物理竞赛课件23：交流电路

交流有效值的定义：与一个交流在相同时间内通过电阻所产生的热量相等的直流的数值。?

考虑一个周期时间内,由定义:32m I I =222222m m I T T R I R I RT ???+?= ???i/A

m

I m I -t/s

T 2

T

32T 2T 示例

221cos2sin 2

-==m m t P I R t P ωω交流通过电阻R 的瞬时功率：

P-t 图线如示：t

P O πω2π

ω2m

P m

P 与

面积相同!212=?m Q I R πωP-t 图与t 轴所围”面积”表示半个周期产生的热

根据交流有效值的定义：22

=T I R Q 2m I I =得

t/s u/V m U m U -T 221lim 44n i

n i u U T T R R n →∞=?=?∑考虑四分之一周期,由定义:

4T t n

?=44m U T u i T n =?2223lim 44m n U T U T i R R n →∞?=∑3m

U U =222120lim 4t u u U T t t R R R ?→???=??+??+ ??? ()

()()2223331lim lim 121211lim 6n n n i n n n n n n →∞→∞→∞=++++=?∑

电压超前电流电流超前电压消耗电能存储磁场能存储电场能

能量矢量图

同相

电压电流变

化相位关系欧姆定

律形式

阻抗

纯电容电路

纯电感电路纯电阻电路I U U I U I

R U I X =L U U I X L ω==C U I U C X ω==L R s ρ=L X fL L πω2==C X fC C πω112==规律串联电路

规律

设通过电感器的电流

()

sin m i I t ω

=电感器的两端电压0lim t i u L t ?→?=??()0sin sin lim m t t t t LI t ωω?→+?-=?()022cos sin 22lim m t t t t LI t ωω?→+???=?ωω2cos m L I t ωω=sin 2m U t πω??+ ?

=?? L

设电容器两端电压

()

sin m u U t ω= C

电容器的充放电流0lim t C U i t ?→??=?()0sin sin lim m t t t t CU t ωω?→+?-=?()022cos sin 22lim m t t t t CU t

ωω?→+???=?ωω2cos m C U t

ωω=sin 2m I t πω??+ ?

=??返回

?C

L R 设通过电路的电流为()sin m i I t ω=()

sin R m u I R t ω=sin 2L m u I L t πωω??=+ ???sin 2m C I u t C πωω??=- ???串联电路的总电压为()si sin 22n sin m m m I L t R I t C u I t πωωπωωω??++ ????- ???=?+()c os 1sin m m I R C t L I t ωωωω??- ???=+221Z R C L ωω?? -?=+??令()sin m I Z t ω?=+()sin m U t ω?=+1tan L C X X R

?-=-I U R U C U L U X U m ?示例

如图所示的电路已经达到稳定状态，两个无内阻电源电动势值分别为；；两个电阻R 1=R 2=R ，电感L =，电容，试求通过电阻R 1的电流i 1(t )．专题23-例1解题方向:运用电流叠加原理,注

意交流电路中的相位关系.

20100cos n 22si 2t t εεεεωω-==02cos t εεω=02ε:L 1R 2R 2εA B 1εC 0

2i R ε=直R A 02ε0cos 22t εω-:12R 0cos 22t εω C 22L R R X ωω=1122C X R R ωω==R R 03sin 222AB u t επω??=+ ???C R I I =()

R C U R I C I L I L U 45 45

AB U R AB U U =()0sin 22R u t εωπ=+()0sin 22R i t R εωπ=+()0sin 22R i t R εω=-0cos t εω:B 0cos t εω L 0i =电流叠加得:)011sin 22R i t εω=-210sin t εεω=20cos t εεω=2R ω12C R ω=

R A 1A 2C 1200C

X C ω==Ω容抗电容器两端电压

11200V U I C ω==通过电阻的电流

1A R U I R ==I 1U

I R

2

I 通过A 2的电流22A I =如图所示，阻值R ＝200Ω的电阻和电容C ＝5×10-6F 的电容器并联，通过

此并联电路的交流的圆频率ω＝103rad/s ，交流安培表A 1的读数I 1＝1A ，其内阻很小．试求交流安培表A 2的读数．

R 1R 3R 2

R 4

M L 1L 2εε是恒定电源时，电感电阻为零，系统为一惠斯登电

桥，没有电流流过电流计M 的条件是3124

R R R R =31243009060450R R R R ==?Ω=Ω易得ε是作正弦变化的电源时，没有电流流过电流计M 的条件是11221324

I z I z I R I R ==1234z z R R =222

222

112234R L R L R R ωω++=4500H U =如图所示的电路系统．已知R 1、R ２、R ３、R 4、L 1和L 2的值是这

样选择的：不管ε是固定的，还是随时间作正弦变化的，都没有电流流过电流计M ．假若R 2＝90Ω，R 3＝300Ω，R 4＝60Ω，L 2＝900H ，求R 1和L 1．

专题23-例2～y 先来求金属圆环内的感应电动势．设电磁铁线

圈中电流变化按由法拉弟电磁感应定律，金属圆环中有互感感应电动势产

生：0cos m i I t

ω=()m t t t t t i M MI t t ωωε000cos cos lim lim ?→?→+?-???=-=- ?????00sin sin 22lim 2m t t t t MI t ωωωω?→????+ ???=?环0sin m MI t

εωω=002sin sin 22lim m t t t t MI t ωω?→????+ ???=?圆环上的感应电动势的变化比施感电流及其磁场的变化落后π／２的相位．再来考虑圆环中的感应电流．这里必须考虑到金属环除了电阻R ，还有感抗，L 为圆环电感．故圆环上感应电流通过一RL 串联电路，总阻抗为，且感应电流相位落后于电动势（），故通过圆环的感应电流()22Z R L ω=+1tan L R ω?-=02π?＜＜()()

环0

22sin m MI i t R L ωω?ω=-+如图所示,有一金属圆环，它的轴竖直向上，今将它放臵在电磁铁上方距离为y 处，电磁铁线圈中电流，假定M 为在此位臵的圆环和电磁铁之间的互感系数，圆环的电阻为R ．试求：⑴金属圆环内的感应电流；⑵说明当圆环由此

下落时作用于圆环的电磁力的方向．

续解

当圆环由电磁铁上方y 处下落时，作用于圆环的电磁力F 是斥力（向上）还是引力（向下），要视i 与i 环的方向关系定夺——若两者处于方向一致状态，圆环将被电磁铁吸引向下，反之将因受斥而向上．作两电流的图象如图:

由图可知由于两电流有一相位差，使在电流变化的每个周期内，两电流及其磁场的方向在时间内同向而时间内反向，即反向的时间占多，故金属圆环受到的平均电磁力为斥力，方向向上．

1tan 2L R πω?-??=+ ???12t π?ωω?=-22t π?ωω?=+m i I t ω0cos =()环环

sin i I t ω?=-t πω2πω

πω2i L R ω1=若πω2π

ω4读题

设无接触电阻时线圈

中电流为I 0

电流I 0在线圈中引起

的磁场为B 000B I α=则有接触电阻时,线圈中电流变化产生自感电动势:

I L t

ε?=?R 由全电路欧姆定律:0I I R L t ?=?()01B I B kt α==- 00B B R L k

αα=R Lk =0.0213600=?Ω6

5.610-≈?Ω如图所示为一短路的超导螺线管，由于接触不完善，

超导螺线管里电流发生变化，这个电流产生的磁场磁感应强度每小时减小2％．试求接触电阻R ，已知螺线管的自感系数L =1H ．

I RC L R R A B

C

020

0cos 2n 2si 2t t εεωωεε-==电源电动势02ε:02i R ε=直R A B

02ε0cos 22t εω-:()2225RL R R X L ω+=22512RC R X R C ω??=+= ???03sin 222AB u t επω??=+ ??? 025LR I ε=05RC I ε=I AB U L U C U R

U AB 11tan 2φ-=1φU R U AB 2φ121tan 2φ-=11

0021sin 2tan 2sin 2tan 222255LR RC i i i t t R R εεππωω--????=+=--+-+ ? ?????110111sin 2tan cos 2tan 2225t t R εωω--??????=-?+++ ? ?????????0cos 22.t R εω-=()0200cos sin 2.22i t t t R R R εωεωε=-=干路电流为如图所示的交流电路，电源电动势，

且，试求电路中干路电流i （t ）

20sin t εεω=1L R C ωω==

εC

q R ?

设充电时间t ，电量为q ，在充电的某元过程中，由基尔霍夫定律：11i i i q q q R t C ε++-=+?()t t n n ?=→∞11i i i q q t nRC C q ε++-=-11i i i q q C C t nRC C q εεε++-+-=-11i i C q t nRC C q εε+-+=-1t RC q C e ε-??=- ???i i q I R C ε=+1t RC i I e ε-??=+- ???t RC e I R ε-=1t RC C U e ε-??=- ???I t

O R εU εS ++

εL

R S S 1接通S ，由于自感,回路电流有一滋长过程,设某元段时间内电流由I i -I i +1,由基尔霍夫定律：11i i i I I L I R t ε++--=?11i i i I I Rt Ln I R

ε++-=-()t t n n ?=→∞11i i I Rt R Ln I R εε+-+=-对该式两边n 次方取极限后可得：1R t L I e R ε-?

?=- ???由于自感,回路电流有一衰减过程,

电流衰减规律为：R t L

I e R ε

-=

R

S S

a b

S 从a→b

Ｓ断开i t 0i t

u 1

u 2D 1

D 1设u 1=2

E sin ωt,如图

正半周，在u 1≥E 时,D 1导通,+

2u E

=在u 1＜E 时,D 1、D 2均截止,212sin u u E t ω==负半周，在u 1≥E E 时,D 2导通,2u E

=在u 1＜E 时,D 1、D 2均截止,

212sin u u E t ω==+

u 1u 2

S S 1S 2R l ε

电路处于稳定态时，电容器上电量为

C =10C

ε00.1100Q C μμ==?飞行的子弹将开关S 打开后，在子弹从S 飞

至S 1的时间内，RC 电路处于放电过程，连

锁开关S 1打开、同时S 2闭合，电容器极板上

原通过电阻R 放电剩余的电荷现通过冲击电

流计G 而中和，故有00t l RC RCv

Q Q e Q e --==0ln l

v Q RC Q =代入题给数据即得:m/s 3

4.6910v ?≈C G ２如图所示为一测子弹速度的机构的示意图，已知电源ε=100V ，电阻R =6kΩ，电容C =0.1μF ，距离l =3m ．设电路已达稳态．测子弹速度时，子弹先将开关S 打开，经l 长距离飞至S 1—S 2连锁开关，使S 1打开的同时S 2闭合，若此时冲击电流计G 测出电荷Q =3.45μC ，求子弹的速度．

专题23-例3