A 180-mV Subthreshold FFT Processor Using a

A 180-mV Subthreshold FFT Processor Using a

Minimum Energy Design Methodology

Alice Wang ,Member,IEEE,and Anantha Chandrakasan ,Fellow,IEEE

Abstract—In emerging embedded applications such as wireless sensor networks,the key metric is minimizing energy dissipation rather than processor speed.Minimum energy analysis of CMOS circuits estimates the optimal operating point of clock frequencies,supply voltage,and threshold voltage [1].The minimum energy analysis shows that the optimal power supply typically occurs in subthreshold (e.g.,supply voltages are below device thresholds).New subthreshold logic and memory design methodologies are developed and demonstrated on a fast Fourier transform (FFT)processor.The FFT processor uses an energy-aware architecture that allows for variable FFT length (128–1024point),variable bit-precision (8b and 16b)and is designed to investigate the estimated minimum energy point.The FFT processor is fabricated using a standard

0.18-m CMOS logic process and operates down to 180mV .The minimum energy point for the 16-b 1024-point FFT processor occurs at 350-mV supply voltage where it dissipates 155nJ/FFT at a clock frequency of 10kHz.

Index Terms—CMOS digital integrated circuits,CMOS memory circuits,coprocessors,design methodology,digital signal proces-sors,leakage currents,logic design,subthreshold CMOS circuits.

I.I NTRODUCTION

T

HERE is signi?cant research activity to minimize energy dissipation at the system level to lengthen battery life-times for embedded applications.Minimum energy analysis of CMOS circuits predicts the optimal operating point including clock frequencies,supply voltage,and threshold voltage.Our analysis shows that optimal supply voltage to minimize en-ergy typically occurs in the subthreshold region.In order to investigate the optimal supply voltage,a new minimum energy design methodology is created to design circuits to operate at supply voltages far below the minimum energy point.The minimum energy design methodology was demonstrated on a fast Fourier transform (FFT)processor used for wireless sensor networks.

A distributed wireless sensor network is a collection of a large number (tens to thousands)of distributed microsensor https://www.sodocs.net/doc/d09465028.html,worked microsensors enable a variety of new appli-cations such as warehouse inventory tracking,location sensing,machine-mounted sensing,patient monitoring,and building climate control [2]–[5].The microsensor nodes must operate

Manuscript received April 5,2004;revised July 26,2004.This work was sup-ported by the Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA)Power Aware Computing/Communication Program and Air Force Research Labora-tory,under agreement numbers F30602-00-2-0551and F33615-02-2-4005.The work of A.Wang was supported by an Intel Ph.D.Fellowship.

A.Wang is with Texas Instruments Inc.,Dallas,Texas 75243USA (e-mail:aliwang@https://www.sodocs.net/doc/d09465028.html,).

A.Chandrakasan is with the Massachusetts Institute of Technology,Cam-bridge,Massachusetts 02139USA (e-mail:anantha@https://www.sodocs.net/doc/d09465028.html,).Digital Object Identi?er 10.1109/JSSC.2004.837945

from scavenged energy from the environment such as from solar sources,mechanical vibration and RF [6],[7].A self-powered system using a variable MEMS capacitor was able to deliver

10W’s of power to a DSP [8].Energy scavenging constrains the total system power be less than tens of microwatts,which is a challenging design goal for microsensors.

In order to function within the extremely low power require-ments,a minimum energy design methodology that includes en-ergy-aware architectures and subthreshold circuits,is proposed.The design methodology is demonstrated on a subthreshold FFT processor.The FFT design uses a modi?ed standard logic cell library,custom multiplier and memory generators,and is fabri-cated using a

0.18-m standard CMOS process.No additional process steps or body-biasing techniques are used.The FFT pro-cessor operates down to 180mV where it runs at 164Hz and the power dissipation is 90nW.The minimum energy point for the 16-b 1024-point FFT processor occurs at 350mV supply voltage where it dissipates 155nJ/FFT at a clock frequency of 10kHz.

II.E NERGY -A W ARE A RCHITECTURES

The FFT is a commonly used signal processing function that extracts the frequency and phase information from the sensor signals.The FFT has been used in target tracking,localization,and radar by analyzing the phase differences between multiple sensors [9].It has also been used in compression algorithms and also within communication systems [10].Dedicated low-power FFT processors are desired to sustain low-power requirements of various embedded applications [11].

The real-valued FFT algorithm uses the symmetries of computing the CVFFT of real-valued inputs to reduce compu-tation approximately by half.For example,a 1024-pt RVFFT is ef?ciently performed by computing a 512-pt CVFFT and then transforming the outputs back for 1024-pt.A proposed architecture for a RVFFT processor is a traditional CVFFT architecture that includes the backend processing needed for the RVFFT.Fig.1shows the conventional radix-2butter?y architecture;for every clock cycle one radix-2butter?y is per-formed.The FFT architecture is designed with various power hooks that allow the architecture to gracefully scale FFT length and bit precision.The energy awareness of the FFT is increased by adding additional hardware to cover functionality over many operating scenarios [12].This architecture demonstrates tech-niques that enable FFT lengths from 128to 1024points as well as both 8-b and 16-b computation.An area and energy-ef?cient design methodology is proposed to enable scalability across bit precision and FFT lengths [13].

0018-9200/$20.00?2005IEEE

Fig.1.Radix-2butter ?y FFT

architecture.

Fig.2.8-b and 16-b scalable Baugh –Wooley multiplier.

A.Variable Bit Precision

One of the hooks designed into the energy-aware FFT processor is variable bit precision,which is showcased by the Baugh –Wooley (BW)multiplier for two ’s complement multiplication [13].A nonscalable BW design optimizes for the worst case scenario by building a single multiplier for the largest bitwidth.This design is nonoptimal;when lower precision multiplications are performed,the two ’s complement sign extension bits causes a switching energy overhead.The proposed scalable BW multiplier design recognizes that the MSB quadrant contains a lower bit-precision multiplier.The MSB quadrant of the multiplier includes those gates associated with the MSB inputs.Any other quadrant of the multiplier does not have the correct BW con ?guration and would require additional logic.To minimize switching in the LSB adders,the LSB inputs are gated.Fig.2demonstrates this technique for a BW multiplier that is scalable for 8-b and 16-b precisions.Sim-ilar bit-precision scalability was applied to the entire butter ?y datapath,data memories,and Twiddle ROMs.

B.Variable FFT Length

Variable FFT length is another hook designed into the archi-tecture of the FFT processor [13].As FFT length is varied,the processor can adjust the memory size,leading to energy savings.Careful design consideration is needed in the memory access logic to enable variable FFT lengths.A dedicated memory is designed for the FFT processor to ensure that read and write hazards do not occur when accessing two values from the memory.The memory consists of four memory blocks with a parity-bit/MSB crossbar for memory accesses.Also the control logic adjusts the number of butter ?ies performed with FFT length for improved energy scalability.

III.M INIMUM E NERGY P OINT A NALYSIS

The FFT processor is designed to operate at the optimal op-erating point that minimizes energy dissipation.Analysis of the energy and performance of the FFT shows that the minimum en-ergy point occurs at supply voltage levels below the threshold

Fig.3.Minimum energy point and constant energy and performance contours of the 16-b and 1024-pt FFT.

voltage.Scaling the supply

voltage below the threshold

voltage limits the performance of CMOS circuits,but leads to orders of magnitude energy savings over

nominal operation.

The total energy of the FFT is broken down into switching energy and leakage energy.Switching energy is modeled

as

(1)

where is the activity

factor,is the number of clock

cycles,is the switched capacitance of the circuit,

and is the supply voltage.

A simpli ?ed model of the leakage energy based on the BSIM transistor model is given

by

(2)

Here,is a technology-dependent scaling

parameter,is the gate-to-source

voltage,is the drain-to-source

voltage,is the threshold

voltage,is the thermal

voltage,is related to the subthreshold slope,

and is the latency of computation [14].Fig.3shows simulated energy contours of the 16-b 1024-pt FFT for the region

of

mV V

and

–mV for a

0.18-m process [15].The energy

shown is the average energy per FFT and is derived from the active and leakage energy models.The increasing contours of constant energy are normalized to the minimum energy point.The interaction between supply voltage,threshold voltage,and latency causes a minimum energy dissipation point

at

with a clock frequency of

13kHz.

For a given threshold,as the power supply is dropped (starting from a large value),the switching and overall energy reduces.However,as the supply is reduced into the subthreshold region,the propagation delay increases signi ?cantly resulting in a corresponding increase in leakage energy as predicted by (2).This results in an operating point for supply voltage and clock frequency which minimizes total energy dissipation.Operating below the optimal supply and frequency results in energy being dominated by subthreshold leakage.Similarly,for a ?xed supply voltage,as the threshold is increased (starting from a small value),the leakage energy reduces as the leakage current reduces in an exponential fashion with only a modest increase in delay.However,as the threshold approaches the supply voltage,the increase in delay is signi ?cant and causes the leakage energy to increase at some threshold voltage.This results in a minimum energy point.

Also shown in Fig.3are contours of constant performance of the FFT processor (1kHz –10MHz).The ?gure shows that performance scales with the difference between the gate voltage and the threshold voltage.

The metrics of energy and performance are the key metrics for managing system-level power dissipation for two cases.Case 1:Processing speed is not critical.For this case,the optimal operating point occurs at the optimal frequency point.The FFT processor should operate at the optimal voltage and frequency,and then shut down the power supply after performing the computation to prevent any additional leakage energy dissipation.

Case 2:Processing speed is critical.For this case,an op-timal operating curve is extracted from the contours and con-tains those points where one performance contour is tangent to one energy contour.These points are given by the dotted line in Fig.3.For a given performance constraint the supply voltage and threshold voltage are set along the optimal curve to achieve minimum energy dissipation.If the frequency required is less than the optimal,then the processor should operate at the op-timal frequency and then shutdown after completion.The sim-ulation data assumes that techniques such as supply voltage and threshold voltage scaling and power gating,do not incur any overhead.However,in a complete system analysis,all energy overhead should be included.

Our FFT processor is designed and fabricated in a standard

0.18-m CMOS logic process with a ?xed nominal threshold voltage of 450mV [16].According to the contours at 450-mV

Fig.4.Estimated minimum energy point for the FFT using a typical transistor in a0.18- m technology occurs at400mV which is lower than the threshold voltage(450mV).

threshold voltage,the minimum energy point of the FFT pro-cessor occurs at400mV(Fig.4).The?gure con?rms that for a given threshold,as the supply voltage decreases,the switching and overall energy reduces.But,in the subthreshold region, the propagation delay increases exponentially resulting in a increase in leakage energy.We propose a new subthreshold design methodology that is demonstrated in a subthreshold FFT processor designed for subthreshold operation.Previous minimum energy system-level optimization have focused on architectural tradeoffs for minimum energy dissipation given ?xed clock frequencies[1].Our FFT processor shows the min-imum energy point as both supply voltage and clock frequency are scaled.

IV.S UBTHRESHOLD L OGIC

In our subthreshold FFT design,we perform minimum supply voltage analysis in addition to minimum energy point analysis. Subthreshold design has been used extensive in low-power analog designs[17].The theoretical minimum supply voltage for a CMOS inverter based on transistor models has been es-tablished[18].Previous research has focused on logic families for low-voltage operation[19].An ultra low-voltage design demonstrates the functionality of logic circuits at200mV using low-threshold devices[20].Using p-well and n-well biasing techniques,a multiply-accumulate implementation is able to operate as low as175mV[21].

Minimum supply voltage differs from minimum energy op-eration.Minimum supply voltage analysis is needed to estimate the lowest supply voltage where the FFT is able to function and to ensure that the FFT processor can function at supply volt-ages near and below the estimated optimum.Only in high ac-tivity factor circuits do the minimum supply voltage and min-imum energy point coincide.The predominant effects on the minimum voltage of logic circuits are transistor sizing,process variations,and circuit styles.In our minimum voltage analysis of logic circuits,we analyze a standard cell library starting with the

inverter.Fig.5.Minimum voltage operation of the inverter is affected by process variations.Given the worst case corners,Fast NMOS/Slow PMOS(FS)and Slow NMOS/Fast PMOS(SF),the minimum voltage occurs at195mV.

A.Subthreshold Inverter

Analysis of the CMOS inverter with a minimum-sized NMOS device exposes the effect of process variations on minimum voltage operation.Traditionally,the PMOS is sized so that the drive strength is large enough to pull the output node up to a desired output-high voltage level.Fig.5shows two cases where the decreased supply voltage,transistor sizing and process vari-ations affect the inverter operation assuming an output swing of 10%–

90%.

Case1:When‘0’is applied to the input,then the PMOS is sized to pull-up the output node to‘1’.However,as the voltage supply of the inverter decreases,the idle current becomes signif-icant.This results in a

decreasing,and causes the output node to drop.

The ratio is used to indicate if a logic gate will function

properly.is de?ned to be the drive current of the devices and decreases exponentially as supply voltage is lowered in subthreshold

operation.is de?ned as the idle current.

The ratio is further reduced when considering process variations.The worst case corner for the inverter is the fast NMOS/slow PMOS(FS)because the fast NMOS is leakier than the slow PMOS.Fig.5

shows at the FS corner,

where is the minimum allowable PMOS width that still drives the output

to.

Case2:When‘1’is applied to the input,the minimum sized NMOS pulls the output node to‘0’.A

large leads to a large PMOS idle current compared to the drive current of the NMOS.Therefore,there is a maximum bound

on,to allow the output to be driven low.The slow NMOS/fast PMOS(SF) corner

sets in Fig.5.The intersection of the curves at these two process corners indicates that the inverter is only guaranteed to operate down to195mV by sizing the PMOS to be

5.4m,which is12times the minimum width.For the FFT implementation,where the PMOS are typically sized

3larger,the minimum supply voltage is220mV.However, for a typical transistor process corner,the inverter can operate below100mV.

实验二 FFT算法的MATLAB实现

班级：学号：姓名 实验二FFT算法的MATLAB实现 （一）实验目的： （1）掌握用matlab进行FFT在数字信号处理中的高效率应用。 （2）学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析。 （二）实验内容及运行结果： 题1：若x(n)=cos(nπ/6)是一个N=12的有限序列，利用MATLAB计算它的DFT 并进行IDFT变换同时将原图与IDFT变换后的图形进行对比。当求解IFFT变换中，采样点数少于12时，会产生什么问题。 程序代码： N=12; n=0:11; Xn=cos(n*pi/6); k=0:11; nk=n'*k; WN=exp(-j*2*pi/N) WNnk=WN.^nk XK=Xn*WNnk; figure(1) stem(Xn) figure(2) stem(abs(XK)) 运行结果：

IFFT变换中，当采样点数少于12时图像如下图显示：

分析：由图像可以看出，当采样点数小于12时，x(n)的频谱不变，周期为6，而XK 的频谱图发生改变。 题2：对以下序列进行谱分析 132()()103()8470x n R n n n x n n n =+≤≤?? =-≤≤??? 其他n 选择FFT 的变换区间N 为8和16点两种情况进行频谱分析，分别打印其幅频特 性曲线并进行对比、分析和讨论。 ㈠ 程序代码： x=ones(1,3);nx=0:2; x1k8=fft(x,8); F=(0:length(x1k8)-1)'*2/length(x1k8); %进行对应的频率转换 stem(f,abs(x1k8));%8点FFT title('8点FFTx_1(n)'); xlabel('w/pi'); ylabel('幅度'); N=8时：

拉格朗日插值公式的证明及其应用

拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x

FFT的定点DSP实现

1 引言 CCS(Code Composer Studio)是TI公司的DSP集成开发环境。它提供了环境配置、源文件编辑、程序调试、跟踪和分析等工具,帮助用户在一个软件环境下完成编辑、编译链接、调试和数据分析等工作。与TI提供的早期软件开发工具相比,利用CCS能够加快软件开发进程,提高工作效率。CCS一般工作在两种模式下:软件仿真器和与硬件开发板相结合的在线编程。前者可以脱离DSP芯片,在PC机上模拟DSP指令集与工作机制,主要用于前期算法实现和调试。后者实时运行在DSP芯片上,可以在线编制和调试应用程序。 2 C语言和汇编语言的混合编程 TMS320 C5000系列的软件设计通常有三种方法: (1) 用C语言开发; (2) 用汇编语言开发; (3) C和汇编的混合开发。 其中用C语言开发具有兼容性和可移植的优点,有利于缩短开发周期和减少开发难度,但是在运算量较大的情况下,C代码的效率还是无法和手工编写的汇编代码的效率相比,比如FFT运算,用汇编语言开发的效率高,程序执行速度快,而且可以合理利用芯片的硬件资源,但是开发难度较大,开发周期长,而且可读性和可移植性差。C和汇编的混合编程则可以充分利用前两者的优点,以达到最佳利用DSP资源的目的。但是,采用C和汇编语言混合编程必须遵循相关函数调用规则和寄存器调用规则,否则会给程序的开发带来意想不到的问题。 2.1 C语言和汇编语言混合编程的四种方法 (1) 独立编写汇编程序和C程序,分开编译或汇编成各自的目标代码模块,再用链接器将二者链接起来。这种方法比较灵活,但是设计者必须自己维护各汇编模块的入口和出口代码,自己计算传递的参数在堆栈中的偏移量,工作量较大,但是能做到对程序的绝对控制。 (2) 在C程序中使用汇编程序中定义的变量和常数。 (3) 在C程序中内嵌汇编语句。这种方法可以实现C语言无法实现的一些硬件控制功能,如修改中断控制寄存器。 (4) 将C语言编译生成相应的汇编代码,手工修改和优化C编译器生成的汇编代码。采用这种方法可以控制C编译器,从而产生具有交叉列表的汇编程序,而设计者可以对其中的汇编语句进行修改,然后对汇编程序进行编译,产生目标文件。

数值计算方法—拉格朗日插值

数值计算方法作业 专业：测控1002 学号：10540226 姓名：崔海雪

拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab 算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ） ，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --（x-0x ）. （2）

三次样条插值作业题

例1 设)(x f 为定义在[0,3]上的函数，有下列函数值表： 且2.0)('0=x f ，1)('3-=x f ，试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数)(x s 本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式： ) ()6()() 6()(6)(6)(211123 13 1j j j j j j j j j j j j j j j j x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s -- + -- + -+ -= +++++其中，方程中的系数 j j h M 6， j j h M 61+，j j j j h h M y )6(2- ， j j j j h h M y ) 6(211++- 将由Matlab 代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。 以下为Matlab 代码： %============================= % 本段代码解决作业题的例1 %============================= clear all clc % 自变量x 与因变量y ，两个边界条件的取值 IndVar = [0, 1, 2, 3]; DepVar = [0, 0.5, 2, 1.5]; LeftBoun = 0.2; RightBoun = -1; % 区间长度向量，其各元素为自变量各段的长度 h = zeros(1, length(IndVar) - 1); for i = 1 : length(IndVar) - 1 h(i) = IndVar(i + 1) - IndVar(i); end % 为向量μ赋值

FFT超全快速傅里叶

快速傅里叶变换 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高

实验二 快速傅里叶变换(FFT)及其应用

《数字信号处理》课程 （2010-2011学年第1学期）成绩： 实验二快速傅里叶变换（FFT）及其应用 学生姓名：闫春遐 所在院系：电子信息工程学院自动化系 年级专业：2008级自动化系 学号：00824049 指导教师：王亮 完成日期：2010年9月27日

实验二 快速傅里叶变换（FFT ）及其应用 一、实验目的 （1）在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉MATLAB 中的有关函数。 （2）应用FFT 对典型信号进行频谱分析。 （3）了解应用FFT 进行信号频谱分析过程可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 （4）应用FFT 实现序列的线性卷积和相关。 二、实验内容 实验中用到的信号序列： a ）高斯序列 2 ()015()0 n p q a e n x n --??≤≤=???其他 b ）衰减正弦序列 sin(2)015 ()0an b e fn n x n π-?≤≤=?? 其他 c ）三角波序列 03()847 0c n n x n n n ≤≤?? =-≤≤??? 其他 d ）反三角波序列 403()447 0d n n x n n n -≤≤?? =-≤≤??? 其他 上机实验内容： （1）观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号()a x n 中参数8p =，改变q 的值，使q 分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q 取不同值时，对信号的时域和幅频特性的影响；固定8q =，改变p ，使p 分别等于8、13、

14，观察参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 解答: >> n=0:1:15; >> xn=exp(-(n-8).^2/2); >> subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); >> xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1); >> subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)'); >> xn=exp(-(n-8).^2/4); >> subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); >> xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1); >> subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');

用matlab实现fft算法

A1=str2double(get(handles.edit8,'String')); A2=str2double(get(handles.edit9,'String')); F1=str2double(get(handles.edit10,'String')); F2=str2double(get(handles.edit11,'String')); Fs=str2double(get(handles.edit12,'String')); N=str2double(get(handles.edit13,'String')); t=[0:1/Fs:(N-1)/Fs]; x=A1*sin(2*pi*F1*t)+A2*sin(2*pi*F2*t); %信号x的离散值 axes(handles.axes1) %在axes1中作原始信号图 plot(x); grid on m=nextpow2(x);N=2^m; % 求x的长度对应的2的最低幂次m if length(x)

快速傅里叶变换(FFT)课程设计

快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现 (马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410) 摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定 点DSP 上的实现，FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。 关键字：FFT ，DSP ，比特反转 1.引言 傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT 的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。 20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换（FFT ）算法，它是快速计算DFT 的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT 的运算速度，从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。 DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT 指令（如实现FFT 算法所必需的比特反转等），使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理，然后介绍FFT 算法的DSP 实现。 2.FFT 算法的简介 快速傅里叶变换（FFT ）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 2.1离散傅里叶变换DFT 对于长度为N 的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT ）为 1,1,0, )()(1 0-==∑-=N k W n x k X n n nk N （1） 式中， N j N e W /2π-= ，称为旋转因子或蝶形因子。 从DFT 的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k 值，直接按（1） 式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N 个k 值，共需要N 2 次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N 值（如1024点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。 2.2快速傅里叶变换FFT 旋转因子W N 有如下的特性。 。对称性： 2/N k N k N W W +-= 。周期性： N k N k N W W += 利用这些特性，既可以使DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT

试求三次样条插值S(X)

给定数据表如下： 试求三次样条插值S（X），并满足条件： i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868; ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0； 解： 由给定数据知： h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h 1=0.39-0.30-0.09 h 2=0.45-0.39-0.06, h 3=0.53-0.45-0.08 由μ i=h i/(h i1+h i), λ i= h i/(h i1+h i) 得: μ1= 5/14 ; λ 1= 9/14 μ2= 3/5 ; λ 2= 2/5 μ3= 3/7 ; λ 3=4/7 0.25 0.5000 ﹨ ﹨ 1.0000 ∕﹨ 0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x 1 ] ﹨∕ 0.9540 ∕﹨ 0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x 2 ] ﹨∕

0.8533 ∕﹨ 0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x 3 ] ﹨∕ 0.7717 ∕﹨ 0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x 4 ] ﹨∕ 0.7150 ∕﹨ 0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x 5 ] ﹨∕ 0.6868 ∕ 0.53 0.7280 i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组 ┌┐┌┐ │ 2 1 │┌M 0 ┐│-0.9200 ︳ ︳5/14 2 9/14 ︳︳M ︳︳-0.7193 ︳ 1 ︳3/5 2 2/5 ︳︳M 2 ︳_6 ︳-0.5440︳ ︳ 3/7 2 4/7 ︳︳M ︳︳-0.4050 ︳ 3

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

实验2FFT算法实现

实验2 FFT 算法实现 2.1 实验目的 1、 加深对快速傅里叶变换的理解。 2、 掌握FFT 算法及其程序的编写。 3、 掌握算法性能评测的方法。 2.2 实验原理 一个连续信号)(t x a 的频谱可以用它的傅立叶变换表示为 dt e t x j X t j a a Ω-+∞ ∞-?= Ω)()( （2-1） 如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列 )()(nT x n x a = （2-2） 同样可以对该序列进行z 变换，其中T 为采样周期 ∑+∞∞--=n z n x z X )()( （2-3） 当ωj e z =的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换 ∑+∞∞-=n j j e n x e X ωω)()( （2-4） 其中ω称为数字频率，它和模拟域频率的关系为 s f T /Ω=Ω=ω （2-5） 式中的s f 是采样频率。上式说明数字频率是模拟频率对采样率s f 的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。序列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。 ∑+∞∞--=)2(1)(T m j X T e X a j πωω （2-6） 即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从式（2-6）可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满

足Nyquist 定理。 在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换（DFT ），这一变换可以很好地反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N 时，我们定义离散傅立叶变换为： ∑-===10)()]([)(N n kn N W n x n x DFT k X （2-7） 其中N j N e W π 2-=，它的反变换定义为： ∑-=-==10)(1)]([)(N k kn N W k X N k X IDFT n x （2-8） 根据式（2-3）和（2-7）令k N W z -=，则有 ∑-====-10)]([)(|)(N n nk N W z n x DFT W n x z X k N （2-9） 可以得到k N j k N e W z z X k X π2|)()(===-,k N W -是z 平面单位圆上幅角为k N πω2=的点，就是将单位圆进行N 等分以后第k 个点。所以，X(k)是z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist 定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。 DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。在运用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下： （1）混淆现象 从式（2-6）中可以看出，序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2π/T ，因此当采样速率不满足Nyquist 定理，即采样频率T f s /1=小于两倍的信号（这里指的是实信号）频率时，经过采样就会发生频谱混淆。这导致采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。所以，在利用DFT 分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混淆现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这就告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。 （2）泄漏现象 实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄漏是不能和混淆完全分离开的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。 （3）栅栏效应 因为DFT 是对单位圆上z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。

插值算法之拉格朗日插值

记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】 1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。怎么办，数学家们提出了插值问题。插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。 2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式和克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。结果唯一，但是用直接法很不好求。现在用别的办法来求之。这就是：拉格朗日多项式 3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明 由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为： f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3 注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。 由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0; 同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：

b0(x) b1(x) b2(x) b3(x) x=x0 1 0 0 0 x=x1 0 1 0 0 x=x2 0 0 1 0 x=x3 0 0 0 1 问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式， 由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设 b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3) 由于b0(x0) = 1,所以1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 = 1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)] 所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)] 同理可求b1(x)、b2(x)，略 问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这

关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)资料

学习报告—— 三次样条函数插值问题的讨论 班级：数学二班 学号：152111033 姓名：刘楠楠

样条函数： 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。 一、三次样条函数的定义： 对插值区间[,]a b 进行划分，设节点011n n a x x x x b -=<< <<=，若 函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式，则称其为三次样条函数。如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =，则称()s x 为()f x 在 [,]a b 上的三次样条函数。 二、三次样条函数的确定： 由定义可设：101212 1(),[,] (),[,]()(),[,] n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈??∈?=???∈?其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次 多项式，且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,k n = 由2()[,]s x C a b ∈可得：''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++= ''''1()(),(1 ,2,,1)k k k k s x s x k n -+ +==-， 已知每个()k s x 均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n 个待定系数，需要4n 个方程才能求解。前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。 1、第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 ''''00(),()n n s x f s x f == 2、第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即

详解FFT(快速傅里叶变换FFT.

kn N W N N 第四章 快速傅里叶变换 有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。 快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法 和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算： （1） 周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2） 对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值

快速傅里叶变换在OFDM系统中的应用

快速傅里叶变换在OFDM系统中的应用 李晓亮,王红军 (1.江西鹰潭工业技术研究所,江西鹰潭335001; 2.解放军电子工程学院,安徽合肥 230031) 摘要:本文简要分析了未来OFDM数字通信系统的基本模型和可能采用的信号调制与解调的方法,在此基础上详细地解析了数据序列经过快速傅里叶逆变换/快速傅里叶变换(IFFT/FFT)后的输出结果与M进制数字调制解调之间的联系,并给出了能够实现OFDM调制解调的合适的IFFT/FFT算法,实际仿真结果表明快速傅里叶变换及反变换在未来OFDM技术中具有一定的实用价值。 关键词:正交频分复用技术;调制;解调; IFFT;FFT Application of IFFT /FFT in OFDM Systems LIXiao-liang , WANGHong-jun (1.The Industry Technology Institute, Yingtan 335001,China;2. PLA Electronic Engineering Institute, Hefei230037,China) Abstract: On the basis of the analysis of the basic model of OFDM system and its potential means of modulating and demodulating, this paper discusses the mutual relation of the sequence of data IFFT/FFT and the result of M-modulation and M-demodulation in detail, then gives the appropriate modulation and demodulation algorithm of IFFT/FFT to OFDM system. The simulation result shows the definite importance of IFFT/FFT to OFDM in future practical application. Key words: OFDM technology; Modulation; Demodulation; IFFT; FFT

128点FFT算法设计方法

128点FFT 算法设计方法 X(k)=127 n 0x n =∑（）w nk 128, X （k ）=63n 0x n =∑（2）w 1282nk +63n 0x n =∑（2+1） w 128(2n+1)k =63n 0x n =∑（2）w 64nk +(63n 0x n =∑（2+1） w 64nk )w 1281k =H(k)+G(k) w 1281k , H(k)= 63 n 0h n =∑（）w 64nk ,h(n)=x(2n) G(k)= 63 n 0g n =∑（） w 64nk ,g(n)=x(2n+1) H(k) = 63n 0h n =∑（） w 64nk =7a 0=∑(7b 0h a b =∑（+8）)w 64(a+8b)k H(k)=H(k 0+8k 1)= 7a 0=∑(7b 0 h a b =∑（+8）)w 64(a+8b)(k0+8k1) =7a 0=∑(7b 0 h a b =∑（+8）w 648bk0)w 64a(k0+8k1)w 6464bk1 =7a 0 =∑(7b 0h a b =∑（+8）w 648bk0)w 64a(k0+8k1) =7a 0 =∑(7b 0h a b =∑（+8）w 8bk0)w 64a(k0+8k1), [w 6464bk1=1] =7a 0 =∑(7b 0f b =∑（）w 8bk0)w 64a(k0+8k1) =7a 0=∑(7b 0 f b =∑（）w 8bk0w 64ak0 )w 648ak1)

=7a 0=∑(7 b 0f b =∑（）w 8bk0w 64ak0 )w 8ak1) w 8bk0旋转因子是1、-1、 等，可以用加减等运算实现，只有w 64ak0要乘旋转因子。 7b 0f b =∑（） w 8bk0用一个蝶8运算。 F(k0)= 7 b 0f b =∑（）w 8bk0,f(b)=h(a+2b), 红色旋转因子还未找到处理方法，使第二级也变为pe8运算 18W =134689222222 ------＝＋＋＋＋＋

matlab_牛顿插值法_三次样条插值法

(){} 2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x = -≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：