2017-2018高三学年第一次模拟数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}034|{2≥++=x x x A ,}12|{<x x B =,则=B A ( )
A .)0,1[]3,(---∞
B .]1,3[--
C .]0,1(]3,(---∞
D .)0,(-∞ 2.若复数z 满足232+=-z z i , 其中i 为虚数单位,则z =( )
A. 12+i
B. 12-i
C. 12-+i
D. 12--i 3.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,7825a a -=,则11S 为 A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定
4.命题:p 2,,22<+∈y x R y x ,命题:q 2||||,,<+∈y x R y x ,则的是q p ( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .必要充分条件 D .既不充分也不必要条件
5.若y x ,满足条件??
?
??≤≥+-≥-+20620
2x y x y x ,则目标函数22y x z +=的最小值是( )
A .2
B .2
C .4
D .
9
68
6.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积等于( )
3cm
A .243π+
B .3
42π+ C .263π+ D .362
π+
7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算,
他们创造了优良的计数系统,其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示,若输入ξ,,n a
的值分别为8,2,0.5,(每次运算都精确到小数点后两位)则输出结果为( )
A. 2.81
B. 2.82
C. 2.83
D. 2.84 8.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,给出下列命题:
①α∥β?⊥l m ②α⊥β?l ∥m ③l ∥m ?α⊥β ④l ⊥m ?α∥β 其中正确命题的序号是( )
A .①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
9.一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球,则
摸出的两个都是白球的概率是 ( ) A
.
B
.
C
.
D
.
10.已知平面向量,a b 的夹角为045,(1,1)a =,1b =,则a b +=( )
A .2
B .3
C .4 D
11.已知抛物线y 2
=2px (p >0)与双曲线
=1(a >0,b >0)有相同的焦点F ,点A 是
两曲线的一个交点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为( ) A .
+2 B .
+1 C .
+1 D .
+1
12.若对于任意的120x x a <<<,都有
2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-,则a 的最大值为( )
A .2e
B .e
C .1
D .12
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有
偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 . 14.在
n x x ?
?? ?
?-23
的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________.
15. 在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n =________. 16.已知函数f (x )=-0.5x 2
+4x-3ln x 在[t ,t+1]上不单调,则t 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2sin x sin ?
????x +π6.
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x ∈?
?????0,π2时,求函数f (x )的值域.
18.(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为正方形,底面ABFE 为直角梯形,ABF ∠为
直角,1
//,1,2
BF AB A BF E =
=平面ABCD ⊥平面ABFE . (1)求证:EC DB ⊥;
(2)若,AB AE =求二面角B EF C --的余弦值. 20.(本小题满分12分)
心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分
层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择
一道题进行解答.选情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5---7分钟,女生乙每次解
答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙
两女生中被抽到的人数为X ,求X 的分布列及数学期望()E X .
附表及公式
()()()()()
2
2n ad bc k a b c d a c b d -=++++
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
2,左焦点为)0,1(-F ,过点)2,0(D 且
斜率为
k 的直线l 交椭圆于A ,B 两点.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)在y 轴上,是否存在定点E ,使?恒为定值?若存在,求出E 点的坐标和这个定值;若
不存在,说明理由.
21(本小题满分12分)
已知函数()x
ex
f x e =
,()2ln g x ax x a =--(,a R e ∈为自然对数的底数). (1)求()f x 的极值;(2)在区间(0,]e 上,对于任意的0x ,总存在两个不同的12,x x ,使得120()()()g x g x f x ==,求a 的取值范围. 22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在直角坐标系
中,曲线
:cos sin x r y r θθ=??=?
(为参数,为大于零的常数),以
坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为:
.
(Ⅰ)若曲线
与
有公共点,求的取值范围;
(Ⅱ)若
,过曲线上任意一点作曲线的切线,切于点,求的最
大值.
数学(理科)试卷参考答案 一、选择题:ABBAB;DDCBD;DC
二、填空题: 13.甲 14. 112 15.14 16.(0,1)∪(2,3) 三、解答题。
17.【解析】 (1)f (x )=2sin x ? ??
??32sin x +12cos x =3×1-cos 2x 2+12sin 2x =sin ? ????2x -π3+3
2
. 所以函数f (x )的最小正周期为T =π. 由-π2+2k π≤2x -π3≤π
2+2k π,k ∈Z ,
解得-π12+k π≤x ≤5π
12
+k π,k ∈Z ,
所以函数f (x )的单调递增区间是??????-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z.
(2)当x ∈??????0,π2时,2x -π3∈??????-π3,2π3,
sin ? ????2x -π3∈????
??-32,1, f (x )∈????
??0,1+
32. 故f (x )的值域为????
??0,1+
32. 18. 解:(1)
90,//=∠EAB BF AE ABFE 为直角梯形,底面AB BF AB AE ⊥⊥∴, AB ABFE ABCD ABFE ABCD =⊥平面平面平面平面 ,
ABCD BF ABCD AE 平面平面⊥⊥∴. BC BF ⊥∴
设轴建立如图坐标系所在的直线分别为以z y x BC BF BA t AE ,,,,,=, ())0,,1(),1,0,1(),1,0,0(,0,0,0t E D C B 则)1,,1(),1,0,1(t --=--= EC DB ⊥∴=?0 …………………6分
(2)的一个法向量是平面)知由(BEF )1,0,0(1=
的法向量是平面设CEF z y x ),,(=
)0,2,0(),0,1,1(,1F E AB AE ∴== )1,2,0(),1,1,1(-=-=∴CF CE
00=-+?=?z y x 由,020=-?=?z y 由
的一个法向量是平面故得令CEF n y x z )2,1,1(,1,1,2====
36=
=∴,即二面角3
6
的余弦值为B EF C --……………12分 19.解:(1)由表中数据得2
K 的观测值()2
2
5022128850 5.024*********K ??-?==≈???,
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟,则基本事件满足的区域为57
68x y ≤≤??
≤≤?
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x y >
∴由几何概型
()1
11
12228P A ??==
?即乙比甲先解答完的概率18 (3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有
2
828C =种,其中甲、乙两人没有一个被抽到有
2
615C =种;恰有一人被抽到有112
6
12C C ?=种;两人都被抽到有1
21C =种,
∴X 可能取值为0,1,2,
()15028P X ==
,()1231287P X ===,()1
228P X ==
X 的分布列为:
∴
()1512110122828282E X =?
+?+?=
20.(1)由已知可得?????==1
2
2
c a c ,解得1,222==b a 所求的椭圆方程为
12
22
=+y x ……4分
(2)设过点D (0,2)且斜率为k 的直线l 的方程为y=kx+2,
由??
?
??+==+21222
kx y y x 消去y 整理得:068)21(22=+++kx x k 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则x 1+x 2=﹣
又y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=﹣,
y 1+y 2=(kx 1+2)+(kx 2+2)=k (x 1+x 2)+4=
设存在点E (0,m ),则,
所以=
= ……………8分
要使得
(t 为常数),
只要
=t ,从而(2m 2﹣2﹣2t )k 2+m 2﹣4m+10﹣t=0
即由(1)得 t=m 2﹣1,代入(2)解得m=,从而t=,
故存在定点
,使 恒为定值
.……………12分
21解析:(1)因为e ()e
x
x
f x =
()0f x '=,得1x =. 当(),1x ∈-∞时,()0f x '>,()f x 是增函数;当()1,x ∈∞+时,()0f x '<,()f x 是减函数. 所以()f x 在1x =时取得极大值()11f =,无极小值. (2)由(1)知,当(0,1)x ∈时,
()f x 单调递增;当(]1,e x ∈时,()f x 单调递减.
又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0f f f -===?>,
所以当(0,e]x ∈时,函数()f x 的值域为(]0,1. 当0a =时,()2ln g x x =-在(0,e]上单
调,不合题意;当0a ≠时,
2
e
a >. 此时,当x 变化时,(),()g x g x '的变化情况如下:
所以对任意给定的(]00,e x ∈,在区间(]0,e 上总存在两个不同的1x , 2x 22.【解析】:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为
,
曲线的直角坐标方程为.
若
与
有公共点,则
,所以
.
(Ⅱ)设,由
得,
当且仅当时取最大值,故
的最大值为
.
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=,若}1{=B A I ,则B = A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,13z i =+,则12z z = A .10 B .9i -- C .9i -+ D .-10 3.已知向量)4,(),3,2(x b a ==,若)(b a a -⊥,则x = A . 2 1 B .1 C . 2 D .3 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3623a a +=,535S =,则{}n a 的公差为 A .2 B .3 C .6 D .9 5.已知m ,n 是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确 的是( ) A .若βαβα//,,??n m ,则n m // B .若βαα//,?m ,则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ,则α//n D .若βα??n m ,,l =βαI ,且l n l m ⊥⊥,,则βα⊥ 6.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》,《茶馆》,《天籁》,《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是 A .《雷雨》只能在周二上演 B .《茶馆》可能在周二或周四上演 C .周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D .四部话剧都有可能在周二上演 7.函数x e x f x cos )112 ( )(-+=(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是
南通市高三第一次调研测试 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4},M ={1, 2},N ={2, 3},则U (M ∪N ) = ▲ . 2.复数 2 1i (1i)-+(i 是虚数单位)的虚部为 ▲ . 3.设向量a ,b 满足:3||1,2 =?= a a b ,22+=a b ,则||=b ▲ . 4.在平面直角坐标系xOy 中,直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是 m = . 5.函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ . 6.在数列{a n }中,若对于n ∈N *,总有 1 n k k a =∑=2n -1,则 21 n k k a =∑= ▲ . 7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为x ,y ,则 x y 为整数的概率是 ▲ . 8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根 据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分组为[50,70),[70,90), [90,110),[110,130),[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ . 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 ▲ . 10.关于直线, m n 和平面,αβ,有以下四个命题: ∈若//,//,//m n αβαβ,则//m n ;∈若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥; ∈若,//m m n α β=,则//n α且//n β;∈若,m n m αβ⊥=,则n α⊥或n β⊥. 其中假命题的序号是 ▲ . (第8题字数/分 频率 组距 0.005 0.0070.0100.0120.015 50 70 90 110 130 150 k ≥-3 开始 k 1 S S S – 2k k k -1 结束 输出S Y N (第9题图)
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图