个性化教学辅导教案
学科:数 学 年级:十年级 任课教师: 授课时间:2017 年 秋季班 第14周 教学 课题 幂函数及函数图像性质
教学
目标
1、了解幂函数的定义及与指数函数的区别;
2、理解幂函数图像与函数奇偶性的联系;
3、利用函数图像解决函数问题。 教学 重难点
利用函数图像解决函数问题。
教学过程
知识点一、幂函数:
一般地,形如αx y =)(R ∈αα为常数,的函数称为幂函数。
练:判断在函数231,2,,1y y x y x x y x
===-=,x
x y =,
()21+=x y 中,哪几个函数是幂函数?
作出下列函数的图象:(1)x y =;(2)12
y x =;(3)2x y =;(4)1-=x y ;(5)3x y =.
通过观察图象有幂函数的性质
(1)幂函数在第一象限内一定有图象,在第四象限一定没有图象;在第二、三象限可能有,也可能没有图象,需要通过幂函数的奇偶性来判断;
(2)幂函数恒过定点()11,
,当0>α时,还过另一个定点()00,; (3)当0<α时,幂函数在()+∞,0内单调递减;当0>α时,幂函数在()+∞,0内单调递增,而在
(]0,∞-内的单调性,则需要通过幂函数的定义域和奇偶性来进行判断。
特别的,当1=α,幂函数为直线;当10<<α时,幂函数图上凸;当1>α时,幂函数图像
下凸。
(4)令0≠∈=n Z m n n
m
,,,α,当m 为偶数时,幂函数为偶函数;当m 为奇数,n 为奇数时,幂函数为奇函数;当m 为奇数,n 为偶数时,幂函数既非奇函数也非偶函数。
例1、求函数4
2x y =的定义域、值域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性。
练习1:已知某幂函数的图象经过点(2,8),则这个函数的解析式为____________。
练习2:如图,幂函数a x y =在第一象限内的图象,已知a 取21
,2±±四个值,则相
应于曲线4321,,,C C C C 的a 依次为( )
A.2,21,21,2-- B .2,21,21,2-- C .21,2,2,21-- D .2
1
,2,21,2--
例2、比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1; (2)0.24-0.2,0.25-0.2; (3)0.20.3,0.30.3,0.30.2
。
练习1:比较各组数字的大小:4
3
3.2______4
34.2; 5631.0______5
635.0; 2
3)2(-
______2
3)
3(-
。
练习2:已知()()
m
m
7.03
.13.17.0<,则m 的取值范围为_____________。
练习3:已知幂函数()+
-∈=N m x y m 9
3的图像关于y 轴对称,且在()+∞,0上,y 随x 的增大而减小,
求满足()()3
3
231m m a a -
--<+的a 的取值范围。
例3、函数3
2x y =的定义域是______,值域是______;函数32-
=x y 的定义域是______,值域是______; 函数2
3
x y =的定义域是______,值域是______;函数2
3-
=x y 的定义域是______,值域是______。
练习:已知幂函数()()+
+∈==N m x
x f y m
m 2
1
。
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若该函数还经过()
22,,试确定m 的值,并求满足条件()()12->-a f a f 的实数a 的取值范围。
例4、已知幂函数()Z m x y m m ∈=--3
22的图像与x 轴、y 轴均无交点,且关于y 轴对称,求m 的值,
并画出函数图像。
练习:已知幂函数()()Z a x
x f a a ∈=++-2
3212在()+∞,0上是增函数,且在定义域上是偶函数。
(1)求a 的值,并写出相应函数()x f 的解析式;
(2)对于(1)中求得的函数()x f ,设函数()()[]()()112+-+-=x f b x f bf x g ,是否存在实数
()0
存在,说明理由。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1 .根式 ( 1 )根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 ( 2 ).两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ; | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a (注意 a 必须使 n a 有意义)。 2 .有理数指数幂 ( 1 )幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 ( 2 )有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.
(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是:m n m n a a =(0a >,m 、n N ∈,且1n >) 负分数指数幂的意义是:m n n m a a - = (0a >,m 、n N ∈,且1n >) 一、幂函数的定义 一般地,形如 y x α =(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点. 三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1.在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中,幂函数的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 练1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( ) 【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 (1)计算:25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(653 12121 132b a b a b a ????--(2).)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+ (三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 【知识结构】 1 ?有理数指数幕 (1)幕的有关概念 m ①正数的正分数指数幕:a n v'a m (a 0,m> n N ,且n 1); (三)幕函数 1、幕函数的定义 形如y=x " (a € R )的函数称为幕函数, m 1 1 a n m / ----- (a m n a a ②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化,通常利用分数指数幕进行根式的运算 (2)有理数指数幕的性质 ①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 (1)计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56) . 2 1 1 (0.008) 3 (0.02) ' (0.32円 0.06250.25 4 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简:4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: (1) (2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数) 2) 1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予. 其中x是自变量,a为常数 注:幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幕函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幕函数的是() A. y Vx B. y X3 C y 2x D. y X1 例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3,当m为何值时,f x : (1)是幕函数;(2)是幕函数,且是0, 上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式已知幕函数y (m2 m 1)x m 2m 3,当x (0,g)时为减函数,则幕函数 y _______ - 2. 幕函数的图像 幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同. a的正负:a> 0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; aV0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 幕函数的图像与性质 1幕函数的定义 形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数,其中 x 是自变量,a 为常数 注:幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同, 幕函数的自变量在底数位置, 而 指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1).下列函数中不是幕函数的是( ) A . y 仮 B . y x 3 c . y 2x D . y x 1 答案:C 例2.已知函数f x m 2 m 1 x 5m 3,当m 为何值时,f x 图像是上升曲线。 (1)是幕函数; (2)是幕函数,且是 0, 上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反 比例函数; (5) 是二次函数; 简解:(1) (2) (3) m 4 (4) m 5 (5) m 1 变式训练: 已知函数f x m 2 2m m 为何值时, 在第一象限内它的 2 小 简解:m m 0 2 m 2m 3 解得:m 0 U 3, 小结与拓展:要牢记幕函数的定义,列出等式或不等式求解。 2.幕函数的图像 幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同. a 的正负:a> 0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; 在第一象限的图象下降,反之也成立; aV 0,图象不过原点, 1 注:在上图第一象限中如何确定 y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法:可画出x=x o ; 当x o >l 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x 3, y=x 2, 当0 【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】:关雅南(上海师范大学附属外国语中学) 【教学目标】:知识和技能:理解幂函数的概念,掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法:通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力,体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观:培养学生积极探究、合作交流的学习品质,激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】:幂函数的性质与图像 【教学难点】:幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】: 一. 创设情境,引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ,二次函数如y=2x ,另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ,分析这些函数有什么共同特征? 解析式右边为幂的形式,底数为自变量,系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式,引出幂函数的定义。 二. 幂函数定义 一般地,函数y=k x (k 为常数,k ∈Q )叫做幂函数(power function ) 概念巩固:判断下列函数是否为幂函数? (1) y=x 3.0 (2)y=21 _x (3)y=3x +x (4) y=23x 三. 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题:研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性,并且作出它的图像。 (师生共同探究此幂函数性质,课件演示利用描点法作出的函数图像,并 观察此幂函数性质在图像上的体现)。 自主探究: 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 (在课堂练习单上独立完成,投影演示,师生共同评价) 四. 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示:在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像,认真观察图像,体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论: 归纳幂函数(k 0)的性质和图像特征 (1) 在第一象限单调性如何? (2) 有无公共点? (3) 图像与坐标轴的位置关系? (4) 图像的象限分布有何特点?特点由什么确定? 3.类比探究:在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像,幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像,类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五. 课堂巩固、简单应用 练习:比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六. 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获? 七. 布置作业:课本81页:习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文 课件6幕函数图象及性质 课件编号:AB I -2-3-1. 课件名称:幕函数图象及性质? 课件运行环境:几何画板4.0以上版本. 课件主要功能:配合教科书“ 2.3幕函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能,绘制出幕函数的图象,再利用幕函数的图象研究函数的性质. 课件制作过程: (1)新建画板窗口.单击【Graph](图表)菜单中的【Define Coordinate System!(建立直角坐标系),建立直角坐标系.选中原点,按Ctrl + K,给原点加注标签A,并用【文本]工具把标签改为O. (2)单击【Graph]菜单的【Plot New Function](绘制函数图象),弹出“New Function”函数式编辑器,编辑函数f (x)= x,单击【OK]后画出函数f (x) 1 , , _ 2 3 —_ 1 =x的图象.同法编辑函数g (x)= x,h (x)= x,q(x)=x2和函数r(x)二一的 x 图象.选中函数图象,单击【Display](显示)菜单中的【Line Width](线型)中的【Thick](粗线).把上述图象设置成粗线,单击【Display](显示)菜单中的【Color](颜色)的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色,如图1. 图1 (3)再选中直线f (x) = x,单击【Edit](编辑)菜单,选择【Action Buttons] (操作类按钮),单击【Hide/Show](隐藏/显示),此时屏幕上出现【Hide Function Plot](隐藏对象)按钮,选择【文本工具】,双击【Hide Function Plot】按钮, 出现对话框,将其中的【Label](标签)改为“ f (x)= x”,再单击【确定】?此时,单击“f (x)二x”按钮就会隐藏或显示直线f (x)二x ?用同样的方法制作 1 【Hide Function Plot】按钮g (x)= x2,h(x)=x3,q(x)=x2和r(x)二-,如图 x 2. (4)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框,将【Page Namd (页面名称)改为“画图象”,单击【0K】. (5)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框, 单击【Add Page](增加页),单击【Blank Pagd (空白页),将页面名称改为“ g 2” (X)= x ? (6)单击【Graph】菜单的【Plot New Function】(绘制函数图象),弹出 “New Function”函数式编辑器,在对话框内依次单击x,A,2,单击【OK】后画出函最新幂函数的性质、常考题型及对应练习
幂函数的图像与性质
(完整版)幂函数的图像与性质(2)
(完整版)幂函数图象及其性质
幂函数的性质与图像教案
幂函数的图象及性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结