三角函数的图像和性质
课 题 三角函数的图像和性质
学情分析
三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容,学生刚刚刚学到,对好多概念还 不很清楚,理解也不够透彻,需要及时加强巩固。
教学目标与 考点分析 1.掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用;
2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用.
教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
1.“五点法”描图
(1)y =si n x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0),)1,2
(π
,(π,0),)
1,23(
-π,(2π,0).
(2)y=c os x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1),)0,2(π,(π,-1),)0,23(π
,(2π,1).
2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x
定义域 R R {x |x ≠k π+错误!,k∈Z }
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
(1)周期性
函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为错误!,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为错误!.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=A tan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法:
(1)利用sinx、cosx的有界性;
(2)形式复杂的函数应化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
双基自测
1.函数)3cos(π
+=x y ,x ∈R ( ).
A .是奇函数 B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数
2.函数)4
tan(x y -=π
的定义域为( ). A .
}
,4
|{Z k k x x ∈-
≠π
π B .},4
2|{Z k k x x ∈-≠π
π C.},4
|{Z k k x x ∈+
≠π
π
D .},4
2|{Z k k x x ∈+
≠π
π
3.)4sin(π
-=x y 的图象的一个对称中心是( ).
A .(-π,0)
B .)0,4
3(π-
C.)0,2
3(
π
?D.)0,2(π
4.函数f(x)=co s)6
2(π
+x 的最小正周期为________.
考向一 三角函数的周期
【例1】?求下列函数的周期:? (1))
23sin(x y π
π-=;
(2))6
3tan(π-=x y
考向二 三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如y=a si n2x +b sin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t的二次函数
求值域(最值);
②形如y =a s in x cos x +b(si n x±cos x )+c的三角函数,可先设t =sin x ±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值).
【例2】?(1)求函数y =lg sin 2x +9-x 2的定义域. (2)求函数y=co s2x +sin x)4
|(|π
≤x 的最大值与最小值.
【训练2】 (1)求函数y=sin x-co s x 的定义域;
(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=
x x
x y π
的定义域
(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[,求)(cos x f 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如y =A sin (ωx +φ)+k 的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y =sin x 的相应单调区间内即可,若ω为负则要先把ω化为正数. 【例3】?求下列函数的单调递增区间.
(1))23cos(x y -=π,(2))324sin(21x y -=π,(3))3
3tan(π
-=x y .?
【训练3】 函数f(x )=sin )3
2(π
+
-x 的单调减区间为______.
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 【例4】?(1)函数y =cos )32(π
+x 图象的对称轴方程可能是( ).
A .x =-\f (π,6)
B .x =-π12
C.x =π
6 D.x =错误! (2)若0<α<错误!,)4
2sin()(απ
++=x x g 是偶函数,则α的值为________.
【训练4】 (1)函数y =2sin (3x+φ))2
|(|π
?<的一条对称轴为x=\f(π,12),则φ=___
_____.
(2)函数y =cos(3x +φ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ=________.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常
将方程的思想与待定系数法相结合.
【示例】? 已知函数f (x)=si n)3(πω+x (ω>0)的单调递增区间为]12
,125[π
πππ+-k k (k
∈Z),单调递减区间为]12
7,12[π
πππ++k k (k ∈Z),则ω的值为________.
练一练:
1、已知函数)3
3sin()(π
+=x x f
(1)判断函数的奇偶性;(2)判断函数的对称性.
2、设函数)0)(2sin()(<<-+=?π?x x f 的图象的一条对称轴是直线8
π
=x ,则=?____
__.
课后练习:
三角函数的图象与性质·练习题
一、选择题
(1)下列各命题中正确的
是 [ ]
(2)下列四个命题中,正确的
是[] A.函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B.y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C.函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π,2kπ)(k∈Z)
(3)下列命题中,不正确的
是 [
]
D.函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中,非奇非偶的函数
是[]
(5)给出下列命题:
①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b
以上命题中正确命题的个数
是 [ ]
A.1
B.2
C.3
D.4
[ ]
A.sinα B.cosα>tgα>sinα C.sinα>tgα>cosα D.tgα>sinα>cosα (7)设x为第二象限角,则必 有 [ ] [ ] 二、填空题 (9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______. 的值是______. (11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位,所得到的图象为C,又设图象C1与C关于原点对称,那么C1所对应的函数是______. (12)给出下列命题: ①存在实数α,使sinαcosα=1 ⑤若α,β是第一象限角,α>β则tgα>tgβ 其中正确命题的序号是______. 三、解答题 (14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2,试求实数a的值. 答案与提示 一、 (2)D(3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D (1) B 提示 (2)y=ctgx在(kπ,kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数. y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数,而在[2kπ,2kπ+π]上是减函数. (3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之. (5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时,ymax=2 ②当cosx=-1时,f(x)max=a-b ∴cosα<sinα<tgα 二、(9)[-2,2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④ 提示 (11)C:y=arctg(x-2),C1:-y=arctg(-x-2),∴y=arctg(x+2) 由390°>45°,但tg390°=tg30° 综上,③④正确. 三、