2.2等差数列教学设计doc

第二章 数列

2.2等差数列教学设计 计划课时：1课时

主备教师：杨开元

一、内容及其解析

本节要学习的内容等差数列，指的是一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，其核心是等差数列的通项公式，理解它的关键是等差数列的定义，学生已经学习了数列的一些基本知识，本节课等差数列就是已学数列基础进行细化，在日常生活中有广泛的应用，是本节课的重要内容。教学的重点是探索并掌握等差数列的通项公式，解决重点的关键是先从实数的运算与性质出发，通过类比，提出研究数列是否也可以像研究实数一样，从而引出本节所要研究的问题。

二、目标及其解析

教学目标：理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式。

目标解析：让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

三、问题诊断分析

本节内容教学中存在的主要问题是概括通项公式，对等差数列的通项公式进行推导。

四、教学支持条件

采用多媒体，引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

五、教学过程设计

问题一：等差数列应如何定义呢？

设计意图：利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

师生活动1：由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm ，自然放水每天水位降低2.5m ，最低降至5m 。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

看这些数列有什么共同特点呢？

（由学生讨论、分析）

变式训练：已知数列}

{n a 为等差数列，且{}n 85,511a a n a a 求，为等差数列，且已知数列==，58=a ，求a n

师生互动2：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？

由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

2

b a A += 不如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则 q p n m a a a a +=+

问题二 等差数列的通项公式怎样表述？

设计意图：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。）

师生活动1：那么通项公式到底如何表达呢？

,12d a a +=

,2)(123d a d d a d a a +=++=+=

,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=

……

得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+=

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a 和公差d ，那么这个等差数列的通项n a 就可以表示出来了。

例2 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？（设计意图：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。）

思考：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

变式训练：证明数列｛2n ｝为等差数列

六、课堂小结

本节主要内容为：

①等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2)

②等差数列通项公式：=n a d n a )1(1-+(n ≥1)

推导出公式：d m n a a m n )(-+=

七、目标检测

（1） 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；

（2） 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？

（3） -20是不是等差数列0，- ，-7…中的项；

（4）等差数列{an }的前三项依次为 a -6，-3a -5，-10a -1，则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C. -31 D.115

（5） 在数列{a n }中a 1=1，a n = a n+1+4，则a 10=

（6） 在等差数列{a n }中a 1=83，a 4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？

八、配餐作业

A 组

1、判断它们是等差数列吗？

(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10

(2) 5，5，5，5，5，5，…

（3）x x 3 x 5 x 7 …

2、已知104=a ，197=a ，求a 1与d

3、已知93=a ，39=a ，求a 12

B 组

1、 等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则n 为

A ．48

B ．49

C ．50

D ．51 2、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )

（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

3、 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是

（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 48

4．在等差数列{a n }中，已知a 4+ a 7+ a 10 = 17，a 4+ a 5 + a 6+ ┄ + a 14 = 77, 若a k =13，则k 等于

A. 16

B. 18

C. 20

D. 22

C 组

1、 已知数列{}n a 的公差,4315,4330==a d 则

a 1

的值为多少？

2、 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

985求这5个数。

3、 已知等差数列｛

a n ｝的公差为d ，求证：d n m a a n m =--

九、教学反思：

等差数列求和教案

等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重

要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.

等差数列教学设计实施方案

教师：利用高斯算法如何求等差数列的前n 项和公式？ 学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于1n a a +。 教师：但是否刚好配对成功呢？ 学生：不一定，需要对n 取值的奇偶性进行讨论。当n 为偶数时刚好配对成功，当n 为奇数时，中间的一项12 n a +落单了。 教师：对于n 的讨论太麻烦了，能否有更好的方法求前n 项和公式呢？ 设计意图：高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质。从高斯算法出发，对n 进行讨论，寻找求和公式思路。对于中间项12 n a +的解决办法，让学 生进一步体会到研究数列就是对脚标的研究。 问题2：图案中，第一层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把全等三角形倒置，与原图补成平行四边形。把不同数求和问题转化为相同数求和。 设计意图：几何直观更直观，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。设计此题的目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进。 问题3：如何求等差数列{}n a 的前n 项和n S ？ 由前面的铺垫，学生容易得出以下过程：

()() 121112n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L 两式相加得： ()()()()()()()()1211111112222 n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a a a a a a S n a a n a a S -=++++++=++++++=++= L L 又因为()11n a a n d =+-， 所以1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 设计意图：在前面数形结合的基础上，让学生自己动手推导求和公式。在获取知识的过程中，进一步体会倒序相加的方法，让学生经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程，同时也加深了对公式的理解与记忆。 问题4：比较这两个公式，说说它们分别从哪些方面反映了等差数列的性质？ 引导学生比较得出结论：若已知等差数列首相为1a ，末项为n a ，项数为n ，可直接 运用公式一() 12 n n n a a S +=求和；若已知等差数列首相为1a ，公差为d ，项数为n ，则 直接运用公式二1(1) 2 n n n S na d -=+ 求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式共包含五个量1,,,,n n a a n d S ，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。 设计意图：加深对公式的理解记忆，分析公式的本质，能够在做题的过程中更好的选取适当的公式。 （四）公式的记忆

等差数列优质课比赛教学设计

等差数列教学设计 【教学目标】 1、知识与技能 （1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； （2）运用等差数列的通项公式解决相关问题。 2、过程与方法 （1）通过对数列的分析、探究得到等差数列的概念，提高学生观察、探索、发现的能力；（2）利用等差数列通项公式的推导，培养学生分析、比较、概括、归纳的能力； （3）学会借助实例分析，探究数学问题，培养数学建模的能力。 3、情感、态度与价值观 （1）通过学生的主动参与，师生、生生合作交流，提高学生的学习兴趣，激发求知欲； （2）通过具体问题，发现等差关系，并利用数列知识予以解决，感受数列的应用价值； （3）培养学生严谨求实、一丝不苟的科学态度。 【重点和难点】 重点：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用。 难点：等差数列“等差”特征的理解、把握和应用。 【教学方法】 采用自主探究与合作交流的教学方法，借助多媒体辅助教学，增强课堂活动的生动性，调动学生参与知识形成过程的主动性和积极性。 【教学过程】

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的图象。y=3x-5和数列过分析、归纳得出结论：你发现了什么规律？能否说出[问题5] 的等差数列将学生的思路引向与一次函数等差数列利用函数知识来研图象是一次函数y=px+q的函数，强化对等差究通项公式。的图象之间有什么关系？y=px+q图象的一个子集，数列数列本质属性的认识。是函数让学创设问题情境，概念y=px+q在定义域为正整数生归纳探索。深化“通集时的特殊情况。强调的一次函数”与a是n项n是等差数列”的关{a}“n系。 教师巡视，要求学生

写出完整的步骤。由下列等差数列的通项公式求练习：教师选几个学生的答首项和公差：案投影到屏幕上，由学生1（）=3n+5a；n点评，教师总结。）2（=12-2na。n 页4 共页2 第 【板书设计】页4 共页3 第

高斯小学奥数含答案三年级(上)第22讲 等差数列应用

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 这几个等差数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数×项数，那么中间数=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数．这种通过公式反向求解的方法在等差数列的问题中非常常见． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1 一个等差数列的第1项是21，前7项的和为105，这个数列的第10项是多少？ 分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢？ 练习1 一个等差数列的第1项是3，前11项之和为198，这个数列的第20项是多少？ 第1项 第2项 第7项 21 ？ 第10项 和105 第二十二讲 等差数列应用

9个连续自然数的和是126，其中最小的数是多少？ 分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几？ 练习2 7个连续奇数之和为91，其中最小的数是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当然，要使用公式：和=中间数×项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3 已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？ 分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差．能不能找到这样的两项呢？ 练习3 已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690．请问：这个等差数列的首项是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 但并不是所有的等差数列的项数都是奇数．当项数是偶数时，只能根据公式： 和=（首项+末项）×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 第1项 第2项 第15 第21 ？ ？ 和为450 和为819

等差数列求和公式教学设计

等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。 学生对于公式的推导不容易接受，新课程标准也要求弱化推导，重在应用，

(完整版)等差数列教学设计

教学设计：等差数列 授课教师：武小鹏 2011．9．13 兰州市数学集体大备课 活动经验交流材料

附录：教学流程图 教 学 过 程 流 程 图 教学内容与教师的活动 媒体 的运用 学生 的活动 教师进行 逻辑选择 开始 导入新课 教师引导 教师引导复 习 得出结论 否 是 小组素材交流展示，组间评价 小节、布置作业 结束 课件学生回顾复习 完成 是 否 学生自主 回答 完成 课件展示图片引入新课 给出问题 小组讨论教师引导 否 是

兰州市大集体备课活动（数学）教学设计 兰州市第十四中学武小鹏 课题§2.2.1 等差数列（一） 教材普通高中课程标准实验教材人教（A版）必修5教学方法参与式教学 一、教材内容分析 数列是高中重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，而且起到承前启后的作用.数列作为一种特殊的函数，其中蕴含着丰富的函数思想，而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展.同时等差数列也为今后学习等比数列打下了“联想”“类比”的基础。 二、学情分析 经过前几个模块的学习，一部分学生知识经验已经较为丰富，有了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣不是很浓，所以在教学时注重从具体的生活实际出发，注重引导、启发、探究和探索，从而进一步促进思维能力的发展。 三、教法分析 在教学过程中，遵循学生的认知规律，在教学过程中突出学生的主体地位，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发学生的学习兴趣，发挥他们的主观能动性.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活和数学紧密相关。 四、学法分析 学生对本节内容的知识背景比较熟悉，因而好多学生对问题都存在着“眼高手低”的现象.引导学生发现新奇，让学生参与到动手计算、动手操作的教学环境中来.学生根据具体题目，通过运算、分析解决实际问题，更深入地理解等差数列及其通项公式.留给学生足够的自由发挥，自由探讨，发现问题，分析问题，解决问题的空间。 五、教学目标 1．知识与技能 通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，能在具体的问题情境中探索数列的等差关系； 2. 过程与方法 通过观察实际生活中的数列，引导学生探索交流，归纳总结抽象出等差数列的概念，并应用归纳、叠加等方法探索等差数列的通项公式； 3．情态与价值 培养学生的观察和归纳能力及参与课堂的意识。 六、教学重、难点

【详解】三年级(上)第22讲 等差数列应用

第二十二讲 等差数列应用 1. 例题1 答案：3 详解：先求出第4项：105715÷=，所以公差为：()()2115412-÷-=，第10项为：()2121013-?-=． 2. 例题2 答案：10 详解：9个连续自然数是一个公差为1的等差数列，第5项为：126914÷=，所以最小的数为：14410-=． 3. 例题3 答案：3；9 详解：先根据前15项之和，求出第8项为：4501530÷=．再根据21项之和，求出第 11项为：8192139÷=．所以公差是：()()39301183-÷-=，首项为： () 303819-?-=． 4. 例题4 答案：38 详解：8个连续偶数构成的是公差为2的一个等差数列，最大数应该比最小数大2714?=，再算出最小数与最大数的和：2482862?÷=，所以最大数为：()6214238+÷=． 5. 例题5 答案：3；9 详解：“前15项之和为450”，所以第1项与第15项之和为：45021560?÷=．同样地，算出第1项与第20项之和为75，都含有第1项，所以第20项比第15项大了756015-=，公差为：1553÷=，第15项比首项大31442?=，所以首项为：()604229-÷=． 6. 例题6 答案：99分 详解：原来是最低的，加了21分之后应该变成最高的，公差是3，所以小组里共有7人．原来中间的数为609787÷=分，所以最后小高是99分． 7. 练习1 答案：60 简答：第6项为：1981118÷=，公差为：()()183613-÷-=，第20项为： 331960+?=． 8. 练习2 答案：7 简答：第4个是：91713÷=，最小数为7． 9. 练习3 答案：11 简答：第7项为：5331341÷=，第8项为：6901546÷=，公差为5，则首项为：415611-?=． 10. 练习4

高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计

《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

§2.2《等差数列》教案

备课主题§2.2《等差数列》主备人韦龙轩 备课时间2020年6月16日星期二备课地点312 参加人员高一全体教师参备人高一全体教师 主备人教学案例备课组意见教材分析 学情分析学生基础较差，上课时速度慢一些 教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题； 2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点难点教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用． 教学准备导学案教学板块三个 教学过程一.复习提问 前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？ 等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用. 二.主体设计

教学过程 通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当 等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后， 要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 （1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项. （2）已知等差数列中，首项，则公差 （3）已知等差数列中，公差，则首项 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 （1）已知等差数列中，，求的值. （2）已知等差数列中，，求. 若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列

2020年高考数学考点22等差数列及其前n项和

考点22等差数列及其前n项和 、选择题 1. （2020 ?江西高考文科?T5）设｛a n｝为等差数列，公差d 2, S n为其前n项和，若Sw 和，则a i 【思路点拨】首先求出a ii，再根据等差数列的通项公式求a i。 【精讲精析】选B. 由S io S ii得，S I I-S I Q =a ii 0,又因为d 2, a1 a11 10d 0 10 （ 2） 20. 2. （2020 ?陕西高考文科?T10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵 树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（） （A）①和？（B）⑨和⑩ （C）⑨和？（D）⑩和？ 【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论. 【精讲精析】选D （方法一） （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两 端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 10 (1 2 L 19) 19（1 19） 2 10 2 3800 ;树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程 2 总和是10 (1 2 L9) 2 10 (1 2 L 10) 2 9 (1 9) 10 2 2 10 (1 10) 10 2 2 900 1100 2000 A. 18 B . 20 C . 22 D . 24

等差数列求和公式的教学设计

等差数列求和公式的教学设计 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n 是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设n S =1+2+3+…+n ,又有n S =n +(1)n -+(2)n -+…+1 ∴2n S =(1)n ++[2(1)]n +-+[3(2)]n +-+…+(1)n +，得n S =(1)2 n n + 问题3：等差数列123...n n S a a a a =++++=1() 2n n a a +？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到 1n a a +=21n a a -+=32n a a -+=…=1n a a +呢？利用等差数列的定义容易理解这层等 量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q ?m n p q a a a a +=+ 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d ，则123...n a a a a ++++=1a +（1a d +）+（12a d +）+…+[1(1)a n d +-] =1[123...(1)]na n d +++++-=1(1)2n n na d -+ （这里应用了问题2的结论） 问题5：n S =1(1)2n n na d -+=(1)2n n n na d --？ 学生容易从问题4中得到联想： ()(2)...[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+--=[123...(1)]n na n d -++++-=(1)2n n n na d --。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的

二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式 ⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，… 通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。 本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。 二、 预备知识： 1、 等差数列的定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。 2、 等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ， 公 差： d = a 2 - a 1. 三、 二阶等差数列的定义及其通项公式： a) 定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★） 从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2 称为二阶等差数列的二阶公差。 显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列. ⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系： 二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。 b) 二阶等差数列的通项公式： 设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，… 为 b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆) 即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z) 则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 显然，对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2， 根据等差数列的通项公式,则有 b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ） 由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d 依此规律，则有 a 2 = a 1 + b 1，

等差数列前n项和优质课教案 doc

（一）教学目标 1知识与技能目标： （1）掌握等差数列前n项和公式， （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2过程与方法目标： 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 3情感、态度与价值观目标： 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。（二）教学重点、难点 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 （三）教学方法：启发、讨论、引导式。 （四）教具：采用多媒体辅助教学 （五）教学过程 一、复习引入 二、设置情景 1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法 三探究发现 变式： 问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？ 方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100

方法2：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98）+99 方法3：原式=0+1+2+3+4+‥ ‥ +98+99 方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50 方法5：原式=（1+2+3+4+‥ ‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥ ‥ +99 又 S=99+98+97+‥ +2+1 故 2S=（1+99）+（2+98）+‥ ‥ +（98+2）+（99+1） 从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950 问题2：1+2+3+4+‥ ‥ +（n-1）+n=？ 在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？ 令 Sn =1+2+3+4+‥ ‥ +n ， 则 Sn =n+（n-1）+‥ ‥ +2+1 从而有 2Sn =（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示； (2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形： 设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an (I) a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+ 2 ) 1(-n n d(II) 所以 S n = 2 )1(+n n 12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321 n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ?=+1() 2 n n n a a S +?=

等差数列教学设计公开课

无为二中公开课 教 学 设 计 课题《等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：（星期二）下午第一节

高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式 3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （二）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （一）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？

1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 特点：高度每增加一千米，温度就降低度。 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, , 15, , 2, …, -24....... 学生活动（1）：学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征： （1）1682，1758，1834，1910，1986，2062...... （2）28, , 15, , 2, …, -24....... （3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1...... 共同特征：1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。 2.这个常数可以为正为负，还可以为零。 （二） 新知概念，例题讲解 1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，它的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就称这个数列为等差数列. 要点：（1）从第二项起； （2）)1(a ),2n (a 11≥=-≥=-+-n c a c c a n n n n 或是为常数 （3）同一常数c 。 2.公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 “d ”来表示. 请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少 （1）d=76 (2)d= (3)d=0 例1.下列数列是等差数列吗？为什么？

2019年高考数学真题考点22 等差数列及其前n项和

考点22 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则 ( ) A.a n =2n -5 B.a n =3n -10 C.S n =2n 2-8n D.S n = n 2-2n 【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想,以及数学运算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再通过计算即可作出判断. 【解析】选A .由题知, , , 解得 - , , 所以a n =2n -5,故选A . 【光速解题】本题还可用排除法,对于B ,a 5=5,S 4= (- ) =-10≠0,排除B , 对于C ,S 4=0,a 5=S 5-S 4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C . 对于D ,S 4=0,a 5=S 5-S 4= ×52-2×5-0=2.5≠5,排除D ,故选A . 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1≠0,a 2=3a 1,则 = . 【解析】设该等差数列的公差为d ,因为a 2=3a 1, 所以a 1+d =3a 1,故d =2a 1(a 1≠0,d ≠0), 所以 = ( ) ( ) = ( ) = =4. 答案:4 3.(2019·北京高考理科·T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【命题意图】本小题主要考查等差数列,属容易题,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】a 2=a 1+d =-3,S 5=5a 1+ d =-10,即a 1+2d =-2,解得a 1=-4,d =1,所以a 5=a 1+4d =0,S n =na 1+ ( - ) d = - ,当n =4 或5时,S n 最小,为-10. 答案:0 -10 【方法技巧】求等差数列前n 项和的最值方法 1.求前n 项和S n = n 2+ - n =An 2+Bn ,其结构是以n 为自变量的二次函数,从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题. 2.利用通项公式,令a n =0,解得n 0,当n 取最接近n 0的整数时,前n 项和有最值. 4.(2019·江苏高考·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【命题意图】主要考查数列的基本量,运用基本量法求解. 【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d ,由a 2a 5+a 8=0,S 9=27, 得 ( )( ) , , 解得a 1=-5,d =2,所以S 8= ( ) =4(2a 1+7d )=16. 答案:16 【题后反思】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a 1,d 的方程组.

高中数学新课程创新教学设计案例50篇___47_等比数列

47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用． 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感． 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较． 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型． 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，…

2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，… （3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）： 表47-1 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列： １００００×１ ０１９８，１００００×１ ０１９８２，１００００×１ ０１９８３，１００００×１ ０１９８４，１００００×１ ０１９８５． 问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？ 二、建立模型 结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［问题］

二年级等差数列

二年级奥数等差数列（一） 【课前准备】(★) 请观察下面的数列，找规律填数字。 ①5，9，13，17，21，_____； ②7，11，15，19，_____，27，_____，35； ③200，180，160，140，_____； ④102，92，82，72，____，52。 【知识要点屋】 1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。 3．名词：公差，首项，末项，项数 5 ，9，13，17，21，25 例1(★★★) ⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______； ⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。 例2(★★★) 一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。 练习 1. 求等差数列2,5,8,11，…的第28项和50项 2. 求等差数列2,7,12，17,22…的第20项和第80项 3. 等差数列1,4,6，…某项为82，它是第多少项？ 4.等差数列3,7,11,15，…某项为163，它是第多少项？ 计算部分 例题1. 计算2+5+8+11+17+20+23

练习：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19 例题2. 计算8+10+12+14+16+18+20 练习：计算3+6+9+12+15+18+21 例题3. 计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5 练习：20+17+14+11+8+5+2 例题4. 计算9+11+13+15+17+19+22 练习：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25 例题5. 计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23 练习：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26 例题6. 杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？ 练习：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公汽上的作为刚好坐满。求这两公汽共有多少个座位？

等差数列求和公式教学设计

等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。