高中数学公式大全(简化版)
目录
1 集合与简易逻辑 .......................................................................................... 01 2 函数 ......................................................................................................... 02 3 导数及其应用................................................................................................07 4 三角函数 ...................................................................................................09 5 平面向量......................................................................................................10 6 数列 .........................................................................................................11 7 不等式.........................................................................................................12 8 立体几何与空间向量 ....................................................................................13 9 直线与圆 ...................................................................................................16 10圆锥曲线 ...................................................................................................18 11排列组合与二项式定理 .................................................................................19 12统计与概率 ................................................................................................20 13复数与推理证明 (23)
§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.
2.集合运算 全集U :如U=R
交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ
子集B A ?:任意B x A x ∈?
∈ B A B B A B
A A
B A ??=??=
注:数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系
A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦU C A B R ?=
5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –
2个.
6. 真值表
7. 常见结论的否定形式
8. 四种命题
原命题:若p 则q 逆命题:若q 则p 否命题:若p ?则q ? 逆否命题:若q ?则p ?
原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同
9. 充要条件
(1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件.
(2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件.
(3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
§02. 函数
1. 函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数;
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数.
对于复合函数的单调性:()f g x ???? 同增异减(即()f x 与()g x 的增减性相同,那么符合函数就是增函数(同增); ()f x 与()g x 的增减性相反,那么符合函数就是减函数(异减))
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.
2.函数的奇偶性
判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数?()()f x f x -=?f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数?()()f x f x -=-?f(x)图象关于原点对称 注:①f(x)有奇偶性?定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义?f(0)=0 对于复合函数:()f g x ???? 内偶则偶,两奇为奇 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+ 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2
b
a x +=; 两个函数)(a x f y +=与)(x
b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=
对称. 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数全为零.(常数按偶次项看待) 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零. 3. 函数的周期性
T 是()f x 周期?()()f x T f x +=恒成立(常数0≠T )
(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,
或)0)(()(1)(≠=
+x f x f a x f , 或1()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠, 4. 函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-
(2)()f a x f x ?-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- 两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的 图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =?=-)()(1
. 几中常见抽象函数原型
(1)()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.正比例函数()f x cx =
(2)()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.指数函数()x f x a =
(3)()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.对数函数()log a f x x = (4)'
()()(),(1)f xy f x f y f α==.幂函数()f x x α=
(5),()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x = 5. 二次函数 解析式的三种形式
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2
()()(0)f x a x h k a =-+≠;
(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]
q p ,上的最值只能在a
b
x 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若[]q p a b
x ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; []q p a b
x ,2?-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p a b
x ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =, []q p a
b
x ,2?-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =. 6. 指数函数与对数函数 y=a x
与y=log a x
定义域、值域、过定点、单调性?
注:y=a x
与y=log a x 图象关于y=x 对称(互为反函数) 分数、指数、有理数幂
m n
a =
0,,a m n N *>∈,且1n >);1m
n
m n
a
a
-
=
(0,,a m n N *>∈,且1n >)
.
n a =;当n
a =; 当n
,0
||,0a a a a a ≥?==?
-
. 有理指数幂的运算性质
(0,,)r
s
r s
a a a
a r s Q +?=>∈.
()(0,,)r s rs
a a a r s Q =>∈.
()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p
表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 对数的四则运算法则
若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈.
注:性质01log =a 1log =a a N a
N
a =log
常用对数N N 10log lg =,15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =,1ln =e 7. 函数图像与方程 描点法
函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、最值点等 图象变换
平移:“左加右减,上正下负”
)()(h x f y x f y +=→=
伸缩:)1
()(x f y x f y ?
?=??
??????→?=倍
来的每一点的横坐标变为原
对称:“对称谁,谁不变,对称原点都要变”
)
()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=??→?=-=?→?=-=?→?=原点轴轴
注:)
(x f y =a
x =→直线)2(x a f y -=
翻折:→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分,
并将下方部分沿x 轴翻折到上方
→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分,
并将右边部分沿y 轴翻折到左边
零点定理
若0)()(
②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ,0)()(
§03. 导数及其应用
1.导数几何意义
)(x f 在点x 0处导数)(0'
x f :指点x 0处切线斜率 2.导数公式
0)(='C (C 为常数) 1)(-?='n n x n x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='
x x e e =')( x x /1)(ln =' .)('''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=
/
??
? ??v u =2
''v uv v u - 'x y ='u y .'
x u 3.导数应用
单调性:如果0)('
>x f ,则)(x f 为增函数
如果0)('