(精心整理)2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案

侧视图

正视图试卷类型：A

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2018.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题

卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.

5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是1

3

V Sh =

,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为

A ．2-

B ．2

C ．2-i

D ．2i

2．若函数()y f x =是函数3x

y =的反函数，则12f ??

???的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．1

9

D

3．命题“对任意x ∈R ，都有32

x x >”的否定是

A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >

B ．不存在0x ∈R ，使得32

00x x >

C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤

D ．对任意x ∈R ，都有32

x x ≤

4. 将函数(

)2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6

π

个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数，也不是偶函数

5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是

A ．

16 B ．13 C ．12 D ．38

6．设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF

的中点在y 轴上，若1230PF F ?

∠=，则椭圆C 的离心率为

A ．16

B ．1

3

C

D

C

B A

7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为

A ．6π4+

B ．12π4+

C ．6π12+

D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行

排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若

2014ij a =，则i j +的值为

A ．257

B ．256

C ．254

D ．253

表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．不等式2

210x x --<的解集为 .

10．已知312n

x x ?

?- ??

?的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .

11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ?的值

为 .

12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值

为8，则ab 的最大值为 .

13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ??=??，

当[)0,(x n n ∈∈N *

)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-??=?

为参数)与

圆1cos ,(sin x y θθθ=+??=?为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .

15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且

12

AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2

，则

△AFD 的面积为 cm 2

.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =

. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.

图2

F

E D C

B

A a 图3

重量/克

0.032

0.02

45

2515O 17．（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；

（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；

（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,

,i n =，

则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内

的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ?

=∠=

，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.

图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *

，都有()11n n na S n n +=++.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20．（本小题满分14分）

已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;

(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个

定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）

已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()

1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；

（2）当1x >时，()0k

f x x

+

<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *

，且2n ≥时，22

111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n

--+++>+.

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果

考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．

9．1,12??- ???

10．8 11．2

a 12．4 13．222n n -+

141 15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分

12分） （

1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =

， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=

??2

22

1112113

+-??==??. ……………4分 （2）解：由（1）知，1

cos 3

A =，且0A <<π，

∴sin 3

A

==. ……………6分

∵D 是边AC

的中点，

∴22AC AD ==.

在△ABC 中，222222121

cos 22123

AB AC BC BC A AB AC +-+-=

==????，………8分 解得BC =……………10分

由正弦定理得，sin sin BC AB

A C

=

， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ?=

==……………12分 17．（本小题满分12分）

(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++?=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为

M O H F E D C

B A 0.2100.32200.3300.184024.6X =?+?+?+?=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分

（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ??

???

.

……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分

()30346405125P C ξ??=== ???，()2

131448155125

P C ξ????==?= ? ?

????， ()2

23

1412255125P C ξ????==?= ? ?????，()3

331135125

P C ξ??=== ???. ……………10分 ∴ξ的分布列为：

……………11分

∴64481213

01231251251251255

E ξ=?

+?+?+?=. ……………12分 （或者13

355

E ξ=?=）

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，

∵EF ∥平面ABCD ，EF ?平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=

∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.

在Rt△BFC 中，2

2

2

4FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =

……………3分

在△AME 中，AE =1AM =，EM =

∴222

3AM EM AE +==，

∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ?平面BCF ，BC ?平面BCF ，

∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，

则OH ∥AB ，112

OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且1

2

EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.

∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分

由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ?平面BCF ，

. ……………8分∴FH AB

∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，

∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ?平面ABCD ，

∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =?平面EBD ，BD ?平面EBD ，

∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分

在Rt △AOE

中，tan AO

AEO EO

∠=

=……………13分 ∴直线AE 与平面BDE

. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，

则OH ∥AB ，1

12

OH AB ==.

由（1）知EF ∥AB ，且12

EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ?平面BCF ， ∴FH AB ⊥.

∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .

∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，

建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ?=，n 0BE ?=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.

令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ

=cos ,n

AE

?

=

n AE n AE

=

. ……………11分

∴cos 3θ==

，sin tan cos θθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分

19．（本小题满分14分）

（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ?=+?，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.

∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n n

S S n n

+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ??????

是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴

011n

S n n n

=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分

当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴2212

24n

a n n n

b n n n --=?=?=?. ……………9分

∴1231n n n T b b b b b -=+++

++()0122142434144n n n n --=+?+?+

+-?+?，①

()1231442434144n n n T n n -=+?+?+

+-?+?，② ……………11分

①-②得0

1

2

1

34444

4n n

n T n --=+++

+-?14414

n n

n -=-?-()13413n n -?-=.

……………13分

∴()131419

n

n T n ??=-?+??. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，

∴2212

24n

a n n n

b n n n --=?=?=?. ……………9分

∴1231n n n T b b b b b -=+++

++()0122142434144n n n n --=+?+?+

+-?+?.

由()1

2

3

11n n

x x x x x x x x

+-++++=≠-， ……………11分

两边对x 取导数得，0121

23n x x x nx -++++=()()

12

111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0

1

2

2114243414431419

n n n

n n n --??+?+?+

+-?+?=-?+??. ……………13分 ∴ ()131419

n

n T n ??=

-?+??. ……………14分 20．（本小题满分14分）

（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,

故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为2

4x y =. ……………2分

解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意

, 得1MF y =+,

1y =+, ……………1分

化简得2

4x y =.

∴曲线E 的方程为2

4x y =. ……………2分

(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，22

11224,4x y x y ==.

由2

1,4,

y kx x y =+??

=?消去y 得2

440x kx --=，

解得1,2422

k x k ±=

=±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分

直线AB 的斜率2

111111

12

4224

AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12

124x y x +-=-. ……………4分

令1y =-，得18

22

x x =-+，

∴点S 的坐标为18

2,12x ??-

- ?+??

. ……………5分 同理可得点T 的坐标为28

2,12x ??-

- ?+??

. ……………6分 ∴()()()

121212888222222x x ST x x x x -??

=-

--= ?

++++?? ()()()121212121288248x x x x x x

x x x x k k

---=

==+++. ……………7分

∴2

ST =

()()()2

221212

12

2

2

2

1614k x x x x x x k

k

k

+-+-==

. ……………8分

设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，

则()()()

12012124418822222222x x x x x x x ++??=-+-=-

?++++?? ()()()12124444442

22248k k x x x x k k

++=-

=-=-+++. ……………9分

∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2

222114x y ST k ?

?+++= ??

?()22

41k k +=. ……………10分

展开得()()2

22

22414414k x x y k k k

++++=-=. ……………11分

令0x =，得()2

14y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分

∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为2

4x y =.

设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，

由()112,1,y k x y ?-=-?=-?解得122,1.

x k y ?

=-?

??=-?

∴点S 的坐标为122,1k ??-

- ???. …………3分 由()1212,4,

y k x x y ?-=-?=?消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分

∴1142x k =-，2

2111114414

y x k k =

=-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分

同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ?

?-

- ??

?

，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，

∴()()()()

()()2

22

22

2112

1212121

4414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---=

=

----121k k =+-.

∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，

化简得122

k

k k =

. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ?=， ……………9分

得()()122222110x x y y k k ?

???

-+

-++++= ???????， ……………10分 整理得，()22

4410x x y k

+-++=. ……………11分

令0x =，得()2

14y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分

∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）

（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a

f x b x

'=

+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2?

?- ??

?， ……………1分

∴()()11,211,2f f ?=-????'=??即1,2

1,

2

b a b ?

=-????+=??解得11,2a b ==-. ……………3分

（2）解法1：由（1）得()ln 2

x

f x x =-.

当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k

x x

-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分

令()2

ln 2

x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()11

1x h x x x

-'=-=.

当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.

……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，

故()()1

12

g x g >=

. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则1

2

k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2?

?-∞ ???. ……………9分

解法2：由（1）得()ln 2x

f x x =-.

当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k

x x

-+<恒成立. ……………4分

令()ln 2x k

g x x x

=-+，则()222

112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2

220x x k -+=（﹡）的判别式48k ?=-.

（ⅰ）当0?<，即12

k >时，则1x >时，2

220x x k -+>，得()0g x '<，

故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.

由于()()110,2ln 21022

k

g k g =-

+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k

x x

-+>，与题设矛盾. …………5分

（ⅱ）当0?=，即12k =时，则1x >时，()()2

222

121

022x x x g x x x --+'=-=-

<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分

(ⅲ) 当0?>，即1

2

k <

时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.

故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222

ln 2x k

g x x x =-

+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-

+222

1ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1

ln 022x x x

-+<， 得22

2

1ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()

20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分

综上所述，k 的取值范围是1,2

??-∞ ??

?

. ……………9分

（3）证明：由（2）得，当1x >时，1

ln 022x x x

-+<，可化为21ln 2x x x -<

， …10分 又ln 0x x >，

从而，21211

ln 111

x x x x x >=-

--+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 111111111

11112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ??????????+++>-+-+-+-+- ? ? ? ? ?--+??????????

……………12分

111

121n n =+--

+ ……………13分 2232

22n n n n

--=+. ……………14分