概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计 B 一．单项选择题（每小题 3 分，共15 分）

1.设事件A 和B 的概率为P(A) 1

, P( B)

2

则P( AB ) 可能为（）2 3

(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6

2.从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字, 则这两个数字不相同的概率为（）

(A) 1

2

; (B)

2

25

; (C)

4

25

; (D) 以上都不对

3.投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为 6 的概率为（）

(A)

5

; (B)

1

; (C)

1

; (D) 以上都不对18 3 2

4.某一随机变量的分布函数为 F (x)

x

a be ，(a=0,b=1) 则F(0) 的值为（）

3 e x

(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D) 以上都不对

5.一口袋中有 3 个红球和 2 个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得 5 分，摸得白球得 2 分，则他所得分数的数学期望为（）

(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D) 以上都不对

二．填空题（每小题 3 分，共15 分）

1.设A、B 是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P( B)=0.7, 则P( A B) = .

2.设随机变量~ B(n, p), E( ) 3, D ( ) 1.2 ，则n= .

3.随机变量ξ的期望为E( ) 5 ，标准差为( ) 2 ，则E( 2 ) = .

4.甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7 和0.8. 先由甲射击，若甲未射中再由乙

射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为.

5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 f (x)

a

x2 2 x

，a 为常数，则P( ξ≥0)= .

2

三．( 本题10 分) 将4 个球随机地放在 5 个盒子里，求下列事件的概率

(1) 4 个球全在一个盒子里;

(2) 恰有一个盒子有 2 个球.

四．( 本题10 分) 设随机变量ξ的分布密度为

A

, f ( x) 1 x

0, 当0≤x≤3 当x<0或x>3

(1) 求常数A; (2) 求P( ξ<1) ；(3) 求ξ的数学期望.

五．( 本题10 分) 设二维随机变量( ξ, η) 的联合分布是

η＝1 η=2 η＝4 η＝5

ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07

ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11

ξ＝2 0.07 0.01 0.11 0.10

(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及E( ) ；

六．( 本题10 分) 有10 盒种子，其中1 盒发芽率为90％，其他9 盒为20％. 随机选取其中1 盒，从中取出

1 粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少？七．( 本题1

2 分) 某射手参加一种游戏，他有 4 次机会射击一个目标. 每射击一次须付费10 元. 若他射中目标，则得奖金100 元，且游戏停止. 若4 次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100 元. 若他每次击中目标的概率为0.3, 求他在此游戏中的收益的期望.

八．( 本题12 分) 某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有

2000 个合格品. 问他至少应购买多少零件？

( 注：(1.28) 0.90 , (1.65) 0.95 )

九．( 本题6 分) 设事件A、B、C 相互独立，试证明A B 与C相互独立.

某班有50 名学生，其中17 岁5 人，18 岁15 人，19 岁22 人，20 岁8 人，则该班学生年龄的样本均值为.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5 次，数据如下（单位：℃）：

1820，1834，1831，1816，1824

假定重复测量所得温度~ N( , 2 ) . 估计10 ，求总体温度真值μ的0.95 的置信区间. ( 注：(1.96) 0.975, (1.65) 0.95 )

4

1

概率论与数理统计 B 答案

一． 1．（ D ）、2. （ D ）、3. （ A ）、4. （ C ）、5. （ C ）

二． 1． 0.85 、2. n =5、3.

E( ) =29、4. 0.94

、 5. 3/4

三．把 4 个球随机放入 5 个盒子中共有 5 =625 种等可能结果 --------------3 分

（1） A ={4 个球全在一个盒子里 } 共有 5 种等可能结果 , 故

P ( A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5

分

(2) 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

1

2

C 5C 4

30 种方法 ----------------------------------------------------7

分

4 个球中取 2 个放在一个盒子里，其他

2 个各放在一个盒子里有

12 种方法

因此， B={ 恰有一个盒子有 2 个球} 共有 4×3=360 种等可能结果 . 故

P( B)

360

625 3

72 125

A

--------------------------------------------------10 分

1

四．解：（1）

f ( x) dx

dx 0 1 x

Aln 4, A ln 4 ---------------------3

分

（ 2） P(

1)

A

dx 0 1 x

A l n 2

1

-------------------------------6 分

2

Ax

3 （ 3） E(

)

xf ( x)dx

dx A[ x ln(1 x)]

0 1 x

1

3 (3 ln 4) 1------------------------------------10

分

ln 4

ln 4

五． 解：（1） ξ的边缘分布为

0.39 1

0.32 2 0.29

--------------------------------2 分

η的边缘分布为

1

0.15

2

0.23

4

0.34

5

0.28

---------------------------4

分

因 P(

0, 1) 0.05 P( 0) P ( 1) , 故ξ 与η 不相互独立 -------5

分

（2）

的分布列为

1 2 4 5 8 10

P

0.39

0.03

0.17

0.09

0.11

0.11

0.10

因此，

E(

) 0 0.39 1 0.03 2 0.17 4 0.09

5 0.11 8 0.11 10 0.10 3.16

2

3

2

另解：若ξ与η相互独立 , 则应有

P(ξ ＝0, η＝ 1) ＝ P(ξ ＝0)P( η ＝1); P( ξ＝ 0, η ＝2) ＝P( ξ＝ 0)P( η＝ 2); P(ξ ＝1, η＝ 1) ＝ P(ξ ＝1)P( η ＝1); P( ξ＝ 1, η ＝2) ＝P( ξ＝ 1)P( η＝ 2); 因此，

-------10 分

但

0.03 0.10

，故ξ 与η 不相互独立。 六．解：由全概率公式及

Bayes 公 式

P ( 该种子能发芽 ) ＝0.1 ×0.9+0.9 ×0.2 ＝ 0.27-----------------------------------5 分 P ( 该种子来自发芽率高的一盒

) ＝(0.1 ×0.9)/0.27

＝1/3---------------------10

分

七．令 A k ={ 在第 k 次射击时击中目标 } ， A 0={4 次都未击中目标 } 。

于是 P (A 1

)=0.3; P (A 2

)=0.7 ×0.3=0.21;

P (A 3

)=0.7 ×0.3=0.147

P (A )= 0.7

3

× 0.3=0.1029; P (A )=0.7 4

=0.2401-----------------------------------6

分

在 这 5 种 情 行 下 ， 他 的 收 益 ξ 分 别 为 90 元 ， 80 元 ， 70 元 ， 60 元 ， － 140 元 。 -------------------------------------------------------------------------------------------8 分

因此，

E( ) 0.3 90 0.21 80 0.147 70 0.1029 60

0.2401 ( 140) 26.65

--------------------12 分

八．解：设他至少应购买 n 个零件，则 n ≥ 2000，设该批零件中合格零件数 ξ服从二项分布 B(n,p), p=0.95. 因 n 很大，故 B(n,p) 近似与 N ( np , npq ) ------------4

分

由条件有

2000 np

P(

2000) 1

( ) 0.95 -------------------------------------------8

分

npq

因

(1.65) 0.95 ，故

200 np 1.65 ，解得 n=2123,

npq

即至少要购买 2123 个零件 . -------------------------------------------------------------12 分

九． 证：因 A 、B 、C 相互独立，故 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A)

P(B)P(C).

P(( A B)C) P( AC BC ) P( AC ) P( BC) P( ABC) ------2

分

P( A)P(C)

P( B) P(C ) P(A)P( B)P(C ) ---------------------------4

分

[ P(A) P(B)

P( A)P( B )] P (C) P( A B)P(C)

故 A B 与 C 相互独立 . -------------------------------------------------------6

分

4 0

P( 0, 1) P( 0, 2) P( 0)

0.05

0.12

P(

1,

1)

P(

1,

2)

P(

1)