两条直线的位置关系--点到直线的距离公式
三维目标:
知识与技能:
1. 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞
情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞
教学重点:点到直线的距离公式王新敞
教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法:学导式
教 具:多媒体、实物投影仪王新敞
教学过程
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?
两条直线方程如下:
??
?=++=++0
222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课:
1.点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
200B
A C
By Ax d +++=王新敞
(1)提出问题
在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为),(00y x ,直线=0或B =0时,以上公式
0:=++C By Ax l ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?
学生可自由讨论。
(2)数行结合,分析问题,提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念,即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问题。
画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一:
设点P 到直线l 的垂线段为PQ ,垂足为Q ,
由PQ ⊥l 可知,直线PQ 的斜率为A
B
(A ≠0),根据点斜式
写出直线PQ 的方程,并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ |,得到点P 到直线l 的距
离为d 王新敞
此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种
方法王新敞
方案二:设A ≠0,B ≠0,这时l 与x 轴、y 轴都相交,过点P 作x 轴的平行线,交l 于点
),(01y x R ;作y 轴的平行线,交l 于点),(20y x S ,
由???=++=++0
20011C By Ax C By x A 得B C Ax y A C By x --=--=0201,. 所以,|P R|=|10x x -|=
A
C
By Ax ++00
|PS |=|20y y -|=
B
C
By Ax ++00
|RS |=AB
B A PS PR 2
22
2+=
+×|C By Ax ++00|由三角形面积公式可知:d ·|RS |=|P R|·|PS |王新敞
所以2
2
00B
A C By Ax d +++=
可证明,当A=0时仍适用王新敞
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。
例1 求点P=(-1,2)到直线 3x=2的距离。
解:d=
53
=
例2 已知点A (1,3),B (3,1),C (-1,0),求三角形ABC 的面积。 解:设AB 边上的高为h ,则
S ABC =1
2AB h ?
AB =
=
AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离。 AB 边所在直线方程为 31
1331
y X --=--