nk nk
X I X
D )}({τ0→．
我们可把“对任给0>ε和某个0>τ”换作“任给的0>ε和任给0>τ”． 证：
3 强大数定律
3．1 强大数定律的叙述
定义3．1．1 设｛X n ｝为随机变量列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果
?→
?-∑=.
.1
)]([1
s a n
k k k
X E X
n
则称｛X n ｝满足强大数定律．
在独立情形下讨论强大数定律．
定理3．1．1 柯尔莫戈洛夫强大数定律 设｛X n ｝是独立随机变量序列，满足
∑
∞
=+∞
<1
2
)(k k k
D ξ
则强大数定律成立．
证明可查看由杨振明编著的《概率论》的P221，本定理的证明用到了概率论中非常重要的截尾法。
在独立同分布条件下讨论强大数定律．
定理3．1．2 假定｛X n ｝是相互独立同分布的随机变量序列，如果它们有有限的数学期望E(X n )=a ，则强大数定律成立，即n ∞→时有
n
1∑
=??→?n
k s a n a
X 1
.
.
定理3．1．3 波雷尔强大数定律 设n μ为n 重伯努利试验中成功的次数，则n ∞→时有
p n
s a n
?→?.
.μ．
事实上定理3．1．3中的贝努利条件是定理3．1．2中的独立同分布条件的特例，所以定理3．1．2可以说是定理3．1．1的推广．
3．２ 强大数定律的推广 3．2．1 强大数定律定义的推广
定义3．2．1 如果存在二个数列｛a n ：n 1≥｝与｛b n ：n 1≥｝且0< b n ∞→(n ∞→)使得
0→-n
n
n b a Y a ．e ．［P ］
则称r ．v ．列｛Y n ：n ≥１｝对｛a n ：n 1≥｝与｛b n ：n 1≥｝是强稳定的．或称规范列｛
n
n
n b a Y -：n 1≥｝具有强稳定性．我们常把｛a n ：n 1≥｝称为中心化数
列，｛b n ：n 1≥｝称为规范化数列．
本节主要讨论的是r ．v ．列｛X n ：n 1≥｝的部分和序列｛S n =∑=n
k k X 1
：n 1≥｝
的强稳定化问题．事实上，当b n ＝n (n ≥1)时{S n ：n 1≥}就类似于我们学习过的强大数定律．下面给出一个推广后的强大数定律的定义．
定义3．2．2 如果存在中心化数列｛a n ：n 1≥｝使得
0→-n
a S n
n a ．v ．
［P ］ 则称r ．v ．列{X n ：n 1≥}服从强大数定律．
下面我们将进一步讨论r ．v ．列的强稳定化问题，我们的目标是找出规范列｛
n
n
n b a S -：n 1≥｝的充分必要条件，若不然就退而求其次，分别找出强稳定
性成立与不成立的充分条件．r ．v ．列可分为任意r ．v ．列，独立r ．v ．列和独立同分布r ．v ．列等情况．下面我们就r ．v ．列的性质进行分类讨论强稳定性的成立条件．首先给出一个由级数的收敛导得部分和稳定性的一个重要引理及其推论．
定义3．2．3 设实数系列为： a 11，a 12，．．．，a 1
1k
a 21，a 22，．．．，a 2
2k
．．． ．．． ．．． a 1n ，a 2n ，．．．，a n
nk
．．． ．．． ．．． 其中对每个n 1≥，k n ∞≤，简记为
｛a nk ：n 1≥且k ＝1，2，3，．．．，k n ｝
如果该系列满足条件：
（T 1） 对每个固定的k 1≥，都有a nk 0→ （n ∞→） （T 2） 存在一个常数C>0，使得对每个n 1≥都有
∑
=n
k k nk a 1
C ≤．
则称｛a nk ：n 1≥且k ＝1，2，．．．k n ｝是托普利茨（Toeplitz ）系列．
引理3．2．1 （托普利茨引理） 设｛a nk ：n 1≥且k ≤k n ｝是托普利茨系
列；｛x n ：n 1≥｝是实数列且
x '
n
＝∑=n
k k k nk x a 1
(n 1≥)
(i) 若x n 0→ (n ∞→)，则x 'n 0→ (n ∞→)；
(ii) 若∑=n
k k nk a 11→且x n x →有限 (n ∞→)，则x 'n x → (n ∞→)．
证明（《随机极限引论》朱成熹P114）
推论3．2．1 设｛a n >0：n 1≥｝和｛x n ：n 1≥｝是二个数列，若b n ＝∞
↑∑=n
k k a 1
且x n x →有限(n ∞→)．则
n
b 1∑=n
k k k
x a
1
x
→ (n ∞→)
证 令a nk ＝
n
k
b a (n 1≥，k ＝1，2，．．．，n)易证｛a nk ，n 1≥，k ＝1，2，．．．，
n ｝是托普利茨系列且
11
=∑=n
k nk
a
(n 1≥)
根据托普利茨引理(ii)可得
x x a
x a
b n
k k nk
n
k k k
n
→=
∑∑==1
1
1 (n ∞→)
推论3．2．2 （克罗内克Kronecker 引理） 设｛x n ：n 1≥｝及｛b n ：n 1≥｝
是实数列且∑∞
=1
n n x 收敛而0<∞↑n b ．则
011
→∑=n
k k k
n
x b
b (n ∞→) (3．1)
证 令b 0＝0，a n ＝b n －b 1-n >0 (n ≥1)
x 0＝0，s n ＝∑=-n
k k x 1
1 (n>1)
则
n
b 1∑=n
k k
k
x b
1
=
n
b 1∑=+-n
k k k k
s s b
1
1)(=
])([11
11∑=-+--
n
k k k k
n n n
s b b
s b b
=s 1-n －
n
b 1∑=n
k k
k
s a
1
(3．2)
不妨设∑∞
=1
n n x 收敛于s ，即s s n n =+∞
→1lim ，根据推论1并利用(3．2)即可得到(3．1)
成立．
3．2．2 ｛X n ｝为任意r ．v ．列
定理3．2．1 设｛X n ｝为任意r ．v ．列．｛c n ：n 1≥｝及｛b n ：n 1≥｝是满足0＜b n ∞↑的任意数列．若
∑
∞
=-1
n n
n
n
b c X
a ．e ．［P ］收敛
则 n
b 1(S n －a n )0→ a ．e ．［P ］ (n ∞→)
其中
a n ＝∑=n
k k c 1
， S n =∑=n
k k X 1
(n 1≥)
证 在克罗内克Kronecker 引理中，对∑
∞
=-1
)(n n
n
n b c X ω＝S(ω)有限的
ωΩ∈，取 x k ＝
n
n
k b c X -)(ω，则
∑
∑
==-=
-=
n
k n n n
k k
n
n
k k k n
a S
b
c X
b x b b 1
1
)(1)(110→ a ．e ．［P ］
定理3．2．2 设｛X n ：n 1≥｝是任意r ．v ．列；0
r>0有∑
∞
=1
)
(n rs n
s
r
n b
X E <∞，则
0→n
n b S a ．s ．
［P ］． 其中 s ＝???
??≥<1,11,1r r
r
证 由c r 不等式(r<1)及闽科夫斯基(Minkowski)不等式(r ≥1)知，对任意n 1≥有
（E(
n
n b X b X b X +
++
2
211)r ）s ≤
∑=n
k s
r k
X
E
1
)
(∑∞
=1
)
(k s
r k
k
b X
E
＝∑
∞
=1
)(1k s
r k
rs
k
X
E b
<∞
令n ∞→，由单调收敛定理可得
∑
∞
=1
)
(n rs
n
s
r
n b X E ≤
∑∞
=1
)(1
k s
r k
rs k
X
E b
<∞
再利用若0k b X 1≤，则
≤
k
k b X r k
k
b X
；
若r 1≥则
E(∑
∞
=1
k k
k b X )≤[E r
k k k
b X ???
?
??∑∞=1]r 1
故
∑
∞
=1n k k b X a ．e ．［P ］收敛，更有
∑
∞
=1
k k
k
b X
a ．e ．［P ］收敛，
利用定理 3．2．1可推得
n
n b S →0 a ．e ．［P ］
3．2．3 ｛X n ｝为独立r ．v ．列
在独立条件下关于部分和序列｛S n ：n 1≥｝强稳定化的一些充分性条件． 定理3．2．3（强稳定性的三级数判别法） 如果存在一个常数c>0，使得 (K 1)
∑∞
=>1
)
(n n n
cb X
P <∞
(K 2)
∑∞
=1
2)(1
n cb
n n
n X D b
<∞
(K 3)
n cb n
n
EX
b 11
∑
∞
收敛
则 0→n
n b S a ．e ．［P ］(n ∞→)
证 因为 ［
n
n
b X
］c (ω)=
n
b 1X n
cb n
(ω) 所以由柯尔莫戈洛夫三级数判别法可得
0→n
n b S ．
附：（柯尔莫戈洛夫三级数判别法） 设｛X n ：n 1≥｝是独立的r ．v ．列，则
∑
∞
=1
n n
X
a ．e ．［P ］收敛?任意存在常数C>0似的下列三级数同时收敛：
(K 1)
∑∞
=>1)(n n
C X
P <∞
(K 2)
∑∞
=1)(n c n
X
D <∞
(K 3)
∑∞
=1
n c
n
EX 收敛．
引理3．2．2 设对每个n 1≥．函数g n (x)满足条件 (G 1) g n (x)在［0，∞］上右连续、不减且g n (0)＝0， (G 2) 存在函数：
g *n
(x)=Cx 2],0[n
C χ(x)+C ')
,(∞n
C
χ(x) (3．3)
使得g n (x)≥ g *n (x)，x ∈［0，∞］ (3．4) 其中C n ，C ，C '都是正常数，再设｛X n ：n 1≥｝是独立r ．v ．列
a ． 如果下述二级数同时收敛：
(i '
)
∞
<>∑∞
=1)(n n n
C X
P ；
(ii '
)
∞
<∑∞
=1
)(n C n
n
n X
Eg
．
则∑∞
=-1
)(n C n
n n
EX
X a ．e ．［P ］收敛 (3．5)
如果下述二级数之一收敛：(i)
∞
<∑∞
=1
)(n n
n
X
Eg
或(ii)
∞
<>∑?
∞
=1
)()(n n C n x dg x X P n
．则(3．5)成立．
证 先证a 根据(ii ')的收敛性及(3．3)(3．4)知
∑
∑
∞
=∞
=≤
1
2
1
][)(n C n
n C n
n n
X
E X
D ＝
∑∞
=1
*
)(1
n C n
n n X
Eg C
∑∞
=≤
1
)
(1
n C
n n n X Eg C
＜∞
所以
∑∞
=-1
)(n C n
C n
n n
EX
X
a ．e ．［P ］收敛．
又因为(i ')，所以
∑
∞
=1
n n
X
与∑∞
=1
n C n n
X 收敛等价，因此(3．5)成立．
次证b 若(i)成立．根据(3．3)(3．4)则有
∑∑∞
=∞∞
==
>1
)
,(1
)
()(n n c n n n
X E C X
P n χ
∞<≤
≤
∑∑∞
=∞
=1
'
1
*'
)(1)(1n n n
n n n
X Eg
C
X Eg
C
(3．6)
又由(G 1)及n
C n X n X ≤可得
∑∞
=1
)(n C n
n
n X
Eg
∞
<≤
∑∞
=1
)(n n n
X Eg
从而由a 可得(3．5)成立．
若(ii)成立．将(ii)用分部积分并利用条件(G 1)(G 2)可得
∑?
∞
=>>
∞1
)()(n n C n
x dg x X P n
＝∑?
∞
=≤+
>1
])()()()([n C n n n n n n n
x X dP x g C X P C g
=∑∞
=∞→>+
1
)()1(lim n n n n m C X P m
C g +∑∞
=1
)(n C
n n n X Eg
∑∑∞
=∞
=+
>≥1
1
'
)()(n C
n n
n n n
n X Eg
C X
P C
故(i ')及(ii ')成立，利用a 证即得(3．5)成立．
推论3．2．4 设对每个n 1≥，函数g n (x)满足条件(G 1)(G 2)，进而还满足 (G 3) 存在常数C ''>0使得
(I) 当0C n 时，g n (x)x C ''≥
如果｛X n ：n 1≤｝是独立r ．v ．列，并且∞<∑∞
=1
)(n n n X Eg ，
则(I '
)
∑
∞
=1n n
X
a ．e ．［P ］收敛；或者（对应的）
(II '
)
∑∞
=-1
)(n n n
EX X
a ．e ．［P ］收敛．
证 若(I)成立，则由∞<∑∞
=1
)(n n n X Eg 及(G 1)可得
∑∞
=1
n C n
n X
E
≤
'
'1C
∞
<∑∞
=1
)(n n
n
X
Eg
故∑∞
=1
n C n
n X
E 收敛．另一方面，由定理的b 可推知(3．5)成立，所以(I '
)
∑
∞
=1
n n
X
a ．e ．［P ］收敛．
若(II)成立，则由∞<∑∞
=1
)(n n n X Eg 可得
∑∑
∞
=∞∞
=≤
-1
)
,(1))((n n C
n
n C n
n
X X
E EX
EX
n
n χ∞
<≤
∑∞
=1
'
')(1n n n
X Eg
C
因而∑∞
=-1)
(n n C n
EX EX
n 收敛．另一方面，由定理的b 可推得(3．5)成立，所以
∑∞
=-1
)(n n n
EX X
＝∑∞
=-1
)
(n C n
n n EX
X ＋∑∞
=-1
)
(n n C n
EX EX
n a ．e ．［P ］收敛
推论3．2．5 设｛X n ：n 1≥｝是独立r ．v ．列且∑∞
=1
n r n
n
X E <∞．
(i) 若对每个n 1≥都有0=1
n n X a ．e ．［P ］收敛；
(ii) 若对每个n 1≥都有1n r ≤2≤成立，则
∑∞
=-1
)(n n n
EX X
a ．e ．［P ］收敛．
证 在推论3．2．4中取g n (x)=x n
r (r n >0)．显然，g n (x)满足条件(G 1)；取
C n ≡1(n 1≥)且C=C '=1，则对每个n 1≥及0x n
r 2x ≥ 当01≤≤x 时
x n
r 1≥ 当x 1≥时
亦即条件(G 2)满足，此时g *n (x)=x
2
]1,0[χ(x)+)().1(x ∞χ 它对每个n 1≥还满足：
第五章 大数定律和中心极限定理
一、大数定律 切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界， 那么对 辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在， 则对任意 【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么 依概率收敛到_____ [答疑编号986305101：针对该题提问] 答案： 【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布， 则。 [答疑编号986305102：针对该题提问] 【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律， 当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（） A.有相同的数学期望 B.服从同一离散型分布 C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布 [答疑编号986305103：针对该题提问] 答案：C 【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为 则辛钦大数定律对此序列（） A.适用 B.当常数a,b取适当的数值时适用 C.不适用 D.无法判别 [答疑编号986305104：针对该题提问]
答案C 二、中心极限定理 独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布， 【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（） [答疑编号986305105：针对该题提问] 答案：C
最新整理初二物理《牛顿第一定律》教案
初二物理《牛顿第一定律》教案 实验分析： 三次实验，小车最终都静止，为什么? 三次实验，小车运动的距离不同，这说明什么问题? 小球运动距离的长短跟它受到的阻力有什么关系? 若使小车运动时受到的阻力进一步减小，小车运动的距离将变长还是变短? 根据上面的实验及推理的思想，还可以推理出什么结论? 推理：小球在光滑的阻力为零的表面，将会怎样运动? 实验结论：通过伽利略的实验和科学推理得出“运动的物体，如果受到的阻力为零，它的速度将不会减慢，将以恒定不变的速度永远运动下去。”即作匀速运动。 [微机模拟实验]:简介伽利略理想实验 迪卡儿的补充 如果运动物体不受任何力的作用，不仅速度大小不变，而且运动方向也不变，将沿原来的方向匀速运动下去。 牛顿的成果：补充与概括 师:物体除了运动的以外,还有静止的。那么，静止的物体在没有受到外力作用时，保持什么状态呢?(牛顿补充：将保持静止状态) 师(引导学生概括):我们现在已经有了伽利略的研究成果,又
有了迪卡儿和牛顿的补充,把两者进行一下概括：一切物体在没有受到外力作用时，将如何呢?(对概括出来大致意思的同学给予鼓励) 介绍：牛顿抓住时机,概括总结得出著名的牛顿第一运动定律方法2：学生探究式学习 针对基础较好的学生，可以由学生在老师的指导下自己完成斜面小车实验，根据现象学生分组讨论,明确亚里士多德的观点的问题根源.由学生互相补充确定实验结论。 2.定律分析 定律成立条件：不受外力作用 运动规律：总保持匀速直线运动状态或静止状态。 师(回应课题引入实验)：回想我们最开始的.实验，有推力板擦运动,撤去推力板擦停下来，从表面现象上得到的结论运动需要力维持是错误的，但这种现象是千真万确摆在我们面前的，我们如何用牛一的观点正确的解释这个现象呢? 三、巩固练习 1. 一物体放在桌上静止,假若某瞬间撤掉所有的外力,物体将怎么样? 2. 对于牛顿第一定律的看法，下列观点正确的是( ) A.验证牛顿第一定律的实验可以做出来，所以惯性定律是正确的 B.验证牛顿第一定律的实验做不出来，所以惯性定律不能肯
浅谈几个著名的大数定律及应用
2010.No34 4 摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。 关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率 1 引言 “大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。 2 几个大数定律 在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。 定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示： 定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式 都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 大数定律形式很多，我们仅介绍几种最常用的大数定律。定理1[1] （切比雪夫大数定律） 设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k，使得对一切i=1，2，…，有σi 2牛顿第一定律教学设计
牛顿第一定律教学设计 教学目标 知识目标： 1.知道牛顿第一定律,常识性了解伽利略理想实验的推理过程。 能力目标： 1.通过斜面小车实验,培养学生的观察能力。 2.通过实验分析,初步培养学生科学的思维方法(分析、概括、推理)。情感目标： 1.通过科学史的简介,对学生进行严谨的科学态度教育。 2.通过伽利略的理想实验,给学生以科学方法论的教育。 教学建议 本节课的重点是揭示物体不受力时的运动规律，即牛顿第一运动定律。 教法建议 1.学生学习牛顿第一定律的困难在于从生活经验中得到的一种被现象掩盖了本质的错误观念，认为物体的运动是力作用的结果。如推一个物体，它就动，不再推它时，它便静止。为使学生摆脱这种错误观念，首先要把运动和运动的变化区别开，树立从静到动和从动到静都是“运动状态改变”的概念，这是为了揭示力和运动的关系做的重要铺垫。其次，通过实验确立“力是改变运动状态的原因”的概念。再通过推理建立“不受力运动状态不变”的概念。 2.通过演示实验的比较、分析、综合、推理是本节课的核心，可对学生进行简单的科学推理方法的教育。在此演示实验中可通过设计不同的问题渗透研究方法。 3.本节课可按着人类对知识的认识顺序组织教学，让学生体会规律的认识过程，对学生进行学史教育。从亚里士多德的观点——伽利略的研究——笛卡尔的补充——牛顿的总结。 教学设计示例 牛顿第一定律 教学重点:通过对小车实验的分析比较得出牛顿第一定律。 教学难点: 1．明确“力是维持物体运动的原因”观点是错误的。 2．伽利略理想实验的推理过程教学用具：斜面，小车，毛巾，棉布，玻璃板，微机,实物投影，大倍投电视。 教学过程 一、实验引入：批驳亚里士多德的观点
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
毕业论文大数定律在经济学中的应用
学校代码：10206 学生学号：051074204 白城师范学院 毕业论文（设计） 大数定律在经济学中的应用Law of large numbers in economics 学生姓名：安琦 指导教师：邬伟三讲师 学科专业：数学与应用数学 所在单位：数学系 2011年6月
摘要 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。 有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。 通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。 大数定律是概率论中的重要内容,它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用,较多文献给出了不同条件下存在的大数定律,并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性,但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。本文就大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律,并结合它们存在的条件的不同,分析了它们各种适用的数学模型的特征,列举了它们在经济生活领域的应用,将理论具体化, ,以使得枯燥的数学理论与实际想结合,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识。 关键词：大数定律特征函数保险银行贷款
Abstract A history of probability limit theorem is Bernoulli, later known as the "law of large numbers." Probability random variables discussed in the arithmetic mean law of convergence to the constant. Probability theory and mathematical statistics one of the basic laws. Some random events without a pattern, but many are regular, these "regular random incident," a large number of recurring conditions, often showing statistics of almost inevitable, this rule is the law of large numbers. In layman's terms, this theorem is that under the same conditions in the test, repeat testing several times, the frequency of random events similar to it probability. In this case, includes the inevitable accident. The regularity and characteristics of the inevitable large number of samples to be reflected. Law of large numbers is an important part of probability theory, its rigorous mathematical form, the most fundamental expression of the random nature of the phenomenon - an average of the stability of results, it is the statistical regularity of random phenomena of specific performance, application and economic life in mathematics has a more important role, more literature exists under different conditions are given law of large numbers, and using law of large numbers and central limit theorem, the convergence of many models, but their scope of application and in real life The applications involve small. This paper made a law of large numbers of specific analysis, introduces some of the more common law of large numbers, combined with their existing conditions, the analysis of their mathematical model for a variety of features, listed them in the field of economic life the application of the theory specific, in order to make the boring mathematical theory and practice was integrated so that peop le in the law of large numbers of applications in real life have a deeper understanding of the value. Keywords：Law of Large Numbers Characteristic function Insurance Bank loans
牛顿第一定律
职前教师对牛顿第一运动定律的理解 1、中学物理中的牛顿第一运动定律 ??1.1定律的引入 牛顿第一定律描述的是一种理想化的运动状态，即物体不受外力作用的状态。很显然这无法用实验直接验证，但伽利略在分析大量事实的基础上，忽略次要因素、突出主要因素，运用理想实验这一科学推理的思维方法，阐明了力不是维持物体运动的原因，反映了物体运动的内在的本质规律。伽利略不但证实了牛顿第一定律的正确性，同时也开创了科学研究的正确方法——实验与思维的完美结合。他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学，因此，他被称为“近代科学之父”。他的工作为牛顿的理论体系的建立奠定了基础。 牛顿第一定律是力学基本定律建立的基础。牛顿第一定律以一切物体所具有的属性——惯性为出发点，比较严密地定义了惯性，揭示了惯性运动的本质，进一步还可以引入惯性参考系、惯性质量。定性地给出了力的科学定义，表述了力的本质和力的效果。牛顿第一定律包括了惯性、惯性运动、惯性参考系和力的概念，还启迪人们去研究物体运动状态的改变与外力作用的关系，可见牛顿第一定律是其它力学定律建立的基础。 1.2定律的内涵 牛顿第一定律有着丰富的内涵。第一，牛顿第一定律揭示了自然界一切物体在不受任何外力作用时，将如何运动的规律——总保持静止状态或匀速直线运动状态。自然界中不受外力作用的物体是没有的，但这一规律是客观的正确的，也足见在认识自然上人类智慧的力量。第二，定律揭示了任何物体都具有保持运动状态不变的本性——惯性，这是物体的固有属性，是由物体的内在因素决定的，物体要保持的这种运动也称为惯性运动。第三，牛顿第一定律定性地给出了力的科学定义：力是使物体运动状态改变的原因，即使物体产生加速度的原因，从而也批判了力是维持物体运动原因的错误。牛顿第一定律已指出了运动维持、运动状态改变的根本原因，虽没有直接解决加速度与力、质量的定量关系，但这两个问题已明白地提出，对这两个问题的深入探索和研究才导致了牛顿第二定律的产生。第四，牛顿第一定律也表明，物体的静止状态与匀速直线运动状态具有等价性。实质上，静止和运动只不过是相对于不同的参考系而得到的不同观察结果，静止和匀速直线运动均要求物体所受的合力为零。同时它给经典力学体系选取了一个特殊的参考系——惯性参考系，即静止或做匀速直线运动的物体。只有在惯性参考系里，牛顿运动定律才得以遵守。 从形式上看，牛顿第二定律在外力为零的情况下，可引出与牛顿第一定律似乎完全相同的表述，但绝不能理解为牛顿第一定律是牛顿第二定律在作用力为零时的特例。否则就是舍弃了牛顿第一定律的精髓，即割裂了牛顿第一定律与牛顿运动定律整体间的逻辑结构关系，扭曲了牛顿第一定律的内涵。没有惯性定律就没有惯性、惯性运动、惯性参考系、力的科学概念，牛顿第二定律就无从谈起，牛顿第一定律是前提、是基础，并具有独立性。 1.3定律的外延 牛顿第一定律说明了两个问题：（1）它明确了力和运动的关系。物体的运动并不是需要力来维持，只有当物体的运动状态发生变化，即产生加速度时，才需要力的作用。在牛顿第一定律的基础上得出力的定性定义：力是一个物体对另一个物体的作用，它使受力物体改变运动状态。⑵它提出了惯性的概念。物体之所以保持静止或匀速直线运动，是在不受力的条件下，由物体本身的特性来决定的。物体所固有的、保持原来运动状态不变的特性叫惯性。物体不受力时所作的匀速直线运动也叫惯性运动。牛顿在第一定律中没有说明静止或运动状态是相对于什么参照系说的，然而，按牛顿的本意，这里所指的运动是在绝对时间过程中的相对于绝对空间的某一绝对运动。牛顿第一定律成立于这样的参照系。通常把牛顿第一定律成立的参照系成为惯性参照系，因此这一定律在实际上定义了惯性参照系这一重要概念。牛
大数定律及其应用( 刘胜举200702014001)
本科生毕业论文（设计） 题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师 2011年 4 月 28 日
目录 摘要............................................................ I 第一章绪论. (1) 第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (10) 结论 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20)
摘要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：大数定律，概率分布，保险业 Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications. Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance
数学分析公式定理111章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。
大数定律与中心极限定理及其应用
重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020
概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。
牛顿第一定律
牛顿第一定律 知识目标： 知道牛顿第一定律,常识性了解伽利略理想实验的推理过程. 能力目标： 1.通过斜面小车实验,培养学生的观察能力. 2.通过实验分析,初步培养学生科学的思维方法(分析、概括、推理). 情感目标： 1.通过科学史的简介,对学生进行严谨的科学态度教育. 2.通过伽利略的理想实验,给学生以科学方法论的教育. 教学建议 教材分析 教材首先通过回忆思考的形式提出问题：如果物体不受力，将会怎样?通过小车在不同表面运动的演示实验，使学生直观的看到物体运动距离与阻力大小的关系，为讲解伽利略的推理作准备。然后讲述伽利略的推理方法和通过推理得出的结论，再介绍迪卡儿对伽利略结论的补充，牛顿最后总结得出的牛顿第一定律。通过这些使学生了解定律的得出是建立在许多人研究的基础上的，正如牛顿所说：如果说我所看的更远一点，那是因为站在巨人肩上的缘故。最后指出牛顿第一定律不是实验定律，而是用科学推理的方法概括出来的，
定律是否正确要通过实践来检验。给学生以科学方法论的教育。 本节课的重点是揭示物体不受力时的运动规律，即牛顿第一运动定律。 教法建议 1.学生学习牛顿第一定律的困难在于从生活经验中得到的 一种被现象掩盖了本质的错误观念，认为物体的运动是力作用的结果。如推一个物体，它就动，不再推它时，它便静止。为使学生摆脱这种错误观念，首先要把运动和运动的变化区别开，树立从静到动和从动到静都是运动状态改变的概念，这是为了揭示力和运动的关系做的重要铺垫。其次，通过实验确立力是改变运动状态的原因的概念。再通过推理建立不受力运动状态不变的概念。 2.通过图9-1演示实验的比较、分析、综合、推理是本节课的核心，可对学生进行简单的科学推理方法的教育。在此演示实验中可通过设计不同的问题渗透研究方法。 3.本节课可按着人类对知识的认识顺序组织教学，让学生体会规律的认识过程，对学生进行学史教育。从亚里士多德的观点伽利略的研究笛卡尔的补充牛顿的总结。 教学设计示例 牛顿第一定律 教学重点:通过对小车实验的分析比较得出牛顿第一定律。
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理 第一节大数定律 一、历史简介 概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理. 二、大数定律 定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有 证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次 试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝 努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且 而
于是 由契比晓夫不等式有 又由独立性知道有 从而有 这就证明了定理1. 若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的 ,有
成立,则称随机变量序列服从大数定律. 定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有 则对于任意的,有 证明:利用契比晓夫不等式,有 因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到 从而有
牛顿第一定律观后感
八年级物理《牛顿第一定律》观后感 铜仁一中初级中学八年级物理备课组疫情期间，国家教育部门，以“停课不停学”为宗旨，推出了“空中黔课”为孩子们在疫情期间提供了在家学习的机会，也为我们老师提供了再学习的机会。 借此机会，八年级物理备课组全体教师于2020年2月24日，下午14：30准时收看了由贵阳十九中骨干教师——高彬老师带来的《牛顿第一定律》，通过收看获益良多: 1、本节课条理清晰，重难点突出，上课语速较合理。 2、本节课介绍了，亚里士多德、伽利略、笛卡尔、牛顿等科学家，以实验再现的方式带领学生层层推进，让学生对《牛顿第一定律》的来历有了全面深刻的了解，在实验中让学生知道了理想实验法、控制变量法等常用的物理方法，而且在总结的时候叫同学们回忆在哪些地方用到了这两种方法，做到首位呼应，更深刻的加深了学生的印象。 3、教学设计层层递进，引导学生创设情景、提出问题，每个问题都有时间让学生思考，特别是最后总结的时候，留下一分钟的时间给学生整理笔记，充分体现了以学生主体的教学思想。 4、解析了《牛顿第一定律》的内涵，力不是维持物体运动的原因，只是改变物体运动状态的原因，从而讲到《牛顿第一定律》的适用范围，自然界中物体不受外力的情况是不存在的，静止在桌面上的小车就受到了重力和支持力的作用，之所以还能静止，是由于重力和支持力的作用效果相互抵消，和不受外力作用相似，从而推广《牛顿第一
定律》适用于生活中的所有物体，让学生更深刻的了解该定律的适用范围。 5、课堂最后，以物体竖直上抛和自由下落研究动静点，如果力撤去判断物体的运动情况，该例题非常典型，更好的抓住了本节课的重点，加深了同学们对《牛顿第一定律的理解》 6、线上学习十分方便，不受地点约束，线上课程能无限回放，会让我们的同学记得更牢固，查缺补漏。 7、对于铜仁地区的学生来说，唯一遗憾的就是，我们和贵阳用的物理教材版本不一样，我们用的人教版在八年级上册还没有学习力的知识，学生更是对力的作用效果全然不知，马上就进入力与运动的关系的学习，学生会感觉很吃力。
大数定律及其应用
学号：20100401179 信阳师范学院华锐学院 本科毕业论文 系数学与计算机科学 专业数学与应用数学 年级2010级 姓名潘方方 论文题目全概率公式在实际问题中的应用 指导教师任园园职称讲师 2014年5月6日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 前言 (1) 1.全概率公式 (2) 1.1全概率公式 (2) 1.2 Bayes公式 (2) 1.3全概率公式的内涵剖析 (3) 2.全概率公式在实际中的应用 (3) 2.1在摸彩模型下的应用 (3) 2.2在医疗领域中的应用 (4) 2.3在敏感问题调查中的应用 (5) 2.4在抽检次品类型问题中的应用 (5) 2.5在商品销售问题中的应用 (6) 2.6 在系统可靠性问题中的应用 (7) 2.7在生物研究中的应用 (8) 3.小结 (9) 参考文献 (11) 致谢词 (12)
全概率公式在实际问题中的应用 学生姓名：潘方方学号：20100401179 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导教师：任园园职称：讲师 摘要：在概率论中，概率计算是一个重要的问题.而全概率公式是概率计算中应用较多的公式之一.本文介绍了全概率公式的定义及内涵，并给出了它在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用. 关键词：概率计算；全概率公式；应用 Abstract：In probability theory, probability calculation is an important question. The total probability formula is one of the more formula used in the calculation of probability. In this article, we describe the definition and connotation of the total probability formula and give its application in the lucky model, the medical field, sensitive issues survey, sampling defective, merchandise sales, system reliability, biological research and so on. Key Words：Probability calculation; The total probability formula; Applications 前言 概率论的基本概念是学习概率论的基础，其中心任务是阐明概率的意义和概率统计的重要法则.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解决问题的正确思路，同时也体现了互不相容、独立和条件概率等重要概念的应用.而全概率公式作为概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果.它为我们计算复杂事件的概率提供了一条简单有效的途径.全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论. 本文首先介绍了全概率公式的定义及内涵，其次给出了全概率公式在摸彩模
伯努利大数定律
伯努利大数定律 现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数 定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝a a b +。有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以X N 去估计p 。这个估计法现今 仍是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。 伯努利企图证明的是：用X N 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。其 确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件 X p N ε??->?? ??的概率不超过η。这意思是很显然：X p N ε->表明估计误差未达到指定的 接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1 ()a b -+，虽然其证明对一般ε也有效。他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和rb 个， 则p 不改变，1 ()a b -+改为1 ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要 证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使 X X P p cP p N N εε????-≤>-> ? ? ????. (8) 这与前面所说是一回事。因为由上式得 1 (1)X P p c N ε-?? -><+ ???, (9) 取c 充分大可使它小于η。另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只 能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。 伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们想要证明的是
