第三章 三角恒等变形
第三章 三角恒等变形
3.1两角和与差的三角函数（两课时）
3.1.1两角差的余弦函数 3.1.2两角和的正、余弦函数
洋浦实验中学 赵生碧
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够推导两角差的余弦公式；
（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；
（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明； （4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；
（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点
重点: 公式的应用.
难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想
【创设情境】
思考:如何求cos （45-30）0的值. 【探究新知】
1．思考:如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示cos(α-β)？你认为会是cos(α-β)=cos α-cos β吗?
[展示课件]在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）.
学生思考：以上推导是否有不严谨之处？
教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况，但α与β为任意角时上述过程还成立吗？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cos θ=cos(α-β)
若θ∈[0，π ]，则??→
?OA ?→
?OB = cos θ=cos(α-β)
若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且??→
?OA ?→
?OB =cos(2π-θ)=cos θ
=cos(α-β).
结论归纳: 对任意角α与β都有 cos )(βα-=cos α·cos β+sin α·sin β 这个公式称为：差角的余弦公式 βα-C
注意：1.公式的结构特点
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β) [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.利用差角余弦公式求cos 015的值
分析: cos 015= cos 0)3045(-= cos 0)4560(-= cos 0)120135(- 思考：你会求sin 075的值吗?
例2.已知cos 53-=α , ),2(ππα∈,求cos )4
(απ
-的值.
【巩固深化，发展思维】
1.cos 0175·cos 055+sin 0175·sin 055= .
2.cos )21(0+θ·cos )24(0-θ+sin )21(0+θ·sin )24(0-θ= .
3.已知sin α-sin β=-21，cos α-cos β=21，α∈(0, 2π),β∈(0, 2
π
),求cos(α-β)的值. [展示投影]思考：
如何利用差角余弦公式导出下列式子：
cos )(βα+= cos α·cos β- sin α·sin β sin )(βα+=sin α·cos β+ cos α·sin β sin )(βα-=cos α·cos β－cos α·sin β
(可让学生自己讲解，教师只是适当点拨而已)
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例 3.已知sin 54=α，),2(ππα∈，cos ),23,(,135π
πββ∈-=求cos )(βα+，
sin )(βα-的值.
思考题：已知α、β都是锐角, cos 54=
α，cos ,13
5
)(-=+βα求cos β. [学习小结]
①.两角差的余弦公式：cos )(βα-=cos α·cos β+sin α·sin β βα-C ②.两角和的余弦公式：cos )(βα+= cos α·cos β- sin α·sin β βα+C
两角和的正弦公式： sin )(βα+=sin α·cos β+ cos α·sin β βα+S 两角差的正弦公式： sin )(βα-=cos α·cos β－cos α·sin β βα-S ③.注意公式的结构特点 五、评价设计
1．作业：习题3.1 A 组第1,2,3题．
2．（备选题）：求证：cos α+3sin α=2sin(
6
π
+α) 证一：左边=2(2
1cos α+
23 sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6
π
sin α) =2sin(6π
+α)=右边 （构造辅助角）
证二：右边=2(sin
6πcos α+cos 6
π
sin α)=2(21cos α+23 sin α)
= cos α+3sin α=左边
3、进一步理解这四个公式的特点．
六、课后反思：
3.1.3两角和与差的正切函数（1课时）
洋浦实验中学 赵生碧
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式； （2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明； （3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；
（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法
借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点
重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】
1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β
问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=
β
αβαβ
αβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=
++ 当cos αcos β≠0时
分子分母同时除以cos αcos β得：
以-β代β得：
2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）
[展示投影] 注意：1?必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2?注意公式的结构，尤其是符号。）
tan(α+β)=
β
αβ
αtan tan 1tan tan -+
tan(α-β)=β
αβ
αtan tan 1tan tan +-
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.求tan15?，tan75?及cot15?的值：
解：1? tan15?= tan(45?-30?)=
32636123
33333133
1-=-=+-=+
-
2? tan75?= tan(45?+30?)= 32636123
3333
3133
1+=+=-+=-
+
3? cot15?= cot(45?-30?)=
322
3
241
331+=+=
-+（为什么？） 例2.（见课本P 134例1）
例3.已知tan α=3
1
，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0?<α<90?, 90?<β<180?. 解：cot(α-β)=
7
1
tan tan tan tan 1)
tan(1=
-+=
-βαβαβα
∵ tan(α+β)=1)2(3
112
31tan tan 1tan tan -=-?--=-+β
αχα
又∵0?<α<90?, 90?<β<180? ∴90?<α+β<270? ∴α+β=135?
例4. 求下列各式的值：1?
75tan 175tan 1-+ 2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?
解：1?原式=3120tan )7545tan(75tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+
2? ∵
28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=
+ ∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1-tan17?tan28?)=1- tan17?tan28? ∴原式=1- tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 [展示投影]练习
教材P 135第1、2、3、4题.
[学习小结]
1．必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解； 2．注意公式的结构，尤其是符号。 五、评价设计
作业：习题3.1 A 组第4、5、6、7、8题． 六、课后反思：
3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函数（两课时）
洋浦实验中学 赵生碧
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；
（3）能推导和理解半角公式；（
4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法
让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点
重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具
学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
α-=-α=α-α=αα
α=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是
8
α
的倍角.
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α
-=αα+=
α 这两个形式今后常用. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（公式巩固性练习）求值：
①．sin22?30’cos22?30’=42
45sin 21=
②．=-π18cos 22
2
2
4cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22
2
24cos -=π- ④．=ππππ12
cos 24
cos 48
cos 48
sin 82
16
sin 12
cos 12
sin 212
cos 24
cos 24
sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin
2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44
α=α
-αα+αcos )2
sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．
=α+-α-tan 11tan 11α=α
-α
2tan tan 1tan 22
④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+
例3、已知),2(,135sin ππ
∈α=
α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴13
12
sin 1cos 2-=α--=α
∴sin2α = 2sin αcos α = 169120
-
cos2α = 169
119
sin 212=α-
tan2α = 119
120
-
[展示投影]思考：你能否有办法用sin α、cos α和tan α表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin α、cos α和tan α分别表示sin3α，cos3α，tan3α.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例4. cos20?cos40?cos80? =
20sin 80cos 40cos 20cos 20sin
20sin 80cos 40cos 40sin 21
=
8120
sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41
===
例5.求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域. 解：2
1
)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=
x x x y ————降次 [展示投影]学生练习：
教材P 140练习第1、2、3题
[展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示）
你能够证明：α
+α
-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222
证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
2s i n 21c o s 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α
2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
12
c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3?以上结果相除得：α
+α
-=αcos 1cos 12tan 2
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1?左边是平方形式，只要知道2
α
角终边所在象限，就可以开平方。
2?公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切
3?上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
α+α-±
=αα+±=αα-±=αc o s
1c o s
12t a n ,2c o s 12c o s ,2c o s 12s i n 4?还有一个有用的公式：α
α
-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例6.已知cos 257=α，求2
tan ,2cos ,2sin α
αα的值.
例7.求cos
8
π
的值. 例8.已知sin 54-=α，)23,(ππα∈，求2tan ,2cos ,2sin α
αα的值.
[展示投影]练习
教材P 145练习第1、2、3题. [学习小结]
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：
4α是8
α
的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α
-=αα+=α 这两个形式今后常用. 4.半角公式左边是平方形式，只要知道2
α
角终边所在象限，就可以开平方；公式
的“本质”是用α角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号. 五、评价设计
1．作业：习题3.2 A 组第1、2、3、4题． 2. 作业：习题3.3 A 组第1、2、3、4题． 六、课后反思：
3.4三角函数的和差化积与积化和差 3.5三角函数的简单应用（两课时）
洋浦实验中学 赵生碧
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.
2.过程与方法
让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力. 二.教学重、难点
重点:三角恒等变形.
难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导. 三.学法与教学用具
学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情景】
请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin )(βα+与sin )(βα-表示sin α·cos β和cos
α·sin β？类似地能否用cos )(βα+与cos )(βα-来表示cos α·cos β和
sin α·sin β？
【探究新知】
[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价） 积化和差公式的推导
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ? sin αcos β =21
[sin(α + β) + sin(α - β)]
sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ? cos αsin β =2
1
[sin(α + β) - sin(α - β)]
cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ? cos αcos β =21
[cos(α + β) + cos(α - β)]
cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ? sin αsin β = -2
1
[cos(α + β) - cos(α - β)]
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下） [展示投影]练习
1.求125cos 12sin π
π的值
2.求12
5sin 12sin π
π的值
3.在积化和差中若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=α，2
φ
-θ=β 代入可得
什么的式子，做做看：（教师巡视，先观察学生做的情况，再决定是否示范）
)sin (sin 2
1)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ
∴2cos 2sin 2sin sin φ
-θφ+θ=φ+θ 2sin 2cos 2sin sin φ
-θφ+θ=φ-θ
2cos 2cos 2cos cos φ
-θφ+θ=φ+θ
2
sin 2sin 2cos cos φ
-θφ+θ-=φ-θ
引导学生观察这套公式的特点：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.教材P 148例2. 例2.教材P 149例3. [展示投影]练习. 教材P 149第1、2题.
[展示投影]例题讲评（学生边做教师边提示）
例3. 已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31
-，求tan(α + β)的值
解：∵cos α - cos β = 21，∴21
2sin 2sin
2=β-αβ+α- ① sin α - sin β =31-，∴3
1
2sin 2cos
2-=β-αβ+α- ② ∵02sin ≠β-α ∴232tan -=β+α- ∴2
3
2tan =β+α
∴5
124
9123
22tan 12tan
2)tan(2-=-
?
=+-+=+β
αβα 例4.教材P 150例6. （学生做，教师巡视，鼓励学生用多种方法求解） [展示投影]练习
1.化简①080sin 1+；②080cos 1-；③)4
0(2sin 12sin 1π
ααα≤
≤++-
2. 教材P 151练习第1、2、3、4题.
[展示投影]例题讲评（学生边思考教师边提示） 例5.要使半径为R 的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？
[学生自主学习阶段]
学生阅读教材P 154~158相关内容，学生提问，学生回答，教师控制课堂节奏。 学生自主学习检测：教材P 158~159的相应习题。 [学习小结]
尝试由学生小结，学生补充的形式. 五、评价设计
1．作业：习题3.4 A 组第1、2、3、4、5、6、7题． 2. 作业：习题3.5 A 组第4题（选做）． 六、课后反思：
第三章 三角恒等变形复习课（2课时）
洋浦实验中学 赵生碧
[第一部分：基础知识]
基本公式
常见变形
一、两角和与差公式及规律
常见变形
sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().
1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±= (1)tan tan :
tan tan tan()(1tan tan ).1tan :tan().41tan αβαβαβαβπα
αα±=±±±= ,的和(差)与积互相转化(2)特例
二、二倍角公式及规律 常见变形
( ※ )三、积化和差与和差化积公式 1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--
1
cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-
1
sin sin [cos()cos()].2
αβαβαβ=-+--
sin sin 2sin cos .22
αβαβ
αβ+-+=
四、学习本章应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αα
αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+?222221cos cos .222cos .1cos 2
1cos sin .222sin .
1cos 2
tan .21cos αααααααααα+?=????-???±==?????-??=?+?2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22
αααα
ααααα?=
=±=± sin 22sin cos .ααα= 222
2cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα
=-
sin
sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos
cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos
cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-
2、倍角公式
ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，
则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
[第二部分：基本技能与基本数学思想方法]
1、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求
三角变形的思维指向； 2、角度配凑方法 如
=--+=-++=--=-+=2
222)()(α
ββαβαβααββββαα
2()()()()2()2()2222
αβαββαβα
ααβαββαβα+-+-=++-=+--=+=-=
等;
3、方程思想；
4、消参数思想；
5、“1”的代换；
6、关于sin cos sin cos αααα±与间的互相转化；
7、关于sin ,cos αα的齐次分式、二次齐次式与tan α间的互相转化； 8、配凑辅助角公式
:
sin cos ).4π
ααα±±=±
sin 2sin().6π
ααα±±=±±
cos 2sin().3
π
ααα±=±±
一般地，sin cos ).a b ααα?+=+其中
cos sin ???
=??
?
?=??
9、关于已知条件是sin sin cos cos a b m
a b n
αβαβ+=??+=?的求值、化简、证明的变形及其思维方
法。其中,αβ是任意角；等等。
[第三部分：应用举例]（供选用）
［例１］已知sin(3)cos()tan()cot(
)2(),()cos()
n x x x x f x n Z n x πππππ---+=
∈-
（１）求52(
);3
f π
（２）若34
cos(),25
πα-=求()f α的值．
［分析］求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算．
［略解］当2()n k n Z =∈时，
sin cos tan cot ()sin ;
cos x x x x
f x x x
-=
=- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )
()sin tan .cos x x x x f x x x x
--=
=-
34
cos()sin ,sin .25
πααα-=-∴=-
故当n 为偶数时，
52524(
)sin sin 3334
()sin ;
5f f πππαα=-=-==-=
当n 为奇数时，
2222
252525244(
)sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .
cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-?=
［例２］已知tan 3,α=求
3sin sin 33cos cos3αα
αα
++的值．
［分析］已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式
与待求式之间的相互转化．
［略解］原式＝33
3sin (3sin 4sin )
3cos (4cos 3cos )
αααααα+-+-
232232sin (32sin )2cos sin (sin 3cos )
2cos 1
tan (tan 3)218.
ααα
αααα
αα-=
+==+= ［例３］已知21
sin(),sin().35
αβαβ+=-=
（１）求tan cot αβ的值；
（２） 当(,),(,)2222
ππππ
αβαβ+∈-
-∈-时，求sin 2β的值． ［分析］从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向．
［略解］（１）
［方法１］2sin cos cos sin ,31
sin cos cos sin ,5137
sin cos ,cos sin .
3030
αβαβαβαβαβαβ?
+=???
?-=??
?==
从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7
αβαβαβ=
=
［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβ
αβαβ
==
sin()10
,sin()3
sin()
sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 1
1tan ,tan 11tan x x αβαβαβαβαβ
αβαβαβαβαβα
β
α
β
+=-+++==
---++==--
且
11013
,tan cot .137
x x x αβ+∴
=?==- （２）由已知可得
sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()15
βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+-=
[例4]已知11
cos(),cos(),22
αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.
[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由sin sin tan tan cos cos αβ
αβαβ
=
，只需
求出sin sin αβ和cos cos αβ，问题即可迎刃而解. [略解]
1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351
cos cos ,sin sin .
1212
αβαβαβαβαβαβ?
-=???
?+=??
?==- sin sin 1
tan tan .cos cos 5
αβαβαβ∴=
=-
[点评] 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。 [例5]已知11
sin cos ,cos sin ,23
αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.
[分析]要想求出sin()αβ+的值，即要求出sin cos cos sin αβαβ+的值，而要出现sin cos αβ和cos sin αβ，只需对条件式两边平方相加即可。 [ 略解 ] 将两条件式分别平方，得
22221
sin 2sin cos cos ,
4
1
cos 2cos sin sin .
9
ααββααββ-+=-+=
将上面两式相加，得
1322sin(),36
59
sin().
72αβαβ-+=
?+= [ 例6]已知方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=有两根tan ,tan αβ，求tan()αβ+的
最小值.
[分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出tan()αβ+关于m 的解析式。 [ 略解]
tan tan 3tan().1tan tan 2
m
αβαβαβ+-+=
=-
又 2
0,
(23)4(2)0,
m m m m ≠??=---≥? 解得 9,0.4m m ≤≠且33
.24
m -∴
≥- 故 tan()αβ+的最小值为3
4
-。
[例7]已知3335
0,,cos(),sin(),44445413
πππππαβαβ<<<<
-=+=求sin()αβ+的值.
[分析]注意到 3()()(),442πππβααβ+--=++可通过3()4πβ+与()4
π
α-的正、
余弦值来求出sin()αβ+的值。 [略解] 由已知可得
3sin()sin[(
)()]4423cos[()()]
44
33cos()cos()sin()sin()
44441235456()().
13513565
πππαββαππ
βαππππ
βαβα+=+---=-+--=-+--+-=----=
[例8] sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-
的值等于 （ ）
A
．2
．2
D
[分析]从角度关系分析入手，尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、
倍、半表示式。 [略解]
0000
0000
000000
000000
00
000
00
sin(158)cos15sin8
cos(158)sin15sin8
sin15cos8cos15sin8cos15sin8
cos15cos8sin15sin8sin15sin8
tan45tan30
tan15tan(4530)
1tan45tan30
2
-+
=
--
-+
=
+-
-
==-=
+
=
原式
故选B.
[例9]求函数00
()3sin(20)8sin(80)
f x x x
=+++的最小值。
[分析]注意到000
(80)(20)60
x x
+-+=，故可把0
80
x+用0
20
x+表示。
[略解
]
000
00000
00
()3sin(20)8sin[(20)60]
3sin(20)8sin(20)cos608cos(20)sin60
7sin(20)20)
20).
f x x x
x x x
x x
xθ
=++++
=+++++
=+++
=++
其中
cos
sin
θ
θ
?
=
?
?
?
?=
??
故函数的最小值为。
[例10] 已知,aβ满足方程cos sin,
a x
b x c
+=其中,,
a b c为常数，且220
a b
+≠。
求证：当aβ
≠时，
2
22
22
()
4cos cos.
22
a c
a b
αβ+
=
+
[分析]从角度关系分析入手，先将
2
α
、
2
β
转化为,aβ。
[略解]由sin cos,
b x
c x
=-两边平方，并化简得
22222
()cos2cos0.
a b x ac x c b
+-+-=①
依题意，cos,cos
αβ是方程①的两个实根。
22
2222
2
cos cos cos cos.
ac c b
a b a b
αβαβ
-
∴+=?=
++
22
4cos cos(1cos)(1cos)
22
αβ
αβ
=++
=1cos cos cos cos αβαβ+++=2
22
)(b
a c a ++ [例11]若cos sin 1(1),x y a
b θθ+=且
sin cos 1(2),x y
a b
θθ-=求22
222x y a b
+=. [分析] 比较条件式与已知式，可以发现需要消去θ. [证明](1)cos (2)sin θθ?+?得
cos sin x
a
θθ=+。┅┅（3） (1)sin (2)cos θθ?+?得
sin cos y
b
θθ=-。┅┅（4） 2
2
(3)(4)+得 22
222x y a b
+=.
作业设计：
1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P 162~163中A 组习题.
3、（选做）复习题3的B 、C 组试题. [课后反思]