(完整word)【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科)

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（）

A．B．0 C．1 D．3

2．若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（）

A．z1?z2是实数 B．是纯虚数

C．|z|=2|z2|2D．z=4i

3．已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（）A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8

4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）

A．B．C．D．

5．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（）

A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81

6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）

A．=1 B．

C．=1 D．=1或=1

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12

8．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]

9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）

A．B．C．D．

10．已知数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足（2n﹣5）a n+1=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则S n﹣S m的最小值为（）A．B．C．﹣14 D．﹣28

11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）

A．B．8πC．D．36π

12．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A．?x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．?x∈（﹣3，+∞），f（x）

C．?x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．

14．已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为．15．已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为．

16．设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线

y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q ，则=

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．

（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=

BC，=2，求AM的值；

（2）若b=12，求△ABC的面积．

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．

（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；

（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．

19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：

上一年度销售额/万元[0，100）[100，

200）

[200，

300）

[300，

400）

[400，

500）

[500，+

∞）

商品单

价/元

a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a

为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，

得到下面的柱状图．

已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．

（1）求X的平均估计值．

（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为

获奖金额/元500010000

概率

记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..

20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛

物线C2：y2=8x的焦点．

（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；

（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．

21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的

标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|．

（1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；

（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（）

A．B．0 C．1 D．3

【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．

【解答】解：A∩B={0}；

∴0∈A，0∈B；

∴log3x=0；

∴x=1，y=0；

∴x+y=1．

故选：C．

【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．

2．若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（）

A．z1?z2是实数 B．是纯虚数

C．|z|=2|z2|2D．z=4i

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，

∴z1?z2=1﹣i2=2，故A正确；

，故B正确；

，，故C正确；

，故D错误．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（）A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8

【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），

若，则﹣1×（m﹣4）﹣3×m=0；

解得m=1；

∴=（1，﹣3）

=（2，3）；

=1×2+（﹣3）×3=﹣7．

故选：A．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．

4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）

A．B．C．D．

【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，

将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，

则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P=，

故选：D．

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．

5．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（）

A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81

【分析】等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），可得=3（a2q+a2），化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．

【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），

∴=3（a2q+a2），

化为：q2=3．

由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9

则==q4=9．

故选：B．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）

A．=1 B．

C．=1 D．=1或=1

【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），可得c=4，即有a2+b2=c2=16，

双曲线的两条渐近线互相垂直，

即直线y=x和直线y=﹣x垂直，

可得a=b，

解方程可得a=b=2，

则双曲线的方程为﹣=1．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12

【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．

【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，

几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

8．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]

【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x 可得结论．

【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）

变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知

当直线经过点A（﹣2，0）时，目标函数取最小值﹣4

当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，

故z=﹣2x+y的取值范围为[﹣4，4]．

故选：B．

【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）

A．B．C．D．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，

由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，

而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，

由S n=2n﹣1得：S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，

故循环体内S=1+2S，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

10．已知数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足（2n﹣5）a n+1=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则S n﹣S m的最小值为（）A．B．C．﹣14 D．﹣28

【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n，讨论n 的变化，S n的变化，僵尸可得最小值．

【解答】解：∵（2n﹣5）a n

=（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，

+1

∴﹣=1，=﹣5．

可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．

∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，

∴a n=（2n﹣5）（n﹣6）=2n2﹣17n+30．

∴S n=2（12+22+……+n2）﹣17（1+2+……+n）+30n

=2×﹣17×+30n

=．

可得n=2，3，4，5，S n递减；n＞5，S n递增，

∵n，m∈N+，n＞m，

S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，

S n﹣S m的最小值为5﹣19=﹣14，

故选：C．

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）

A．B．8πC．D．36π

【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．

【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，

则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，

过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，

∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，

∴AE=2，EF=1，

设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，

设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，

∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=（1+1）2+（2﹣x）2，

解得x=，∴R2=6，即R=，

∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．

故选：B．

【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．

12．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A．?x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．?x∈（﹣3，+∞），f（x）

C．?x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）

【分析】本题首先要对函数f（x）=e x﹣ln（x+3）进行求导，确定f′（x）在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈（a，b）时，利用f′（a）f′（b）＜0确定导函数的极值点x0∈（﹣1，﹣）从而．得到x=x0时是函数f（x）的最小值点．

【解答】解：因为函数f（x）=e x﹣ln（x+3），定义域为（﹣3，+∞），所以f′（x）=e x﹣，

易知导函数f′（x）在定义域（﹣3，+∞）上是单调递增函数，

又f′（﹣1）＜0，f′（﹣）＞0，

所以f′（x）=0在（﹣3，+∞）上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈（﹣1，﹣），

则x=x0为f（x）的最小值点，且f′（x0）=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln（x0+3）

故f（x）≥f（x0）=e﹣ln（x0+3）=﹣ln（x0+3）=+x0，因为x0∈（﹣1，﹣），所以2＜x0+3，

故f（x）≥f（x0）=＞2+=﹣，即对?x∈（﹣3，+∞），都有f（x）＞﹣．

故选：B．

【点评】本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．

【分析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x+φ+）的图象，

∴g（x）=2sin（2x++φ）；

又g（x）是偶函数，

∴+φ=+kπ，k∈Z；

∴φ=﹣+kπ，k∈Z；

又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

14．已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为2．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由基本不等式求a+2b的最小值．

【解答】解：（ax+）6展开式的通项为x6﹣2r，

由6﹣2r=0，得r=3．

∴，即．

∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=”．

∴a+2b的最小值为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

15．已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为（0，1）．

【分析】利用单调性求解即可．

【解答】解：函数f（x）=log2（4x+1）+mx，

当m＞0时，可知f（x）时单调递增函数，

当x=0时，可得f（0）=1，

那么不等式f（log3x）＜f（0）的解集，

即，

解得：0＜x＜1．

故答案为（0，1）

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于基础题．

16．设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线

y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=3

【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．

【解答】解：设直线OP方程为y=kx（k≠0），

联立方程组，解得P（，），

联立方程组，解得Q（，），

∴|OP|==，|PQ|==，

∴==3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；

（2）若b=12，求△ABC的面积．

【分析】（1）设BM=x，则AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．

（2）由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8

点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，

∴设BM=x，则AN=2x，

在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，

解得x=4（负值舍去），则BM=4，

∴AM==4．

（2）在△ABC中，由正弦定理得=，

∴sinC===，

又b=12＞c，∴B＞C，则C为锐角，∴cosC=，

则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×=，

∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．

【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．

（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；

（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．

【分析】（1）推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．

（2）以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD?平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．

又DE?平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．

解：（2）由已知DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．

又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．

所以四边形ABCD为等腰梯形．

又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，

令AD=1，

如图，以D为原点，以DA为x轴，

建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0），A（1，0，0），

F（﹣，，1），B（0，，0），

∴=（，﹣，﹣1），=（0，，0），=（﹣，，1）．

设平面BDF的法向量为=（x，y，z），

则，取x=2，得=（2，0，1），

cos＜，＞===．

设直线与平面BDF所成的角为θ，则sinθ=．