空间位置关系的判断与证明
模块框架
丫面的H木件质
对申血的进涉认识?屮曲分空间问题
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截面辺题对住间位置关系的判斷平行关系的刿断与連明垂有关??????fl V彳」与耀直关系综合吐明
高考要求
空间线、面的位置关系要求层
次
B
重难点
空间中的线
面关系
公理1,公理2,公理3, 公
理4,定理*① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
?公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
?公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
?公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
?公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
?定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理.
?如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面
*公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
FtiII[|￡知识内容
1.集合的语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点A在直线l上，记作：A .丨；点A不在直线l上，记作A 丨;
点A在平面：■内，记作：AW X;点A不在平面：■内，记作A ：一：■;
直线丨在平面G内（即直线上每一个点都在平面G内），记作I UOf ；
直线丨不在平面：'内（即直线上存在不在平面：' 内的点），记作丨
直线丨和m相交于点A ,记作丨m { A},简记为丨mA ; 平面二与平面I「■相交于直线a，记作- -a .
2.平面的三个公理：
⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形语言表述：如右图：
符号语言表述：A三I, B三I , A三：￡, B ? =. I二TL
⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确
定一个平面.
图形语言表述：如右图，
A ?
C
符号语言表述：A,B,C三点不共线二.有且只有一个平面：■，使AW:丄，BWx ,C 三 X .
⑶公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
图形语言表述：如右图：
符号语言表述：A 一一?：--a,AWa .
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线.
3.平面基本性质的推论：
推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.
4.共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面.
＜教师备案＞1 .公理1反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即
直线在平面内.
2.公理2可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平
面，后面的三个推论都是由这个公理得到的. 要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平
面经过它们.
确定一个平面的意思是有且仅有一个平面.
3.公理3反应了两个平面的位置关系，两个平面
（一般都指两个不重合的平面）
只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线. 此公理可以用来证明点共线或
点在直线上，可以从后面的例题中看到.
4.平面基本性质的三个公理是不需要证明
的，后面的三个推论都可以由这三个
公理得到.推论1与2直接在直线上取点，利用公理1与2便可得到结论，推
论3是由平行的定义得到存在性的，再由公理2保证唯一性.
线线关系与线面平行
1.平行线：在同一个平面内不相交的两条直线.
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两
边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
2?空间中两直线的位置关系：
⑴共面直线：平行直线与相交直线；
⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线.
3.空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形.
这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.
如右图中的空间四边形ABCD ,它有四条边AB,BC,CD,DA ,两条对角线AC,BD . 其中AB,CD ；AC,BD ；AD,BC 是三对异面直线.
4.直线与平面的位置关系：
⑴直线l在平面:■内：直线上所有的点都在平面内，记作I :?,如图⑴；
⑵直线I与平面：■相交：直线与平面有一个公共点 A ；记作I I=A ,如图⑵;
⑶直线∣与平面：■平行：直线与平面没有公共点，记作I//〉，如图⑶.
5.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那
么这条直线和这个平面平行.
符号语言表述：I 二L,m 二:￡,l / ∕m=? I //:?.
6 .直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行.
符号语言表述：∣∕∕>,∣二「，m=?l∕∕m .
图象语言表述：如右图：
＜教师备案＞1 ?画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行；
2?等角定理证明：
已知：如图所示，.BAC和.BAC的边AB //AB' , AC / IA C ',且射线AB
与A B?同向，射线AC与A C侗向.
求证：.BA^- BA C '
证明：对于E BAC和乙BAC ■在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形.
分别在.BAC的两边和.BAC ■的两边上截取线段AD、AE和
A D、A E ?,使A) AD AE,AE ,因为AD /∕A'D ',所以AA D D 是
平行四边形—
所以AAyDD '.
同理可得AA 7 /EE ',因此DD/ /EE '.
所以DDEE是平行四边形.
因此DE =DE '.
于是"DEjlA DE '.
所以.BAC BAC '.
3.根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到
两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角.
异面直线所成角的范围是(O, π]
4.线面平行判定定理 (∣Uα,m Uo t,l /∕m= I/∕α),即线线平面，则线面平行. 要证明这个定
理可以考虑用反证法，因为线线平行( I / ∕m ),所以它们可以
确定一个平面','与已知平面:的交线恰为m ,若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在
两个平面的交线m上，从而得到I与m相交，与已知矛
盾.
5.线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得(共
面且无交点).
面面平行的判定与性质
1.两个平面的位置关系
⑴两个平面:,■-平行：没有公共点，记为■■//'-;
画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：