欧拉方法及其改进的欧拉方法的Matlab实现

Euler方法与改进的Euler方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

Euler 方法与改进的Euler 方法的应用 一、问题背景 在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往 只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其 解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方 程的求解困难就更不用说了。大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。 这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另 一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。 二、数学模型 在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一 起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为 初始条件，相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状 态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。在本文中主要讨论的是给定 初值条件的简单Euler 方法和改进的Euler 方法来求解常微分方程。 三、算法及流程 Euler 方法是最简单的一种显式单步法。对于方程 ()y x f dx dy ,= 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列 nh x x n +=0，L n ,2,1,0= 则得到方程的近似式 ()()()()n n n n x y x f h x y x y ,1≈-+ 即 ()n n n n y x hf y y ,1+=+ 得到简单Euler 方法。具体计算时由0x 出发，根据初值，逐步递推二得到系列离 散数值。 简单Euler 方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式 ()()[]η=++ =+++0111,,2 y y t f y t f h y y n n n n n n 其中()N a b h -=。这是一个二阶方法，比Euler 方法精度高。但是上述公式右边 有1+n y ，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算1+n y 。初值可以由Euler 公式

Matlab实验报告五(微分方程求解Euler折线法)-推荐下载

数学与信息科学系实验报告 实验名称微分方程求解 所属课程数学软件与实验 实验类型综合型实验 专业信息与计算科学 班级 学号姓名指导教师 吊 顶 到 位 。 连 接 管 半 径 标 式 ， 为备 ， 查 所 有 试 卷 设 备 进 电 保 护 试 卷 ； 对 整 置 技 术 限 度 内 卷 破 避 免 错 中 资 料

一、实验概述 【实验目的】 熟悉在Matlab 环境下求解常微分方程组和偏微分方程组的方法，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程组和偏微分方程组的求解。 【实验原理】 1.dsolve(‘equ1’,’equ2’,...):matlab 求微分方程的解析解。 2.simplify(s):对表达式S 使用MAPLE 的化简规则进行化简。 3.[x,y]=dslove(‘方程1’，‘方程2’，...‘初始条件1’‘初始条件2’,..’自变量’)：用字符串方程表示，自变量缺省值为t. 4.ezplot(x,y,[tmin,tmax]):符号函数的作图命令。【实验环境】 MatlabR2010b 二、实验内容 问题1. 求微分方程组在初始条件下的解，并 00dx x y dt dy x y dt ?++=????+-=??00|1,|0t t x y ====[0,0.5]t ∈画出函数的图像. ()y f x =1.分析问题 本题是根据初始条件求微分方程组的特解，并根据t 的范围画出函数的图形。 2.问题求解 syms x y t [x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')x=simple(x)y=simple(y) ezplot(x,y,[0,0.5]);axis auto 3.结果 x = exp(2^(1/2)*t)/2 + 1/(2*exp(2^(1/2)*t)) - (2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4 + 2^(1/2)/(4*exp(2^(1/2)*t)) y = 2^(1/2)/(4*exp(2^(1/2)*t)) - (2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t))/4 x = cosh(2^(1/2)*t) - (2^(1/2)*sinh(2^(1/2)*t))/2 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程

姓名：樊元君学号：02 日期： 一、实验目的 掌握MATLAB语言、C/C++语言编写计算程序的方法、掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。掌握使用MATLAB程序求解常微分方程问题的方法。 ： 二、实验内容 1、分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。 实验中以下列数据验证程序的正确性。 求，步长h=。 * 2、实验注意事项 的精确解为，通过调整步长，观察结果的精度的变化 ^ )

三、程序流程图： ●改进欧拉格式流程图： ~ |

●四阶龙格库塔流程图： ] 四、源程序： ●改进后欧拉格式程序源代码： function [] = GJOL(h,x0,y0,X,Y) format long h=input('h='); … x0=input('x0='); y0=input('y0='); disp('输入的范围是：'); X=input('X=');Y=input('Y='); n=round((Y-X)/h); \

i=1;x1=0;yp=0;yc=0; for i=1:1:n x1=x0+h; yp=y0+h*(-x0*(y0)^2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);% · yc=y0+h*(-x1*(yp)^2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);% y1=(yp+yc)/2; x0=x1;y0=y1; y=2/(1+x0^2);%y=sqrt(1+2*x0);% fprintf('结果=%.3f,%.8f,%.8f\n',x1,y1,y); : end end ●四阶龙格库塔程序源代码： function [] = LGKT(h,x0,y0,X,Y) 。 format long h=input('h='); x0=input('x0='); y0=input('y0='); disp('输入的范围是：'); " X=input('X=');Y=input('Y='); n=round((Y-X)/h); i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0; for i=1:1:n ~ x1=x0+h; k1=-x0*y0^2;%k1=y0-2*x0/y0;% k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)^2);%k2=(y0+h/2*k1)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);% k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)^2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);% k4=(-(x1)*(y0+h*k3)^2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);% … y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);% x0=x1;y0=y1; y=2/(1+x0^2);%y=sqrt(1+2*x0);% fprintf('结果=%.3f,%.7f,%.7f\n',x1,y1,y); end · end

欧拉法matlab程序

法 function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeuler(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans = 2.隐式Euler法 function [x,y]=naeulerb(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=iter(dyfun,x(n+1),y(n),h); end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) function y=iter(dyfun,x,y,h) y0=y;e=1e-4;K=1e+4; y=y+h*feval(dyfun,x,y); y1=y+2*e;k=1; while abs(y-y1)>e y1=y; y=y0+h*feval(dyfun,x,y); k=k+1; if k>K error('迭代发散'); end end >> dyfun=inline('y-2*x/y');

[x,y]=naeulerb(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans = 3.改进Euler法 function [x,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans =

常微分方程作业欧拉法与改进欧拉法

P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图：dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码： %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像：

dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像：

四阶龙格库塔和向前欧拉方法和隐式欧拉法以及改进欧拉法教材

实验九欧拉方法 信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 1、掌握欧拉算法设计及程序实现 二、实验内容： 1、p364-9.2.4、p386-9.5.6 三、实验要求： 主程序： 欧拉方法（前项）： function [x,y]=DEEuler(f,a,b,y0,n); %f:一阶常微分方程的一般表达式的右端函数 %a:自变量的取值下限 %b:自变量的取值上限 %y0：函数的初值 %n:积分的步数 if nargin<5,n=50; end h=(b-a)/n; x(1)=a;y(1)=y0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i)); end format short 欧拉方法（后项）： function [x,y]=BAEuler(f,a,b,y0,n); %f:一阶常微分方程的一般表达式的右端函数 %a:自变量的取值下限 %b:自变量的取值上限 %y0：函数的初值 %n:积分的步数 if nargin<5,n=50; end h=(b-a)/n; x(1)=a;y(1)=y0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));

y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i+1),y1); end format short 梯形算法： function [I,step,h2] = CombineTraprl(f,a,b,eps) %f 被积函数 %a,b 积分上下限 %eps 精度 %I 积分结果 %step 积分的子区间数 if(nargin ==3) eps=1.0e-4; end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; h2=(b-a)/n; 改进欧拉方法： function [x,y]=MoEuler(f,a,b,y0,n); %f:一阶常微分方程的一般表达式的右端函数 %a:自变量的取值下限 %b:自变量的取值上限 %y0：函数的初值 %n:积分的步数 if nargin<5,n=50; end

欧拉算法与改进的欧拉算法实例

题目再现： 2. 当病人采取服用口服药或肌肉注射来治疗疾病时，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。假定身体系统是一个单房室系统，设t 时刻体内药物的总量为x(t)，则x(t)满足： 问题分析：运用欧拉公式求微分方程的数值解。微分方程为： 11dx ,(0)0dt k t k De kx x -=-= 1，欧拉折线法： 设h=0.1,即n=201时，1k 0.6=，k 0.2=，D=200.MATLAB 程序如下所示： clear f=sym('0.6*200*exp(-1*0.6*t)-0.2*x '); a=0; b=20; h=0.1; n=(b-a)/h+1; t=0; x=0; szj=[t,x]; for i=1:n-1 11dx ,(0)0 dt k t k De kx x -=-=10011100 ,(,)()k t k k k k k k k t x x x h f t x x h k De kx t t h -++==??=+=+-??=+?

x=x+h*subs(f,{'t','x'},{t,x}); t=t+h; szj=[szj;t,x]; end szj ; x=dsolve(‘Dx=120*exp(-0.6*t)-0.2*x’,'x(0)=0','t') T=[0:0.1:20]; X=subs(x,T); plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-',T,X,’b-’) 输出结果为： 解析解：x= 其中红线代表的是数值解，蓝线代表的是解析解。可见，数值解的误差还是比较小的。

欧拉及改进的欧拉法求解常微分方程

生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include #include void f1(double *y,double *x,double *yy) { y[0]=2.0; x[0]=0.0; yy[0]=2.0; for(int i=1;i<=9;i++) { x[i]=x[i-1]+0.2; y[i]=y[i-1]+0.2*(y[i-1]-x[i-1]); yy[i]=x[i]+1+exp(x[i]); printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]); } }; void f2(double *y,double *x,double *yy) { y[0]=1.0; x[0]=0.0; yy[0]=1.0; for(int i=1;i<=9;i++) { x[i]=x[i-1]+0.2; y[i]=y[i-1]+0.2*(2*y[i-1]+x[i-1]*x[i-1]); yy[i]=-0.5*(x[i]*x[i]+x[i]+0.5)+1.25*exp(2*x[i]); printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]); } }; void f3(double *y,double *x,double *yy,double *y0) { y[0]=2.0; x[0]=0.0; yy[0]=2.0; for(int i=1;i<=9;i++) { x[i]=x[i-1]+0.2; y0[i]=y[i-1]+0.2*(y[i-1]-x[i-1]); y[i]=y[i-1]+0.1*(y[i-1]-x[i-1]+y0[i-1]-x[i-1]);

欧拉图fluery算法matlab

clear all A=zeros(16); for i=1:16 %A(i,i)=1/2; if i+1<=16 && mod(i,4)~=0 A(i,i+1)=1; end if i+4<=16 A(i,i+4)=1; end end A(2,5)=1; A(3,8)=1; A(9,14)=1; A(12,15)=1; % A(1,6)=1; % A(6,11)=1; % A(11,16)=1; % A(16,1)=1; A=A+A'; [T3 c3]=Fleuf2(A); pos3(1:2,1)=0; for i=1:16 if i==1, pos3(1:2,i)=0; else if mod(i-1,4)~=0 pos3(1,i)=pos3(1,i-1)+1; pos3(2,i)=pos3(2,i-1); else pos3(1,i)=pos3(1,i-4); pos3(2,i)=pos3(2,i-4)-1; end end end figure (1), title('3rd Question')

for j=i:16 if A(i,j)==1, plot([pos3(1,i),pos3(1,j)],[pos3(2,i),pos3(2,j)]); hold on, end end end for i=2:c3 draw_arrow(pos3(:,T3(1,i))',pos3(:,T3(2,i))',0.5) x = mean(pos3(1,T3(:,i))); y = mean(pos3(2,T3(:,i))) text(x,y,num2str(i),'FontSize',18); pause; end pause off; hold off function [T c]=Fleuf1(d) n = length(d); b = d; b(b == Inf)=0; b(b~=0) = 1; m = 0; a = sum(b); eds = sum(a)/2; ed = zeros(2,eds); vexs = zeros(1,eds+1); matr = b; for i=1:n if mod(a(i),2) ==1 m = m+1; end end if m~=0 fprintf('there is not exist Euler path.\n'); T=0;c=0; end if m==0

欧拉法matlab程序学习课件.doc

1.Euler法 function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y'; x1=0:0.2:1;y1=(1+2*x1).^0.5; plot(x,y,x1,y1) >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeuler(dyfun,[0,1],1,0.2);[x,y] ans = 0 1.0000 0.2000 1.2000 0.4000 1.3733 0.6000 1.5315 0.8000 1.6811 1.0000 1.8269 2.隐式Euler法 function [x,y]=naeulerb(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=iter(dyfun,x(n+1),y(n),h); end x=x';y=y'; x1=0:0.2:1;y1=(1+2*x1).^0.5;

plot(x,y,x1,y1) function y=iter(dyfun,x,y,h) y0=y;e=1e-4;K=1e+4; y=y+h*feval(dyfun,x,y); y1=y+2*e;k=1; while abs(y-y1)>e y1=y; y=y0+h*feval(dyfun,x,y); k=k+1; if k>K error('迭代发散'); end end >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeulerb(dyfun,[0,1],1,0.2);[x,y] ans = 0 1.0000 0.2000 1.1641 0.4000 1.3014 0.6000 1.4146 0.8000 1.5019 1.0000 1.5561 3.改进Euler法 function [x,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1));

实验8欧拉法_改进欧拉法_线性多步法

西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A 年级：2010级 上机实践成绩： 指导教师：严常龙 姓名：李国强 上机实践名称：解常微分方程初值问题 学号：362011********* 上机实践日期：2013.12.25 上机实践编号：8 上机实践时间：14:00 一、目的 1．通过本实验加深对欧拉法、改进欧拉法、线性多步法的构造过程的理解； 2．能对上述四种方法提出正确的算法描述编程实现，观察计算结果的改善情况。 二、内容与设计思想 自选常微分方程的初值问题，分别用欧拉法、改进欧拉法求解。 分别用以上两种方法求解常微分方程初值问题： 2 '()1,([0.0,1.4],0.1)(0)0.0 y x y h y ?=+=?=?求解区间取步长 三、使用环境 操作系统：Win 8 软件平台：Visual C++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include #include #define f(y) (y*y+1) #define m 0.0//初值为0 #define h 0.1//步长为0.1 #define n 14//迭代次数为14 #define a 0.0//定义区间长度 #define d 1.4 void gjol();//改进欧拉法 void ol();//欧拉法 main() { ol(); printf("\n"); gjol(); } void gjol() {

int i; float y[n+1]; y[0]=m;//赋初值 printf("改进欧拉法\n"); for(i=0;i

数值计算上机第七题关于改进欧拉方法

7. 取h =0.2，用改进欧拉方法求解下列初值问题。 '(0)5 y y ì?í?=?020x ＃) 第七题: #include "fstream.h" #include "math.h" int main() { double x0,x1,y0,yp,yc,h; ifstream infile("in.dat"); ofstream outfile("out.dat"); infile>>x0>>x1>>h>>y0;//依次输入x 的初值x0，x 的终值x1，步长h ，y （0）的值y0 outfile<

0 5 0.2 7.03239 0.4 9.89185 0.6 13.9148 0.8 19.5739 1 27.5337 1. 2 38.7287 1.4 54.4735 1.6 76.6169 1.8 107.759 2 151.558 2.2 213.156 2.4 299.787 2.6 421.626 2.8 592.981 3 833.977 3.2 1172.91 3. 4 1649.6 3.6 2320.01 3.8 3262.89 4 4588.97 4.2 6453.97 4.4 9076.93 4.6 12765.9 4.8 17954.1 5 25250.8 5.2 35513 5.4 49945.8 5. 6 70244.3 5.8 98792.3

实验五 欧拉法Matlab实验报告

北京理工大学珠海学院实验报告 ZHUHAI CAMPAUS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY 班级2012电气2班学号120109021010姓名陈冲指导教师张凯成绩 实验题目（实验五）欧拉法实验地点及时间JD501 2014/1/2（6-7节） 一、实验目的 1.掌握用程序语言来编辑函数。 2.学会用MATLAB编写Euler.m以及TranEuler.m函数。 二、实验环境 Matlab软件 三、实验内容 1、以书中第124页题目11为例编辑程序来实现计算结果。 2、使用MATLAB进行编写： 第一步：编写Euler.m函数，代码如下 编写TranEuler.m函数，代码如下 第二步：利用上述函数编辑命令：（可见实验结果中的截图）

在此之前先建立一个名为f.m 的M 文件，代码如下 function z=f(x); z=8-3y; 再编辑代码： 得到了欧拉法的结果：y （0.4）=2.47838030901267 编辑另一段命令： 得到改进欧拉法的结果：y （0.4）=2.46543714659780 在此基础上，我还编辑龙格库达的命令窗口代码，如下： 四、实验题目 用欧拉法和改进欧拉法求解初值问题'83,(0)2y y y =-=，试取步长0.2h =计算(0.4)y 的近似值。 五、实验结果

六、总结 通过这次实验我掌握了将得到的解进一步精确，而且要学会比较这几种方法的精确性，显然，四阶龙格库达比改进欧拉发精确，改进欧拉发比欧拉法精确。 实验难度不大，要比较n的取值不同，产生的影响不同。

差分法欧拉格式浅谈

差分法欧拉格式浅谈 科学计算中常常求解常微分方程的定解这类问题的最简形式是一阶方程的初值问题 ???=='00 )(),(y x y y x f y （1） 这里假定右函数),(y x f 适当光滑，譬如关于y 满足Lipschitz 条件，以保证上述初值问题的解y(x)存在且唯一。 虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。 差分方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点 <<<<

Euler方法及其改进方法

《常微分方程》课内实验任务书 学生姓名:张学阳1009300132 及学号： 学院:理学院 班级:数学101 课程名称：常微分方程 题目:Euler方法及其改进方法 指导教师 李鹏松教授 姓名及职称： 朱秀丽讲师 方向实验师 2012年10月17日

《常微分方程》课内实验 实验一 Euler 方法及其改进方法 一、实验目的 1．通过用Matlab 编程运用Euler 方法及其改进方法求解常微分方程初值问题，更进一步掌握常微分方程及其数值解法课程的理论内容，加深对数值解法的理解。 2．熟悉Matlab 编程环境。 二、实验学时和类型 本次实验为2学时、设计性实验。 三、实验内容 1.实验题目 运用Euler 方法及其改进方法求解常微分方程初值问题，具体问题在课内实验习题中学生任意抽取。 2.实验原理 Euler 方法：???+==+) ,()(100n n n n y x hf y y x y y Euler 改进方法：[]?? ? ??++==+++),(),(2)(11100n n n n n n y x f y x f h y y x y y 3.设计思想 在能够获得精确解的题目抽取题目，分别应用Euler 方法、Euler 改进方法求解数值结果，将所得结果列表或者画图，参照精确结果，对Euler 方法、Euler 改进方法的计算误差进行分析。 4.参考程序源代码 %fun 为目标函数字符串 %x0为自变量初始值。 %y0为fun(x0); %bou=[a,b]自变量区间 %h 为步长 fun='1/x^2-y^2';

bou=[1,6]; a=bou(1); b=bou(2); x0=1; y0=0; h=0.1; n=ceil((b-a)/h); xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)'; lengthx=length(xx); xx(1)=x0;yy(1)=y0; for i=2:n+1 x=xx(i-1);y=yy(i-1); k=eval(fun); yy(i)=yy(i-1)+h*k; end Ys=dsolve('Dy=1/x^2-y^2','y(1)=0','x'); for i=1:lengthx x=xx(i); exacty(i)=eval(Ys); end YY=exacty'; yend=[xx,yy,YY] p=plot(xx,yend(:,2),'k-o','LineWidth',1,... 'MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','g',... 'MarkerSize',4); hold on; pp=plot(xx,yend(:,3),'r-.+','LineWidth',0.8,... 'MarkerEdgeColor','r',... 'MarkerFaceColor','m',... 'MarkerSize',6); legend([p,pp],'Eula','jiequejie'); %fun为目标函数字符串 %x0为自变量初始值。 %y0为fun(x0); %bou=[a,b]自变量区间 %h为步长 fun='1/x^2-y^2'; bou=[1,6]; a=bou(1); b=bou(2); x0=1; y0=0;

matlab 欧拉算法 附截图

设系统方程为：y t y y /2)1(-=,1)0(=y ,用改进欧拉法求解各离散点y 的数值解，步长 10,1.0≤≤=t h ，解析解为t y 21+= 。 解：改进欧拉法 ),(1n n n p n y t hf y y +=+ )],(),([5.0111p n n n n n c n y t f y t f h y y +++++= 已知 n n n n n y t y y t f /2),(-= n n n n n n n p n y ht y h y t y h y y /2)1()/2(1-+=-+=+ 1 111111/5.0/)5.01()]/2()/2[(5.0+++++++-+-+=-+-+=n n n n n n n n n n n n n c n y ht hy y ht y h y t y y t y h y y 程序： h=0.1; t=0:h:1; N=length(t); y=ones(1,N); ey=ones(1,N); zy=ones(1,N); for k=1:N-1 y(1,k+1)=(1+h)*y(1,k)-(2*h*(k-1)/(N-1))./y(1,k);%预估公式 ey(1,k+1)=(1+h)*ey(1,k)-(2*h*(k-1)/(N-1))./ey(1,k);%欧拉公式 y(1,k+1)=(1+0.5*h)*y(1,k)-(h*(k-1)/(N-1))./y(1,k)+0.5*h*y(1,k+1)-(h*k/(N-1))./y(1,k+1);%改进欧拉 zy(1,k+1)=(1+2*k/(N-1)).^0.5;%解析解 end plot(t,zy,'-xk',t,y,':ob',t,ey,'-.*r','linewidth',1.0); xlabel('t'); ylabel('y'); 截图：

Euler法解微分方程-Matlab程序

%主程序main.m-----OK! clear; T=0.0; Y=zeros(3,1); Y(1)=1.0;Y(2)=1.0;Y(3)=1.0; H1=0.05;M=3;EPS=1.0e-05;%EPS精度要求M方程个数H1拟定的输出步长 for i=1:10 [X,Y]=euler1(T,H1,Y,M,EPS) T=T+H1; End %变步长euler方法 function [X,Y1]=euler1(T,H1,Y,M,EPS) %M-方程个数,EPS-精度,Y0-右端初值，T-自变量前一点值，H-步长 N=1;P=1+EPS;X=T;G=zeros(M,1); H=H1;%H-在程序中要改变的步长H1－主程序中确定的输出步长 for i=1:M C(i)=Y(i); end K1=zeros(M,1);K2=zeros(M,1);K3=zeros(M,1);K4=zeros(M,1); while P>=EPS %变步长积分一步（H1） for i=1:M G(i)=Y(i); Y(i)=C(i); end DT=H/N; T=X; %－－变步长积分过程 for j=1:N K1=F(Y); K2=F(Y+H/2*K1'); K3=F(Y+H/2*K2'); K4=F(Y+H*K3'); for i=1:M Y(i)=Y(i)+H/6*(K1(i)+2*K2(i)+2*K3(i)+K4(i)); T=T+DT; end end %－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ P=0.0; for i=1:M Q=abs(Y(i)-G(i)); if Q>P

P=Q; end end H=H/2.0; N=N+N; end T=X; X=T+H1; Y1=Y; %右端函数值function D=F(y) D(1)=y(2); D(2)=-1*y(1); D(3)=y(3);

用改进的欧拉方法和四阶龙格-库塔方法解初值问题

用改进的欧拉方法和四阶龙格-库塔方法解初值问题 一、题目： 取步长2.0=h ，分别用改进的欧拉方法和四阶龙格—库塔方法解初值问题 ? ??=≤≤+=.1)0(;10,'y x y x y 并比较结果。 二、基本思想： 1.改进的欧拉方法 改进的欧拉方法用梯形公式计算()()()()+1+1-=,.n n x n n x y x y x f x y x dx ?中的积分，并以 n y 和+1n y 分别表示()n y x 和()+1n y x 的近似值，就得到 ()()()+1+1+1=+,+,.2 n n n n n n h y y f x y f x y （梯形公式） 梯形公式也是一个一步法公式。由于公式右端也含有未知的+1n y ，故被称作是隐式的。隐式格式实际上是关于+1n y 的一个函数方程。为了避免解方程，可以采用欧拉方法计算初始值，再由梯形公式计算。这样建立起来的计算格式称为改进的欧拉格式： ()()()()+1+1+1=+,,=+,+,.2 p n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ????? 梯形公式也可以采用迭代法求解。如果仍然采用欧拉方法计算迭代初值，那么计算格式就是 []()[]()[]()() 0+1+1+1+1+1=+,,=+,+,.2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ????? 由于已假定(),f x y 满足里普希兹条件，所以有 [][][]()[]() [][]+1-1-1+1+1+1,+1+1+1+1+1-=-,-.22 k k k k k k n n n n n n n n h hL y y f x y f x y y y ≤ 从而，迭代的收敛条件是0<<1.2hL 2.四阶龙格-库塔方法 龙格—库塔方法不是用求导数的办法，而是用计算不同点上()y x f ,的函数值，然后对这些函数值作线性拟合，构造近似公式。组合的原则是使得近似公式与泰勒展开式有尽可能多的项吻合，以达到较高的精度。 改进的欧拉格式