?1k?1=1limα?βα1?β1=limαβ1?ββ

1α1β1?1=k?1k?1=1

即

α?β～α1–β1.α?β～α1–β1.

2°2°必要性：

α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1

即

lim(α?βα1?β1?1)=0lim(α?βα1?β1?1)=0

通分得

limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0所以

limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01?βα1?lim0α1β1?1=0lim01?βα1?lim0α1β1?1=0

所以

limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.

由1°,2°1°,2°得，原命题成立。证毕。

这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。

例3：

lim x→01?cos x+2sinxarcsin2x?sinx.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x

?sin?x.

解：

1?cos x～x22,?2sin x～?2x,2arcsinx～2x,sinx～x(x→0)1?cos?x～x22,?2 sin?x～?2x,2arcsin?x～2x,sin?x～x(x→0)

所以

lim x→01?cos x?2sinx=0≠1,lim x→02arcsinxsinx=2≠1limx→01?cos?x ?2sin?x=0≠1,limx→02arcsin?xsin?x=2≠1

由定理2得

lim x→01?cos x+2sinxarcsin2x?sinx=lim x→x22+2xx=2.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x?sin?x=limx→x22+2xx=2.

例4：

lim x→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan?2x+arcsin?5xsin?3x. 解：

arctan2x～2x,arcsin5x～5x,sin3x～3x(x→0)arctan?2x～2x,arcsin?5x

～5x,sin?3x～3x(x→0)

limarctan2x?arcsin5x=?25≠1limarctan?2x?arcsin?5x=?25≠1由定理2得

lim x→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan?2x+ar

csin?5xsin?3x=2x+5x3x=73.

总结

本文指出，在有加减的情况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的情况下能够使用等价无穷小代换的充分必要条件。对于不满足条件的情况，根据给出的泰勒展开公式，可以求出。

高等数学等价无穷小替换

无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ） 函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n

定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系:

高等数学中的导数公式和等价无穷小公式

声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=

等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=

大学高等数学等价无穷小教学总结

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

高等数学等价无穷小替换-极限的计算

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，Λ、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α?=?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴

高等数学等价替换公式

无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。

高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时： 【教学目的】 1、 掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、 熟记一些常见的等价无穷小； 3、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、 了解连续函数的性质与初等函数的连续性。 【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。 【教学难点】 判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义： （1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =； （2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小， （3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小， （4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小， （5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练 的记住一些常见的等价无穷小。 例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -， 所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim

例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。 教学小结与学法建议 学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。 师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2） 作业：P59：4（3）（4）

高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。

应用等价无穷小巧解考研高等数学试题

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/d35261175.html, 应用等价无穷小巧解考研高等数学试题 作者：黄英芬龙红兰 来源：《中国科教创新导刊》2013年第16期 摘要：在考研高等数学试题当中，“极限”知识点所占考核比重逐年提升，对考生考试成绩有着决定性的影响。掌握“极限”知识点的相关计算方法，备受考生的关注与重视。在现阶段，等价无穷小被证实能够达到合理提高“极限”知识点相关题目解题精确性与速度的目的。本文在简要分析等价无穷小解题方法的基础之上，结合考研高等数学试题，就如何应用等价无穷小解考研高等数学试题这一问题展开了较为详细的分析与阐述，希望能够引起各方人员的参考与关注，从而为考生解答相关试题题目提供一定的参考与借鉴。 关键词：等价无穷小考研高等数学解题方法分析 中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0047-01 在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。 1 等价无穷小基本概念分析[1] 数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容： （1）sin x～ x； （2）arc sin x～ x （3）tan x～ x （4）In（1+x）～ x （5）（1+x）1/n-1～ x/n

高等数学等价替换公式

根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。

无穷小与无穷大教学设计

陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称：经济应用数学.A 授课教师：_____________ 授课班级：_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期

课题：无穷小与无穷大 课程：经济应用数学A教学对象：课时：2课时 任课教师：教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点： 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较

高等数学等价无穷小替换_极限的计算

讲义 无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是

高数复习资料_§2.6 无穷小的比较

§2.6 无穷小的比较 一、填空题 1、当1x →时，1x -与3 1x -是 同价 无穷小，1x -与() 2 121x -是 等价 无穷小. 2、当0x →时，22x x -与23 x x -相比， 2 3 x x - 是比 2 2x x - 高阶的无穷小. 3、已知当0x →时，( ) 13 2 11ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则a = 3 2- . 析：()()13 22 2002 1113lim lim (0,11)cos 12sin a x x x ax ax x x ax x →→+-=→++-- 22023 3lim 1,32 24 x a x a x a →==-=∴=--? . 4、若 221 ()1ax bx c x x ο=+++-，则a = 1 ，b = 1 ，c = 1 . 析：221()1ax bx c x x ο=+++-，即221()1ax bx c x x ο---=- 232 22001 ()()()(1) 1lim 0,lim 0(1)x x ax bx c ax a b x b c x c x x x x →→-++----+--∴=∴=- 10,0,0,1c b c a b a b c ∴-=-=-=∴===. 5、若232lim 43 x x x k x →-+=-，则k = 3- . 6、20e 1 lim x x x →-= 2 . 7、() 0ln 12lim sin x x x →-= 2- . 二、单项选择题 1、设31(),()11x f x g x x x -= =-+，则当1x →时结论成立的是 D . (A)f 与g 是等价无穷小 （B ）f 是比g 高阶的无穷小

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应 用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的 概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及 极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利 用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会 用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函 数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上

连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念

集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A{a1, a2, , a n}, M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N{0, 1, 2, , n, }. N{1, 2, , n, }. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.

等价无穷小性质的理解及应用

等价无穷小性质的理解、延拓及应用 【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。 【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法 Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal's Character Abstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by L'Hospital Rule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application. Key words equivalent Infinitesimal; limit; L'Hospital rule positive series; comparison test 等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。 1 等价无穷小的概念及其重要性质〔1〕 无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。 当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。 常见性质有： 设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ

无穷小的比较

第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情 况，例如：???????>∞ <==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0 lim lim 0000 0000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类： 定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β ，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=αβ lim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C αβ ，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β ，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠， 因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1 sin 与2x 既非同 阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' ' αβlim ， 那么αβαβ' ' =?lim lim 。 【例2】 求x x x 20sin cos 1lim -→。 解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21 cos 1lim sin cos 1lim 2 020=-=-→→x x x x x x 。 【例3】 求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式12 2 22lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 22 1 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业： 第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情 况，例如：???????>∞ <==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0 lim lim 0000 0000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小

等价无穷小在求函数极限中的应用

等价无穷小在求函数极限中的应用 XX (XX 学院XX 学院 山西XX ) 摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误． 关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言 在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质 定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小． 定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 0)(≠x g ，如果1) () (lim =x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：

当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~1-，22 1 ~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1 -+． 关于等价无穷小，有三个重要性质： 性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为 )(ααβo +=． 性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ'' lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →?→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换 定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化． 例1 求极限2 0sin )1() cos 1(lim x e x x x x --→． 解 当0→x 时，2 2 1~ cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22 021lim x x x x x ?-?→＝2 1-． 例2 求极限) cos 1cos(11lim 4 x x e x x ---→． 解 )cos 1cos(11 lim 4 x x e x x ---→＝42 121lim )cos 1(21lim 224 024 0=?=-→→x x x x x x x x ． 注意0→x 时，424 1 ~)cos 1(21~ )cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小

高等数学教学教案 无穷小的比较 函数的连续性与间断点

§1.7 无穷小的比较§1. 8 函数的连续性与间断点 授课次序07

§1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作?u , 即?u =u 2-u 1. 设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+?x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+?x ), 因此函数y 的对应增量为 ?y = f (x 0+?x )- f (x 0). 函数连续的定义 设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量?x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量?y = f (x 0+?x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0 =?→?y x , 或)()(lim 00 x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x ) 在点x 0 处连续. 注: ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x =x 0+?x , 则当?x →0时, x →x 0, 因此 0lim 0 =?→?y x ?0)]()([lim 00 =-→x f x f x x ?)()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε , 那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00 x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00 x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y =f (x )在点x 0处连续?函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00 x P x P x x =→. 2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的. 3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.