当前位置：搜档网 › 2020届重庆市高三上学期期末测试数学(理)试题( 一诊康德卷)(解析版)

2020届重庆市高三上学期期末测试数学(理)试题( 一诊康德卷)(解析版)

2020届重庆市高三上学期期末测试数学（理）试题（一

诊康德卷）

一、单选题

1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（）

A ．

10 B ．

5 C ．5 D ．10

【答案】A 由已知得1

13z i

=-，根据复数的除法法则，求出z 的实部和虚部，即可求解. 【详解】

13iz z +=，11313

13101010

i z i i +=

==+-， 10||z =

. 故选:A.

本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.

2．已知集合{

}

|280,A x Z x x =∈+-<{

}

|B x x A =∈，则B 中元素个数为（） A ．4 B ．5

C ．6

D ．7

【答案】A

化简集合A ，根据集合B 的元素特征，即可求解【详解】

{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.

故选:A.

本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题. 3．函数2log ()2

f x -=的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

运用对数的运算法则将函数()f x 化简为1

()||

f x x =，即可求解. 【详解】

2log l g 1o )2

f x x

-===

，()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，当10,()x f x x

>=. 故选:D.

本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题.

4．已知a R ∈，则“12

a <”是“1

2a >”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 解不等式

12a >，求出1

2a >的充要条件，与12

a <对比，即可求解. 【详解】

12112002

a a a a ->?

a <”是“1

2a >”的必要不充分条件.

故选:B.

本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.

5．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间[300500),

的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策； ③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【答案】D

根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),

的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③. 【详解】

由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++?=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+?=，①正确；

[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++?=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，

中位数在[400,500)且占该组的4

，故中位数为0.50.3

4001004800.25

-+?=，③正确.

故选:D.

本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题

6．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（） A ．36种 B ．54种

C ．58种

D ．72种

【答案】B

先考虑乙有13C 种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有1

3C 种可能，其他3名同学名次有3

3A 种，根据乘法原理，即可求解. 【详解】

根据题意5人的名次排列情况可能有1

33354C C A =.

故选:B.

本题考查排列组合混合应用问题，限制条件元素优先考虑，属于基础题

7．已知平面非零向量,a r b r 满足：(4)(2)a b a b +⊥-r r r r

，a r 在b r 方向上的投影为1||2

b -r ，

则a r 与b r

夹角的余弦值为（）

．3

B ．23

C ．13

D ．16

【答案】D

设两向量夹角为θ，a r 在b r

方向上的投影为1||cos ||2

a b θ=-r r ，从而有

21||2

a b b ?=-r

r r ，

再由(4)(2)a b a b +⊥-r r r r

，得出||a r 3b =r ，根据向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

设两向量夹角为θ，则有1||cos ||2a b θ=-r r 21||2

a b b ??=-r

r r ，

(4)(2)a b a b +?-r r r

r 22||28a a b b =+?-r r r r 22||9a b =-r r 0=||a ?r 3b =r ，

所以cos ||||a b

a b θ?=?r

r r r

21||2||||

b a b -=?r r r 16=-. 故选:D.

本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题. 8．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（）

A ．22

1a b >+ B ．1

a b +>

C ．2

4a b >

D ．1a

b b

>+ 【答案】D

||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再

由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由2

12||b b +≥，结合选项A ，判断选项C

正确；

令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a

b b

>+不成立. 【详解】

||1a b >+2222||11a b b b ?>++>+，A 一定成立； ||11a b b >+≥+122a b +?>，B 一定成立；

又2

12||b b +≥，故2

4||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D.

本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.

9．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（）

A ．29

B ．30

C ．31

D ．32

【答案】D

根据循环体的结构特征从初始值25n =运行，直至满足22

,35

n n --均为整数，输出n . 【详解】

,35

n n --为整数，则n 除以3,5的余数均为2， 25n >，32n =.

故选:D.

本题考查循环结构输出的结果，关键要理解程序框图，属于基础题.

10．已知AB 是圆22:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ?u u u r u u u r

的最小值为4，则实数a 的值为（） A ．2 B ．4

C ．5

D ．6

【答案】C

将,PO OA PB PO PA OB +=+=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r 代入PA PB ?u u u r u u u r

，结合,OA OB u u u r u u u r 是相反向量且模长为1，

可得2||1PA PB PO ?=-u u u r u u u u u u r r ，由已知条件得出，||OP uuu r

O 到直线的距离为，即可求解. 【详解】

()()PA PB PO OA PO OB ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2||PO OA OB =+?u u u r u u u r u u u r 2

||1PO =-u u u r ，

由题得||OP uuu r

即点O

=5a ?=. 故选:C.

本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.

11．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的左焦点为(,0)F c -，过点F 且斜率为1

的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(2,0)P c ，则双曲线C 的离心率为（）

A B

C D ．2

【答案】D

设线段AB 的中点坐标为()00,M x y ，根据11,1,MF MP k k ==- 求出线段AB 的中点M 坐标，用点差法求出,a c 关系，即可求解【详解】

设线段AB 的中点坐标为()00,x y ，

则有0

001

2y x c y x c

?=?+??

?=-?-?0,2c x ?=032y c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程有，

22221122

22221,1x y x y a b a b

-=-=两式相减得， 1212121222

()()()()

1x x x x y y y y a b -+-+-= 可得002210x y a b -?=，即2213,a b

3b a =， 2,c a ∴=2e =.

故选:D.

本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.

12．关于函数()sin 2|sin |f x x x =?有下述四个结论：

①()f x 的图象关于点,02π??

???

对称②()f x 的最大值为34

③()f x 在区间,33ππ??

???

上单调递增④()f x 是周期函数且最小正周期为π 其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④

【答案】D

可证明()()f x f x π-=-，故①正确；由于()()f x f x π+=，π是()f x 的一个周期，

设0x π≤≤，则2

()2sin cos f x x x =()

221cos cos x x =-，换元令cos [1,1]t x =∈-，

设(

()2g t t t

=-，求导，求单调区间，极值，得()g t

，故②不正确；

由②得，()f x 在区间,33ππ??

???

上没有单调性，故③不正确；由②得，π是()f x 的一个周期，用反证法证明最小正周期为π，故④正确. 【详解】

①()sin(2)|sin |f x x x π-=-?()f x =-，所以成立.

②因为()sin 2|sin |()f x x x f x π+=?-=，所以π是()f x 的一个周期，

不妨设0x π≤≤，则2

()2sin cos f x x x =(

)

21cos cos x x =-，

令cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()

32t t =-，则有2

()26g t t '=-，

令20,()26g t t t ='==-，()0,g t t '><<

()0,11g t t t '<-≤<<≤，

则()g t 递增区间是,33?- ??递减区间是[1),(33--，，

()g t ∴的极大值为g =??

(1)0g -=，所以最大值不为3

4. ③当0,

3x π?

?∈ ?

?时，1cos ,12t x ??

=∈ ???

，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调. ④()sin 2|sin |()f x x x f x π+=?-=，故该函数为周期函数，若T π<，

则()sin(22)|sin()|f x T x T x T +=+?+()f x ≠，故该函数最小正周期为π. 故选:D.

本题考查三角函数的性质，解题的关键用换元法，将问题转化为用导数的方法研究函数的性质，考查用反证法证明命题，属于较难题.

二、填空题

13．甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为

，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________. 【答案】

甲队胜包含两种情况，第四场胜；或第四场负，第五场胜，分别求出概率相加，即可求解

甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为12；或第四场负，第五场胜，概率为111

=224

?，

甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为113

+=244

故答案为:

. 本题考查互斥事件与相互独立同时发生的概率，属于基础题.

14．已知727

0127(1)mx a a x a x a x -=+++???+，若435a =，则实数m =________.

【答案】±1

根据7

(1)mx -展开式的通项公式，求出4x 系数，由条件得出关于m 的关系式，即可得

出结论. 【详解】

4447()a C m =-435m =35=1m ?=±.

故答案为:±1.

本题考查二项展开式项的系数，熟练掌握展开式的通项是解题关键，属于基础题. 15．已知,6

αβ+=tan 2tan αβ=，则sin()αβ-=________.

【答案】

tan 2tan αβ=化切为弦得到sin cos 2cos sin αβαβ=，由已知1sin()2

αβ+=

展开，可求得cos sin αβ的值，进而求出结论. 【详解】

tan 2tan αβ=sin cos 2cos sin αβαβ?=.

又sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+3cos sin αβ=12

1cos sin 6

αβ?=

，则sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-cos sin αβ=16

=. 故答案为:

. 本题考查三角函数求值，考查两角和差的正弦公式应用，化切为弦是解题的关键，属于

16．已知数列{}n a 满足1cos(1)3n n a a n n π+=++，则数列{}n a 的前40项和为________. 【答案】1260

21222121cos(21)6+36cos 2636n n n n n a a n n a a a n n n n ππ+--+=-=++=--++-=，

22113n n a a +-+=，相邻两个奇数项之和为3，2221cos(22)6+3n n a a n n π++=++

2+122cos(21)6366+3+12n+3n n n a a n n n a n π+==++++-=，222123n n a a n +=++，

分组并项求和，可得结果. 【详解】

研究奇数项有：133,a a +=573a a +=……，相邻两个奇数项之和为3；

研究偶数项有：2415,a a +=6839a a +=，相邻两个偶数项之和构成等差数列；所以前40项的和为109

31015102412602

??+?+?=. 故答案为:1260.

本题考查数列分组并项求和，解题的关键是从递推公式找到数列项的特征，属于较难题.

三、解答题

17．已知函数2

1()cos sin 2

f x x x x =+-

. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（2）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 为BC 边上一点，3BM MC =，若()1f A =，2,b =3c =，求AM .

【答案】（1）最小正周期为π；增区间为,63k k ππππ??

++ ???()k ∈Z （2）4

（1）用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简()f x sin 26x π?

，即可求出周期，利用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求出函数递增区间；

（2）()1f A =求出3

A π

=，以,AC AB u u u r u u u r 为基底，将AM u u u u r

表示为1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，

转化为求向量的模长，即可得出结论.

解：（1）1cos 21

()sin 2222

x f x x -=

+- sin 26x π?

?=- ??

?T π?=.

令2222

k x k π

ππ-

+<-

+()6

k x k k Z π

ππ?-

+<<

+∈，

所以增区间为,63k k ππππ??

++ ???

()k ∈Z ；

（2）()sin 26f A A π?

1=， 50,,266662A A A π

πππ

π<<-

-= 3A π∴=，

3,3,33BM MC BM MC AM AB AC AM ==-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r

，

1344AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r 22216916AM AB AB AC AC ???=+?+???

?u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 6316=，

所以||4

AM =

u u u u r

. 本题考查三角函数化简，以及三角函数的性质，考查用向量的方法求边长，属于中档题. 18．某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ，B ，C 三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.75.

（1）若引种树苗A ，B ，C 各一棵，求至少自然成活2棵的概率；

（2）已知引种一棵树苗B 需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B 中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B 及经人工栽培技术处理后成活的树苗B 在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B 的总花费为X 元，求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.8625（2）详见解析

（1）分别求出两颗成活一颗不成活的概率和三颗均成活的概率，相加即可求解；（2）X 的可能取值为：100，150，300，350.分别求出(100)P X =，(150)P X =，

(300)P X =，(350)P X =，写出分布列，按照期望公式，即可求解.

【详解】

解：（1）设事件D 为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；

则()0.80.750.2520.20.750.750.80.750.75P D =???+??+??0.8625=；（2）X 的可能取值为：100，150，300，350. 则有：(100)(10.75)0.20.05P X ==-?=，

(150)(10.75)0.80.20.04P X ==-??=，9 (300)0.75P X ==，

(350)(10.75)0.80.80.16P X ==-??=，

所以其分布列如下

()1000.051500.043000.753500.16292E X =?+?+?+?=.

本题考查相互独立同时发生的概率，以及互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.

（1）证明：数列{}23n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：

1211123

n b b b ++???+<. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

（1）由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为

[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；

（2）由（1）求出n a ，进而求出323n

n b =?-，根据

()1112

32321n

n n b =≤?-(1n =取等号），要证1211123n b b b ++???+<成立，转化为证等比数列12{}32

n ?前n 项和小于或等

于

，即可证明结论. 【详解】

解：（1）当2n ≥时，

由2

1122(1)

n n n n S a n S a n --?=+?=+-?1221n n a a n -?=-+ []12322(1)3n n a n a n -?--=---，

令1n =1121S a ?=+11a ?=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，

123

22(1)3

n n a n a n ---=---

故{}23n a n --为等比数列；

（2）由（1）得1236232n n

n a n ---=-?=-?，

2332n n a n =+-?，323n n b =?-，

()111232321n n n b =≤?-1

11(132n n -=?=时，取等号），所以原式01111322n -??≤?+???+????111211

312n ?????-??

???????=?- 212

1323

????=-

????，所以

1211123

n b b b ++???+<成立. 本题考查数列前n 项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.

20．已知圆2

:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，过圆O 上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹记为曲线Γ，设过原点O 且异于两坐标轴的直线与曲线Γ交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一个交点为M ，直线AC 与圆O 的另一个交点为N ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1,k 2k .

（1）求12k k ?的值；（2）判断

||||

AB AC AM AN +是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由. 【答案】（1）14

（2）是定值，定值为5

（1）设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，将点P 代入圆方程，求出曲线Γ方程

214

x y +=，设()0000,,0B x y x y ≠，则()00,C x y --，求出12k k ?，结合B 点在椭圆上，即可得出结论；

（2）设(,),(,),(,),(,)B B C C M M N N B x y C x y M x y N x y ，||

||||||||||||||

C B M N y y AB AC AM AN y y +=+，分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+，且1212

4m m k k =

=-，将直线,AB AC 方程分别与圆、椭圆联立，求出,,,B C M N y y y y ，即可求出结果. 【详解】

解：（1）设线段PQ 中点为(,)D x y ，则(,2)P x y ，

代入圆方程即得D 点轨迹方程为2214

x y +=，

设()00,B x y ，则()00,C x y --，且22

0014

x y +=，

则00120022y y k k x x -=?---2

204y x =- 2020144

x x -=- 14

=-；

（2）分别设直线AB ，AC 为12,x m y =+22x m y =+，且1212

4m m k k =

=-， 122

244x m y x y =+??+=?

()22

11440m y m y ?++=12144B m y m ?=-+，

122

24x m y x y =+??+=?

()22

11140m y m y ?++=12141M m y m ?=-+，同理可得：212

22144,44C m m y m m =-

=++1

211616

N m y m =+，所以||||||||B M y AB AM y =21211,4m m +=+|||||||

|C N y AC AN y =()

21211644

m m +=+，

所以

()2121520||||||||44m AB AC AM AN m ++=+5

=. 本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，合理应用两点间的距离公式是解题的关键，属于中档题. 21．已知函数()(2),

()ln x

f x e x

g x x x =-=-.

（1）求函数()()y f x g x =+的最小值；

（2）设函数()()()h x f x ag x =-(0)a ≠，讨论函数()h x 的零点个数.

【答案】（1）1e -（2）当e a <-时，()h x 有0个零点；当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点.

（1）令()()()x f x g x ?=+求导，令()0x ?'

=，求出x 的值，进而求出单调区间，极小

值，求出最小值；

（2）求()g x '，求出单调区间和极值，得出()0>g x ，()0h x =等价转化为

e (2)()ln x x a s x x x

-==-，转化为求直线y a =与函数()s x 的图像交点个数，通过求导数

的方法，研究函数()s x 的单调区间，极值和图像变化趋势，即可求解. 【详解】

解：（1）令()()()x f x g x ?=+

11()e (1)1(1)e x x x x x x x

???

'=-+-=-+ ? ??

，

令()0,1x x ?'==，()0,1,()0,01x x x x ??''>><<<，所以()x ?的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)，所以1x =时，()x ?取得极小值，也是最小值，

所以min ()(1)1e x ??==-；（2）11()1x g x x x

-'=-

=，令()0,1g x x '==， ()0,01,()0,1g x x g x x ''<<<>>

()g x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，

所以()g x 的极小值为(1)g ，也是最小值，()(1)10g x g ≥=>.

所以()0h x =e (2)

()ln x x a s x x x

-?==-，

因为2

2(1)ln 1()(ln )x e x x x x s x x x ?

?---+ ?

??'=

-，令2()ln 1k x x x x =--+

2(1)(2)()x x k x x

+-'?=，令()0,2k x x '==，()0,02,()0,2k x x k x x ''<<<>>

()k x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞，

所以()k x 的极小值为(2)k ，也是最小值，所以()(2)2ln 20k x k ≥=->，

所以()s x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞，

又因为0,x +

→()0,s x →,x →+∞()s x →+∞，且(1)e s =-，

所以，当e a <-时，()h x 有0个零点；当a e =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，()h x 有2个零点.

本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间、极值、最值、图像；考查函数零点个数，分离常数是解题的关键，属于较难题.

22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

8cos 6sin 110ρρθρθ---=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α

=+??=?，（t 为参数，0a π≤<），点(1,0)P ，直

线l 交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB +的取值范围.

【答案】（1）22:(4)(3)36C x y -+-=（2）

（1）将2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入极坐标方程，即可求出曲线C 的直角坐标方程；

（2）将直线参数方程代入曲线C 方程，得到关于t 的一元二次方程，记其两根为1,t 2t ，由韦达定理，得出1,t 2t 关系式，根据参数t 的几何意义，将||||PA PB +表示为α的函数，求其最值，即可求出结论. 【详解】

解：（1）28cos 6sin 110ρρθρθ---= 化为2

286110x y x y +---=

22:(4)(3)36C x y -+-=；

（2）将直线参数方程与圆C 方程联立得：

26(sin cos )180,t t αα-+-=

236(sin cos )7236sin 21080ααα?=++=+>，

记其两根为1,t 2t ，则12126(sin cos ),18t t t t αα+=-=+，

所以21||||PA PB t t +=-==，又[0,),απ∈sin 2[1,1],α∈-

||||PA PB ∴+∈，

其中，4

πα

取到最大值12，3

4απ=时取到最小值本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.

23．已知不等式|2|||1x x m ---≤对任意x ∈R 成立，记实数m 的最小值为0m . （1）求0m ；

（2）已知实数a ，b ，c 满足：02,a b c m ++=2

a b c ++=，求C 的最大值. 【答案】（1）01m =（2）

512

（1）根据绝对值不等式性质，求出|2|||x x m ---最小值为|2|m -，结合已知可

|2|1m -≤，去绝对值，求出m 的取值范围，即可得出结论；

（2）由（1）可得12a b c +=-，由柯西不等式得到(

)22

(11)()

a b

a b ++≥+，再结

合已知可得2232(12)16c c ??-≥- ???

，就出c 的范围，再由22

23016a b c +=

-≥求出c 的范围，两个范围取交集，即可求出结论. 【详解】

解：（1）由绝对值不等式知，

|2|||(2)()x x m x x m ---≤---|2|m =-，

当x m =时等号成立，

由题知|2|1m -≤，即13,m ≤≤01m ∴=；

（2）22212316a b c

a b c +=-???+=-??

，

由柯西不等式得(

)22

(11)()

a b a b ++≥+，

故2232(12)16c c ??

-≥-

???

，即(41)(125)0c c --≤，即

15412

c ≤≤，又2

23016a b c +=

-≥

，44

c -≤≤，综上，c 的最大值为

. 本题考查绝不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及柯西不等式的应用，是解题的关键，属于中档题.

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

山东省潍坊市2020届高三期末试题(数学)

2020．1 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{} 223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈?，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{} 11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi += A ．1 B.2 C.3 D.2 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6 4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所示，则的部分图象可能是本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．试题（数学）高三数学山东省潍坊市2020届高三期末

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<