相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形

一、知识概述

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义

对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．

4.相似三角形的基本性质

①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．

②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比

④面积比等于相似比的平方

温馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC

的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

5. 相似三角形的判定定理

①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；

②三边对应成比例的两个三角形相似；

③两角对应相等的两个三角形相似；

④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：

（1）判定三角形相似的几条思路：

①条件中若有平行，可采用判定定理1；

②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；

③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必

须是成比例两边的夹角对应相等．

④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

6. 位似

①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．

注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

7.三角形的重心

①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍

二、相似三角形解题思路：

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：

(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；

(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；

(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

温馨提示：

从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

相似三角形专题分类练习讲解

A C

D

B

E A

B

C

D

E

题型一：线段的比、黄金分割

1.在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ） A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km

2.若则下列各式中不正确的是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

3.若52

=

-y

y x ，则

y x

=_______；已知3

2=y

x ，则

y x y x +-=________；已知6

53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。

4.若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。

5.2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。

6.已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。

题型二：相似的性质

1.如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。

2.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为

3.如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。

4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：_____个

5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________

6.平行四边形ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=EF=FC ，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN=_________。 第3题 第4题 第5题 第6题

7.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形ABCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．

变式2图

H

M

D

E

F

G

C

B

A

下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5． 其中正确的结论是（ ）

A ．①③

B ．③

C ．①

D ．①②

8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）

A ． S 1 > S 2 B. S 1 = S 2 C. S 1

9.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G 交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为（ ）

A.1∶2

B.1∶4

C.4∶9

D.2∶3

10.如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ?∶COB S ?＝4∶9，则AE ∶EC 为（ ） A.2∶1 B.2∶3 C.4∶9 D.5∶4

11.已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______．

第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 12.如图在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。

13.已知如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，F 为垂足，求△DFA 的面积1S 和四边形CDFE 的面积2S 。

题型三：相似的有关证明

1.已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AB 的中点，直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交于M 、N 点

求证：MD ：ME ＝ND ：NE

2.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC ，交AC 于E ，F 在AD 上，且AB AF AD ?=2，求证：△AEF ∽△ACD ．

3.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB=8，AD=6，AF=4

，求AE 的长．

题型四：函数与相似

1. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，G 为DC 中点，E 为BC 上任一点，（E 点与点B 、点C 不重合）设BE ＝，

过E 作GA 平行线交AB 于F ，设AFEC 面积为，写出

与

的函数关系式，并指出自变量

的取值范围。

2.如图，ABCD 是矩形，AH ＝2，HD ＝4，DE ＝2，EC ＝1，F 是BC 上任一点（F 与点B 、点C 不重合），过F 作EH 的平行线交AB 于G ，设BF 为，四边形HGFE 面积为

，写出

与

的函数关系式，并指出自变量

的取值范围。

N D C

A E B

M

3.如图，有一块直角梯形铁皮ABCD，AD＝3cm，BC＝6cm，CD＝4cm，现要截出矩形EFCG，（E点在AB上，与点A、点B不重合），设BE＝，矩形EFCG周长为，（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；（2）取何值，矩形EFCG面积等于直角梯形ABCD面积的。

4.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；

否则，请说明理由．

5.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，

物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD 交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．

题型五、圆与相似

1.（2013?绥化）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

2.如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F 。 (1)求证：DE 是⊙O 的切线；

(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长。

3.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E ． （1）求证：△AOC ≌△AOD ；

（2）若BE=1，BD=3,求⊙O 的半径及图中阴影部分的面积S ．

4.如图⊙O 是△ABC 外接圆，AB 是直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。（1）求证:DE 是⊙O 的切线；(2) 若AB=6, AE=4, 求BC 和BD 的长

5.（2012辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。

（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长。

6.（2013?十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积．

题型六、因动点产生的相似问题

1．D是△ABC的AB边上一点，过A、D及三角形边上的一点E的三角形与△ABC相似，画出示意图。

D是Rt△ABC的BC边上一点，过C、D及三角形边上的一点E的三角形与△ABC相似，画出示意图。

B

A B

2．已知Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图，P （3，4）为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分成两部分，问点C 在什么位置时，分割得到的三角形与△OAB 相似？画出所有符合要求的线段，写出点C 的坐标。 第2题 第3题 第4题

3．在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当点C 的坐标为

时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。 4．已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B ，请在射线BF 上找一点M ，使以B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。

5. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值.

6. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B,C 重合），EF ⊥AB,EG ⊥AC ，垂足分别为F,G ． （1）求证：EG CG AD

CD

；

（2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB=AC 时，△FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由．

D

B

A

M

C

N

F

A G

C

E

D B

7.矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，－3），直线y ＝－

4

3

x 与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线y ＝ax 2

－

4

9

x 经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的点P 的坐标．

8．如图，抛物线y ＝－12x 2

＋52

x －2与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ．

（1）求证：△AOC ∽△COB ；

（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ．若点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度由A 向B 运动，同时点Q 在线段CD 上也以每秒1个单位的速度由D 向C

运动，则经过几秒后，PQ ＝AC ．

9．如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB

的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型三：位似

1.如图所示，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E.已知OA ＝10 cm ，OA′＝20 cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．

2.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点. ⑴以O 为位似中心，在网格图．．．中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）

3.如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P′、Q′、R′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR 的位似比为_________。

第1题 第2题 第3题 相似三角形分类题型讲解（答案） 题型一：

1.C

2.C

3.5

7；5

1-；6；10；3

5 4.4:5 5.4 、4 6.a=4b=

6 c=8

题型二：

1. 2:3

2. 1:4

3. 4:21

4. 3个

5. 2:3

6. CN=7

7. A

8. A

9. C 10. A 11. 4

15 12. DG=7

24 ；DE=748

13. S 1=54 ； S 2=5

11

题型三：

4.

P Q R

O P'Q'

R'

题型四：

1. )10(422<<++-=x x x y

2.)60(842

<<++-=x x x y 3.（1）)50(1252<<+=x x y （2）4

15=x 4. (1)A

（-1，0）B （1，0） C （0，1） (2) S=4 (3)M 1（-2，3）M 2（4，15）M 3（3

4，9

7） 5.(1)432+--=x x y

题型五： 1.B 2.BF=

3.r=4 ；S=54-8π

4.（2）BC= ；BD=6

5.（2）AF=

6.（2）S

△

BHE =

题型六：

1.C 1（3，0）C 2（6，4）C 3（6，4

7） 2. C 1（-1，0）C 2（-4，0）C 3（1，0） 3.BM 1=3;BM 2=3

16 4.

（2）21642

++-=x x y ； x=2时，S=10 ； （3）x=2 6.（1）D （4，-3）（2）x x y 4

9832-=（3）P 1（3，

0）P 2（3，4） 7.（2）t=2.5或t=1.5 8.（1）()349

32--=x y 或9

379

389

32+-=x x y 或()()

719

3--=x x y （2）P （4，3

3）（3）Q 1（10，33）Q 2（-2，33）Q 3（4，3-）

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

(完整版)相似三角形知识点与经典题型

相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】“平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的 直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，12AD AB = ， 延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳 一、比例的性质： 二、成比例线段的概念： 1．比例的项： 在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段： 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割： 如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下 全全 ． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则 AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF AB AC = ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC = ，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可． 四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义

最新相似三角形常见题型解法归纳.优选

A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换； ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a, , ,是四条线段，欲证 d c b a =，可先证得 f e b a =（f e,是两条线段）然 后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD ②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD?CN=BM?CE． ③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP?PC=BM?CN D C A word.

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴ DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE C A D B E F D A B

相似三角形经典习题

相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF

相似三角形常见题型

相似三角形的常见题型 【知识要点】 1.如何选择相似三角行判定定理： ①已知一个角对应相等的，常用（两角型或夹角与一组对应边成比例） ②已知一组对边成比例的，常用（夹角与一组对应边成比例） ③只知道边的关系的，常用（三边对应成比例） 【学堂练习】 1.如图，□中，直线分别交、的延长线于P、S交、、于Q、E、R， 图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有 对。 2.如图，□中，交延长线于E交于F，∶＝3∶ 2，则∶。 A R S D C Q E B

【经典例题】 例1、如图，在△中，∥，∥. （1）求证：：： （2）若4，5，求的长. 例2、如图，∠1＝∠2，＝12，＝15，＝20，＝25。证明：△∽△。 例3 E是边延长线上一点，交于F，交于G， 求证：（1）2·。（2） AE AB CB CF 。 A C D E 题 B C D E

例4、 如图，△中，D 是边上的中点，且＝，⊥，与相交于点E ， 与相交于点F 。 （1）求证：△∽△； （2）若S BC FCD ?==510，，求的长。 例5．如图, △是等边三角形,点分别在上,且与相交于点F. (1) △与△相似吗?说说你的理由. (2)2 ·吗?请说明理由.

例6．如图，⊥，⊥，、相交于点C，⊥，垂足为F。 （1）求证：111 AD BE CF +=。【随堂练习】D A F B E C

1．如图所示，∥， 32=DB AD ，则BC DE = 。 2．如图所示，∥，∥，1.8， 1.2，1，则 。 3．如图所示，∥，∥，则下列比例式正确的是（ ）。 A ． BC DE BD AD = B ． FC BF EC AE = C ． BC DE AC DF = D ．BC BF AC DF = 4. 如图，在正三角形中，D 、E 分别在、上，且 AD AC =1 3 ，＝，则有（ ） A. △∽△ B. △∽△ C. △∽△ D. △∽△ 5、如图，在ABC △中，90C =o ∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长． A C D E 第1题图 A B C E D F 第3题图 A B C E D F 第2题图 A D C E 第4题图

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F

考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G

相似三角形动点问题题型归纳报告

相似中动点问题 题型一位似图形 例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标． 例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点0； （2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比； （3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

题型二 动点存在问题 1如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5 24 个平方单位？ y x O P Q A B

3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D 开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？ 4、如图，在梯形ABCD中，A D∥BC, AD=3，DC=5, AB=42,∠B=45°, 动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N同 时从C点出发沿线段CD一每秒1个单位长度的速度向 终点D运动，设运动的时间t秒。 （1）、求BC 的长。 （2）当M N∥AB时，求t的值. A B C D Q P A C B D N

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．

相似三角形经典题型

(1）以上各种判定均适用. (２)如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. (３)直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似. 注: 射影定理:在直角三角形中，斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。每一条直角边就是这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。 如图,Rt △A ＢＣ中，∠ＢAC ＝９0°,AD 就是斜边B Ｃ上得高， 则ＡD 2＝BD ·DC,AB 2＝ＢD ·BC ,AC 2＝ＣD ·BC 。 知识点8 相似三角形常见得图形 1、下面我们来瞧一瞧相似三角形得几种基本图形: （1）如图:称为“平行线型”得相似三角形(有“Ａ型”与“Ｘ型”图) (2) 如图：其中∠1=∠2，则△A ＤE ∽△ABC 称为“斜交型”得相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”) （3） 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) （4）如图：∠1=∠2,∠B ＝∠D ，则△A ＤＥ∽△A ＢC ，称为“旋转型”得相似三角形。 2、几种基本图形得具体应用： (1)若DE ∥BC(A 型与Ｘ型)则△ADE ∽△ABC (２)射影定理 若CD 为R ｔ△AB Ｃ斜边上得高(双直角图形) 则Ｒt △ＡＢC ∽Rt △ACD ∽Ｒt △ＣBD 且ＡC 2＝ＡD ·AB ，ＣD 2=AD ·ＢD ，B Ｃ2=BD ·ＡB; (３)满足1、ＡC 2=A Ｄ·A Ｂ,２、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠AD Ｃ,都可判定△A ＤC ∽△ACB ． （4)当或ＡD ·ＡＢ=A Ｃ·AE 时，△A ＤＥ∽△ＡCB. 知识点9:全等与相似得比较: 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 相似判定得预备定理 两角对应相等 两边对应成比例,且夹角相等 三边对应成比例 A B C D E 1 2 A A B B C C D D E E 12412E C A B D E A B C (D )E A D C B (1)E A B C D (3)D B C A E (2)C D E A B

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF和AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC和△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC和△BEA的面积之比． 11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q． （1）求四边形AQMP的周长； （2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）； （3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论． 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． （1）求梯形ABCD的面积S； （2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

相似三角形题型讲解

相似三角形题型讲解 相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。 评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。 证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36° 在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC A B C D E F G 12 3 4A B C D

最新相似三角形经典例题解析

一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E

相似三角形中考题题型类

相似三角形 1．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ． CD BC EF BE = D ． CD AD EF AF = 2.如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠； ③AC AB CD BC =； ④2AC AD AB =g 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．2：1 D ．4：14.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，D E 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D ◆考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． A B D C E F 1题 A C D B （第2题图）

◆备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A 型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____． 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也 等于________比，面积比等于_________． ◆典例精析 例1（2009山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米． 小华乙 【答案】9. 【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得

(完整word版)相似三角形题型归纳

图1 图2 三角形题型归纳 一、线段比例问题(构造平行) 1、下图中，E 为平行四边形 ABCD 勺对角线AC 上一点，AE ： EC=1： 3, BE 的延长线交 CD 的 延长线于 G,交AD 于F ,求证：BF ： FG=1： 2. 2、已知：如图，在直角三角形 ABC 中，/ BAC= 90° AB= AC, D 为BC 的中点，E 为AC 上 一点，点G 在BE 上,连结DG 并延长交 AE 于F ,若/ FGE=45°, (1)求证：BD- BC=BG- BE (2)求证：AGL BE ( 3)若E 为AC 的中点，求 EF ： FD 的值。 3、如图1,在Rt △ ABC 中，/ BAC=90 , AD L BC 于点D,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交 — AD 于F , OEL OB 交BC 边于点E. (1)求证：△ ABF ^A COE (2)当O 为AC 的中点，：丨 时， OF AC_ 0? 如图2,求「的值；(3)当O 为AC 边中点，’ 时，请直接写出⑴的值 . A F ￡ B

4、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为DE 的中点，BR 分别 交 AC , CD 于点P , Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外);(2)求 BP:PQ:QR . 2、过厶ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E,求证：AE ： ED=2AF FB. 3、如果四边形 ABCD 勺对角线交于 0,过O 作直线 0G/ AB 交BC 于E ,交AD 于F ,交CD 的 延长线于 G,求证：0G=GE ? GF. B 1 二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路) 1、如下图，已知在厶ABC 中，AD 平分/ BAC,EM 是AD 的中垂线，交 D E=B E ? CE. BC 延长线于E.求证 :