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齐次式在中学阶段的一些运用

齐次式在中学阶段的一些运用

重庆南开中学 吴剑 q :一 三 六 一 五 三 五 七

摘要:“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思,通俗理解即是式子中变量的次数全都相同,是微积分中一个比较常用的概念。例如2

2

=++f ax bxy cy 是关于,x y 的二次齐次式,对于齐次式的常见处理方法即是通过除以某个变量的最高次项,得到关于变量商的式子,比如在2

2

0++=ax bxy cy 中,同时除以2y 可得2

()()0++=x x a b c y

y

,即可

x

y

看成一个变量,进而达到减少变量,为寻求新的解题思路及简化运算创造条件。 本文将通过实例分析,在“识”与“用”上提出一些看法,让学生能够具备一定的齐次式的辨析能力及运用齐次式的意识。并对杨克昌教授命名的权方和不等式给出新证。 Ⅰ、对齐次式的辨识。

例一、椭圆22222221(0,)+=>>=+x y a b a b c a b

,且有22

20--=a ac c ,求椭圆离心率。

解析:

注意到该式为关于,a c 的齐次二次方程,两边同时除以2

a 整理有2

210+-=e e 解得12

=e

例二、(南开中学高三12月考)已知?ABC

中,2,2===a b c ,求c o s o s +++a b c

b C

c B

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的值。 解析:

sin sin sin sin sin sin 2cos cos sin sin sin cos sin ++++++++====++a b c A B C A B C a b c

b C

c B B C C B A a

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评注:如果在等式或分式中,出现边的齐次式或者是正弦值的齐次式,可直接利用正弦定理进行边角互换,这是在解斜三角形中常见操作,也是高考热点内容。

例三、(2012年江苏卷改编题)已知正数a b c ,,满足:534-≤≤-c a b c a 求

b

a

的取值范围。

解析:在534-≤≤-c a b c a 两边同时除以c 可得,53

4-≤≤-a b a c c c ,令,==a b

x y c c

则=b y a x ,则问题可转化为35

40,0+≥??

+≤??>>?

x y x y x y 求y x

取值范围,是学生非常熟悉的线性规划类型

问题,做出可行域可得

y

x

的取值范围是(0,7] 评注:此题学生受阻主要原因是变量过多,并且对题目表象比较陌生,但是注意到不等式两

边是关于,,a b c 的1次齐次式,则可以考虑两边同时除以一个字母,将3个变量减少成2个变量,字母替换后转化为熟悉的问题,打开了思路。此处读者可自己体会两边除以c 的用意。

例四、

若()+≤+x a x y 对任意0,0x y >>恒成立,求a 的最小值。

齐次式在中学阶段的一些运用

解析:

≤a

1

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1次式),同时除以x

=t 有212()(0)1

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+=>+t f t t t 令21+=t u

,则原式为

22441

15252()122==≤=

齐次式在中学阶段的一些运用

--+++-u u u u u u u

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所以min 1

2

=

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a 评注:该题出现背景为均值不等式,学生不易看出均值不等式系数的搭配,而解答中将2

元减为1元,变成熟悉的分式函数求最值的问题,大大的降低了思维量。 例五、(2011年广东卷)设0>b ,数列{}n a 满足1=a b ,1

1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)证明:对于一切正整数n ,1

1 1.

2n n n b a ++≤+ 解析:(1)(2)

,222,2?-≠?

=-??=?

n n n

n nb b b a b b (2)(此处解法为作者原创,在后附上标答思路)

若2=b ,显然成立

若2≠b ,问题即证明(2)2--n

n n nb b b 1

1

+12++≤n n b ,即12()(1)

22()12()12

+-≤+-n n n b b

n b b

令2

=b

x ,不等式即转化为12(1)11+-≤+-n n n

nx x x x 若1>x ,不等式可化为21

1()(21)(21)10++=-+++-≥n n n f x x n x n x (*)

注意到(1)0=f

21()(21)(21)(1)(21)-'=+-++++n n n f x n x n n x n n x

11[(21)(21)(1)(21)]-+=+-++++n n x n x n n x n n

令1

()(21)(21)(1)(21)+=+-++++n g x n x

n n x n n ,且(1)0=g

()(21)(1)(21)(1)0'=++-++>n g x n n x n n

所以()(1)0>=g x g ,故()0'>f x ,所以()(1)0>=f x f ,(*)得证 若01<

评注:该解法中,注意到不等式左边是关于,2b 的n 次其次分式,故考虑上下同时除以12+n ,进行字母替换,将问题转化为学生较易掌握的导数作为工具解决的函数不等式问题,也体现

出数列与函数知识的交汇。原题标答读者可参看2011年广东卷,标答中运用了

122312(2)(22...2)-----=-++++n n n n n n b b b b b 这一公式,虽然在解答上看似简化了一

些,但是绝大多数学生对这一公式没有任何印象,以至于无法找到突破口。 Ⅱ、通过配凑变形成为齐次式

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Ⅲ、权方和不等式新证

权方和不等式对于学竞赛的同学来说已不是新鲜事物,在高考中也时有出现一些能够利用其简单解决的不等式难题。该不等式最初是利用Holder 不等式进行证明,1994年贵州平塘县名族中学谭老师利用均值不等式给出了一个证明,本文将通过齐次式的思路结合数学归纳法给出另一种证明。

权方和不等式内容:设,0(1,2,3,...,),,>=∈i i a b i n m N 则1

1

111++===??

? ?????

? ???

≥∑

∑∑

m n i m n

i i m m

n i i

i i a a b , 当且仅当1

12121

...======∑∑n

i

n i n n

i i a a a a b b b b 时,不等式等号成立。

分析:不难发现,关键在于证明2=n 时命题成立,再利用数学归纳法,很容易得证。

当2=n 时的命题即为11

1

12121212()()+++++≥+m m m m m m

a a a a

b b b b ,∈m N (*)

该式左右两边本来已经是分式结构,但是如果直接将左边的

12

12

,a a b b 看成变量的话,右边无法统一成这两个变量,注意到左右两边是关于12,a a 的1+m 次齐次式,也是关于12,b b 的m 次齐次式,故可以考虑两边同时除以1

2+m a 。

证明:两边同时除以1

2

+m a 并将原不等式整理为

1

12

1112212(1)11[

()]0()++++-≥+m m m m m a a a b a b b b 令12

=x a

a ,记1112

12(1)11

[

]()()++++-=+m m m m m x x b b f x b b , 则

1

12(1)(1)1()()+++-=+'m

m m m x m x m b f x b b , 令

()0>'f x 即

12112(1)0+-+>?>b b b x x x b b ,故()f x 在12(0,)b b 单减,12

(,)+∞b

b 单增 故111121111

1min

2222222

()()()(1)(1)(1)(1)(1)0+++==+-+=++-+=m m m m m

b b b b b b b b f x f b b b b b b b 故(*)成立,取等条件为

12

12

1212+=+=a a b b a a b b

假设当(2)=≥n k k 时,1

1

111++===??

? ?????

? ???

≥∑

∑∑

m k i m k

i i m m

k i i

i i a a b b 成立, 取等条件为1

12121

...======∑∑k

i

k i k k

i i a a a a b b b b

当1=+n k 时,1

1

1

111

111111

11+++=++++=+++==??

???+≥+?? ???

=∑∑∑∑m k

i m m i k k m m

m

k k k i i m m k k i i m m i i i i

a a a

b b b a a b b ,由(*)可得 1

1

+11

111+1111+++==++==????

? ?????+≥????

? ?????

∑∑∑∑m m k k i i m i i k m m

m k k k i i i i a a a b b b ,所以该不等式对于1=+n k 也成立,且取等条件为 11

1

1121

121

...+++=+======∑∑k k k i

k i k

k i i a b a a a a b b b b

综上,该命题成立。

注:该证明关键在(*)式的证明,数学归纳法只是完成一个格式而已。

后记:通过以上几例的解析,可以看出运用齐次式的关键在于两点:认清齐次式结构,其中包括齐次分式、齐次方程、齐次不等式;同时除以最高次项进行变量代换。这样一来就可以减少问题中变量个数,并且往往可以将看似复杂陌生的问题转化为学生熟知的问题。教学中可时常引导学生观察式子结构特点,让学生具有运用齐次式的意识。 参考资料:1、教学后记

2、高考真题

3、《数学通报》1994年第8期 谭登林 权方和不等式及其应用。

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