2021年夷陵中学高二年级周五(1.8)阶段性检测 数 学 试 题
一、单项选择题:本题共8题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 1.已知集合{}4|log 1,A x x =<{
}2
|e 1x B x -=≤,则A B =( )
A .(,2)-∞
B .(,2]-∞
C .(0,2)
D .(0,2]
2.已知42i
1i
z +=-(i 为虚数单位)的共轭复数为z ,则z z ?=( ) A .10
B .9
C
D .3
3.设3log 2
1=a ,3)2
1
(=b ,21
3=c ,则( )
A.c b a <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.c a b <<
4.已知命题p ,x ?∈R ,1
2x
x e e
+
≥,则p ?为( ) A .x ?∈R ,1
2x x e e +
≥ B .x ?∈R ,1
2x x e e
+
< C .x ?∈R ,1
2x x e e
+≤
D .x ?∈R ,1
2x x
e e
+≤ 5.等差数列{}n a 中,已知70a >,390a a +<,则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为( )
A. 4S
B. 5S
C. 6S
D. 7S
6.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:()0.23(50)
1e
t K I t --=
+,其中K 为最大
确诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为( )(参考数据 ln19≈3) A .60
B .62
C .66
D .63
7.已知函数()()sin (0)f x x ω?ω=+>的图象的一个对称中心为,02π?? ???,且1
42
f π??= ???,则ω的最小值为( )
A .23
B .1
C .43
D .2
8.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ,且M
为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )
A. ()13,
B. ()14,
C. ()23,
D. ()24,
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()2(3)f x f x f +-=,且()f x 在(0,3)上单调递减,则下列结论正确的是( ) A .(3)0f = B .()f x 在(6,3)--上单调递增 C .(2020)(2021)f f < D .()f x 可以是sin 3
x π??-
???
10.已知等比数列{}n a 的公比为q ,前4项的和为114a +,且2a ,31a +,4a 成等差数列,则q 的值可能为( )
A.
12
B. 1
C. 2
D. 3
11.已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2,过点F 的直线与抛物线交于P ,Q
两点,M 为线段PQ 的中点,O 为坐标原点,则( ) A .C 的准线方程为y =1 B .线段PQ 长度的最小值为4 C .M 的坐标可能为(3,2)
D .OP →·OQ →
=-3
12.已知椭圆22
:163
x y C +=的左、
右两个焦点分别为12,F F ,直线(0)y kx k =≠与C 交于A ,B 两点,AE x ⊥轴,垂足为E ,直线BE 与C 的另一个交点为P ,则下列结论正确的是( )
A .四边形12AF BF 为平行四边形
B .1290F PF ?∠<
C .直线BE 的斜率为1
2k
D .90PAB ?∠>
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.函数()2ln 1x f x a x ??
=+
?+??
为奇函数,则实数___________a =。 14. 已知x ∈R ,条件p :x x <2,条件q :x
1
≥a (a >0),若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .
15.有一个底面半径为R ,轴截面为正三角形的圆锥纸盒,在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体,并且四面体在纸盒内可以任意转动,则a 的最大值为______.
16.已知等差数列
的公差d 不为0,等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数,若a 1=b 1
=d ,且124
123
a a a
b b b ++++是正整数,则q =______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知命题p :x R ?∈,20tx x t ++≤. (1)若p 为真命题,求实数t 的取值范围;
(2)命题q :[2,16]x ?∈,2log 10t x +≥,当命题p 与命题q 一真一假时,求实数t 的取值范围.
18.设数列{}n a 的前n 项和为2
2n S n =,{}n b 为等比数列,且11a b =,2211()b a a b -=.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设n
n n
a c
b =,求数列{}n
c 的前n 项和n T .
19. 如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAC ⊥平面ABC ,ABC ?和VAC ?均是等腰直角三角形,AB BC =,2AC CV ==,M ,N 分别为VA ,VB 的中点. (Ⅰ)求证:AB VC ⊥;
(Ⅱ)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.
20.去年年初新冠肺炎肆虐全球,抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离,现某地发现疫情,卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区,经测量,边界AB 与AD 的长都是200米,60BAD ∠=?,120BCD ∠=?. (1)若105ADC ∠=?,求BC 的长;(结果精确到米)
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材?(不计损耗,结果精确到米)
21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,*
11288n n S a n n N a +=+-∈=,,,设2n n b a =-.
(1)证明:{}n b 是等比数列; (2)设()
()()
1
12121n
n
n n n a c +=-++,求{}n c 的前n 项和n T ,若对于任意*
n n N T λ∈,≥恒成立,求λ的取值范围. 22.如图,
已知椭圆O :
x 24
+y 2=1的右焦点为F,点B,C 分别是椭圆O 的上、下顶点,点P 是直线l :y =-2上的一个动点(与y 轴交点除外),直线PC 交椭圆于另一点M.
(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,求△FBM 的面积; (2)①记直线BM,BP 的斜率分别为k 1,k 1,求证:k 1·k 2为定值; ②求PB →·PM
→的取值范围.
2020年夷陵中学高二年级周五阶段性检测
数学参考答案
一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案
D
A
A
A
C
D
A
D
AC
AC
BCD ABC
二、填空题: 13. 1- 14. (]1,0 15.
223R 16.
2
1
三、解答题:
17.解:(1)
x R ?∈,20tx x t ++≤ 0t ∴<且2140t ?=-≤,解得:1
2
t ≤-
p ∴为真命题时,12
t ≤-
(2)[]2,16x ?∈,2log 10t x +≥[]2,16x ??∈,21
log t x
≥-
有解 []2,16x ∈时,2111,log 4x ?
?-
∈--????
∴当1t ≥-时,命题q 为真命题 p q ∨为真命题且p q ∧为假命题 p ∴真q 假或p 假q 真
当p 真q 假时,有112t t <-???≤-??,解得:1t <-;当p 假q 真时,有112t t ≥-???>-??
,解得:1
2t >-;
p q ∴∨为真命题且p q ∧为假命题时,1t <-或12
t >-
18.解:(1)当2n ≥时,22122142()n n n a S S n n n ==-=----,当1n =时,112a S ==满足
上式,故{}n a 的通项式为42n a n =-.设{}n b 的公比为q , 由已知条件2211()b a a b -=知,12b =,122112b b a a =
=-,所以211
4
a q a ==,
111124n n n b b q --∴==?
,即1
2
4
n n b -=.
(2)
()1
1
4221424n n n n
n a n c n b ---=
==-, 12112134542()]1[4n n n T c c c n ∴????-=+++=++++- 221[()()41434542]34214n n n T n n ????-=++++-+-
两式相减得:
1231()55
3124444214(43
)2)3n n n n T n n ?-?+
-=--+++++-=(255
)4399
n n T n ∴-?+=(
19.【解析】(Ⅰ)在等腰直角三角形VAC ?中,AC CV =,所以VC AC ⊥.
因为平面VAC ⊥平面ABC ,平面VAC
平面ABC AC =,
VC ?平面VAC ,
所以VC ⊥平面ABC . 又因为?AB 平面ABC ,所以AB VC ⊥; (Ⅱ)在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ,由(Ⅱ)知,VC ⊥平面ABC , 因为CH ?平面ABC ,所以VC CH ⊥. 如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.
则()0,0,0C ,()0,0,2V ,()1,1,0B ,()1,0,1M ,11,,122N ??
???
.
()1,1,2VB =-,()1,0,1CM =,11,,122CN ??
= ???
.
设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =,
则00n CM n CN ??=??=?,即011
02
2x z x y z +=??
?++=??.令1x =则1y =,1z =-,所以1,1,1n .
直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ,22
sin cos ,3
n VB n VB n VB
θ
?==
=
?所以直线VB 与平面CMN . 20【解析】(1)联结BD ,则在BCD △中200,45BD
BDC =∠=?, 由
sin sin BD BC
BCD BDC
=
∠∠,得:200sin 45163sin120BC ?==≈?,∴BC 的长约为163米. (2)方法一:设(0)3CBD πθθ∠=<<
,则3
BDC π
θ∠=
-,
在BCD △中,由sin
sin sin BD BC CD
BCD BDC CBD ==
∠∠∠
,得:sin(),
3BC CD πθθ=-=, ∴)sin ])33BC CD
ππθθθ+=
-++
,∴当6πθ=时,BC CD +
400+千米,约为631米
方法二:设BC x =千米,CD y =千米(,x y +∈R ),
在BCD △中,由222
cos 2BC CD BD BCD BC CD
+-∠=?,得2240000
0x y xy ++-=,
∴2()40000x y xy +-=,又由x y +≥21
()4
xy x y +≤,当且仅当x y =时等号成立,
∴221
()40000()4x y x y
+-+≤, ∴x y +,
400+千米,约为631米.
21.解:
(Ⅰ)当1n =时,214a =, 当*2n n N ≥∈,时,1128210n n n n S a n S a n +-=+-=+-,,所以122n n a a +=-,
即()1222n n a a +-=-,即()1
22n n
b n b +=≥, 又∵
22112
22
b a b a -==-,∴{}n b 是首项16b =,公比为2的等比数列. (2)由(1)知1262n n a --=?,即322n n a =?+,
所以()
()(
)
()
(
)()
()11
13221111121212
12
1
2121n n
n
n n
n n n n
n n n a c +++?+?
?=-=-=-+??++++++??
()22334
11
111111112121212121212121n n n n T +???????
?=-+++-+++-+ ? ? ? ?
++++++++??????
??
∴()1
111321
n
n n T +=-+-+ 当n 为偶数时,∴()1111321
n
n n T +=-+-+是递减的,此时当2n =时,∴n T 取最大值29-,
则2
9
λ≥-.
当n 为奇数时,∴()1111321n
n n T +=-+-+是递增的,此时13
n T <-,则13λ≥-.
综上,λ的取值范围是2
9
λ≥-.
22解析:(1)由题意得B(0,1),C(0,-1),焦点F(3,0),当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,则直线PM 的方程为x
3+y -1=1,即y =3
3x -1,
联立?????x2
4+y2=1,
y =33x -1,解得?????x =83
7,y =17,或?
??x =0,y =-1,(舍去),即M ? ????837,17.
连接BF ,则直线BF :x
3+y
1=1,即x +3y -3=0,
而BF =a =2,点M 到BF 距离d =
????
??837+3×17-312+(3)2
=23
72=37. 故S △MBF =12·BF·d=12×2×3
7
=37.
(2)①设P(m ,-2),且m≠0,则直线PM 的斜率为k =-1-(-2)0-m =-1
m ,则直线PM 的方程为y =-1
m x -1,
联立?????y =-1
m x -1,x24+y2=1,
化简得? ????1+4m2x2+8m x =0,解得M ? ?
???-8m m2+4,4-m2m2+4,
所以k1=4-m2
m2+4-1-8m m2+4=-2m2-8m =14m ,k2=1-(-2)0-m =-3m ,所以k1·k2=-3m ·14m =-3
4为定值.
②由①知,PB →=(-m ,3),PM →=? ????-8m m2+4-m ,4-m2m2+4+2=? ????-m3+12m m2+4,m2+12m2+4,
所以PB →·PM →=(-m ,3)·? ????-m3+12m m2+4,m2+12m2+4=
m4+15m2+36m2+4,令m2+4=t(t >4), 故PB →·PM →=(t -4)2+15(t -4)+36t =t2+7t -8t =t -8t +7,因为函数y =t -8
t +7在t∈(4, +∞)上单调递增,
所以PB →·PM →=t -8t +7>4-8
4+7=9,即PB →·PM →
的取值范围为(9,+∞).