1.3.1单调性与最大(小)值_教案
1.3 函数的基本性质 单调性与最大(小)值
第1课时
一、创设情境，引入课题
下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。
图1
想一想，议一议
（1）观察图象，你能说出图象的特征吗？
（2）随x 的增大，y 的值有什么变化？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
二、归纳探索，形成概念
问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1
x 的图象，并且观察自变量变化
时，函数值有什么变化规律？
预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．
(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小． (3)函数y ＝1
x
在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．
引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是
函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？
预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．
问题3：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？
预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数． (2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．
(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为x 12－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜0，即x 12＜x 22， 所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.
想一想
（1）在单调区间上增函数的图象是__________, 减函数的图象是__________. （2）如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？
如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。
抽象思维，形成概念
一般的，设函数f(x)的定义域为I ：
如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2，当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＜ f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。（如图1）
如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2 ，当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞ f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（如图2）
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个
区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间。
判断题：
①已知f (x )＝1
x
，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数．
y x1 0 x2 x f(x1) f(x2) y f(x1) f(x2)
x1
x2
x
②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．
③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数． ④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1
x 在(－∞，
0)∪(0，＋∞)上是减函数．
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．
典型例题
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及
在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
例2：物理学中的玻意耳定律 （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大。试用函数的单调性证明之。
例3：证明函数f (x )＝x ＋2
x
在(2，＋∞)上是增函数．
二、函数的最值问题
问题1：某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址，新厂址的长为x m ，则宽为10 000
x m ，所建围墙y m ，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一
个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y ＝2(
)
x ＋
10 000
x
，x ＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．
问题2：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f (x )＝－x ＋3；②f (x )＝－x ＋3，x ∈[－1,2]； ③f (x )＝x 2＋2x ＋1；④f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]． 形成概念
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .
那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．．．．．
想一想 你能仿照函数最大值的定义，给出函数y ＝f (x )的最小值的定义吗？
应用示例
例1 求函数y ＝
2
x －1
在区间[2,6]上的最大值和最小值． 活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y ＝2
x －1的图象，只取在
区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．
解：设2≤x 1＜x 2≤6，则有
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2
x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).
∵2≤x 1＜x 2≤6，
∴x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.
∴f (x 1)＞f (x 2)，即函数y ＝2
x －1在区间[2,6]上是减函数．
∴当x ＝2时，函数y ＝2
x －1在区间[2,6]上取得最大值f (2)＝2；
当x ＝6时，函数y ＝2x －1
在区间[2,6]上取得最小值f (6)＝2
5. 变式训练
1．求函数y ＝x 2－2x (x ∈[－3,2])的最大值和最小值．
2．函数f (x )＝x 4＋2x 2－1的最小值是__________．
解：最大值是f (－3)＝15，最小值是f (1)＝－1. 解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值． 设x 2＝t ，y ＝t 2＋2t －1(t ≥0)，
又当t ≥0时，函数y ＝t 2＋2t －1是增函数， 则当t ＝0时，函数y ＝t 2＋2t －1(t ≥0)取最小值－1. 所以函数f (x )＝x 4＋2x 2－1的最小值是－1.[来源:学科网] 答案：－1
例2 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
解：作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象，如图7所示，
图7
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有： 当t ＝－14.7
2×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29.
即烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论． 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
变式训练
1．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(答案：D )
A ．3
2
3cm 2 B ．4 cm 2 C ．32cm 2 D ．23cm 2
2．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润．
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答．利润＝(售价－进价)×销售量．
解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则y ＝(x －8)[60－(x －10)·10] ＝－10[(x －12)2－16]＝－10(x －12)2＋160(10＜x ＜16)， 当且仅当x ＝12时，y 有最大值160元， 即售价定为12元时可获最大利润160元.
思维拓展
①判断函数单调性的常用结论 ②求最大最小值的常用方法 ③复合函数的单调性
拓展提升
问题：求函数y ＝1x 2＋x ＋1
的最大值．
基本初等函数的最值
1．正比例函数：y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[a ，b ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .
2．反比例函数：y ＝k
x (k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a ，
b ](ab ＞0)上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k
b ；当k ＜
0时，函数y ＝k x 的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝k
a
.
3．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[m ，n ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .
4．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：
当a ＞0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在定义域R 上有最小值f ????－b 2a ＝－b 2
＋4ac
4a
，无最大值； 当a ＜0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在定义域R 上有最大值f ????－b 2a ＝－b 2
＋4ac 4a
，无最小值． 二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若－b
2a ＜p ，则f (x )在区间[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．
(2)若p ≤－b
2a ≤q ，则f (x )min ＝f ????－b 2a ，此时f (x )的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p ≤－b 2a ＜p ＋q
2时，则f (x )max ＝f (q )；
②当p ＋q 2＝－b
2a 时，则f (x )max ＝f (p )＝f (q )；
③当p ＋q 2＜－b 2a
＜q 时，则f (x )max ＝f (p )．
(3)若－b
2a ≥q ，则f (x )在区间[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．
由此可见，当－b
2a ∈[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最
大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f ????－b 2a ；当－b
2a ?[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f (p )和f (q )中的最小值．
1.3.2 函数的奇偶性
一、问题导入
请根据函数填写下表并画出下列函数图象: (1)正比例函数f(x)=2x;
(2)反比例函数
x x f 1)(=;
(3)二次函数f(x)=x 2
+1;
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)
(4)分段函数f(x)=|x|
1、观察（1）（2）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？
2、再观察函数(1)(2)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？
3、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？
学生经过思考后，回答： 学生1：（1）f(x)=2x 时，f(-x)=2(-x)=-2x,有f(-x)=-f(x) 学生2：（2）
x
x f 1
)(=
时，
x
x x f 11)(-==
--，有f(-x)=-f(x)
图象是关于原点对称的
进一步研究（3）
学生3：(3)f(x)=-2x+1时，f(-x)=-2(-x)+1=2x+1.看不出f(-x)与f(x)有什么关系。图象也没有关于原点对称。
师：象（1）（2）这样的函数，我们称它为奇函数；（3）不是奇函数
4、观察（3）（4）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？
5、再观察函数(4)(5)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？
6、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？
学生4：（4）f(x)= x 2
+1时，f(-x)=(-x)2
+1=x 2
+1,有f(-x)=f(x) 学生5：（5）f(x)=|x|时，f(-x)=|-x|=|x|,有f(-x)=f(x) 图象关于y 轴对称。 师：象（4）（5）这样的函数，我们称为偶函数。
形成概念
(1)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；奇函数图象关于原点对称。
(2) 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；偶函数图象关于y 轴对称。
注意：
典型例题
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
2
541)(41)(3)(2)(11x x f x
x x f x x f x x f =+===）（）（）（）（性：：判断下列函数的奇偶例
是奇函数
是奇函数是偶函数）
都是奇函数，则（
与，若的定义域为：函数例)3(C.)
2()(C.)(B.)(A.)1()1-(R )(2++=+x f x f x f x f x f x f x f x f
??
?
??>-+-=<++=?????<-+>++-=-+-=
0,320
00,32)(30
,10
,1)(22
|2|1)(1;
3222
2
2x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x f ）（）（）（性：判断下列函数的奇偶例
例3：讨论函数1
22)(2++=x x
x x f 的奇偶性如何？
函数的基本性质——单调性与最大(小)值
函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。
这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
高中数学：单调性 函数的最大值、最小值 (5)
第2课时 函数的最大值、最小值 知识点 函数的最大值与最小值 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)× 2．函数f (x )＝1 x 在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．无最大值也无最小值 解析：函数f (x )＝1 x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A. 答案：A 3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3 解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5.
答案：B 4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是() A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)． 答案：C 类型一图象法求函数的最值 例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3. 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)． 方法归纳 图象法求最值的一般步骤
总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)
第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1， x 2 当x 1
3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 《单调性与最大（小）值》教案 教学目标 1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念. 2、掌握增（减）函数的证明和判别. 3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质. 教学重难点 重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值. 难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值. 教学过程 在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。 一、情景导入 问题： 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （1）随x 的增大，y 的值有什么变化？ （2）能否看出函数的最大、最小值？ 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：函数单调性的判断和证明 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。 （II）讲授新课 1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1） 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？ ?随着x的增加，y值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1 示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时） 导入新课 思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址,新厂址的长为x m ，则宽为x 10000m ，所建围墙ym ，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y 最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+ x 10000),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题. 思路 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x ∈［-1,2］； ③f(x)=x 2+2x+1;④f(x)=x 2+2x+1,x ∈［-2,2］. 学生回答后，教师引出课题：函数的最值. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x ∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征. 图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？ ③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C 的坐标为(x 0,y 0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？ 图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？ ⑥函数最大值的定义中f(x)≤M 即f(x)≤f(x 0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？ 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ? ?同步测控? ? 1. 函数 f(x)= 2x 2- mx + 3,当 x € [ — 2,+^ )时，f(x)为增函数，当 x € ( — ^，― 2]时， 函数f(x)为减函数，贝U m 等于( ) A . — 4 B .— 8 C . 8 D .无法确定 解析：选B ?二次函数在对称轴的两侧的单调性相反. 由题意得函数的对称轴为 x =— 2, 则m =— 2,所以 m = — 8. 2. 函数f(x)在R 上是增函数，若 a + b w 0,则有( ) A . f(a) + f(b)<— f(a)— f(b) B. f(a)+ f(b)>— f(a)— f(b) C. f(a) + f(b) w f( — a) + f( — b) D. f(a) + f(b)>f(— a)+ f( — b) 解析：选C.应用增函数的性质判断. a + b w 0,.°. a w — b , b w — a. 又???函数f(x)在 R 上是增函数， ??? f(a)w f(— b), f(b)w f(— a). f(a) + f(b) w f(— a) + f (— b). m , 0)上为减函数的是( ) A .① B .④ C .①④ D .①②④ 解 析： 选A.①丫=亠=红灶=1 +丄. x — 1 x — 1 x — 1 其减区间为(一a, 1), (1 , + m ). 11 1 ② y = x 2 + x = (x + 2)— 4,减区间为(一a,— 2). ③ y =— (x + 1)2，其减区间为(一1 ,+a ), ④ 与①相比，可知为增函数. 4.若函数f(x) = 4x 2— kx — 8在［5,8］上是单调函数，则 k 的取值范围是 ________ . 解析：对称轴x = k ，则k w 5,或8，得k w 40,或k >64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8 答案：( — a, 40］ U ［64 ,+a ) ?少谍时训缘*? 1 .函数y =— x 2的单调减区间是( ) A . ［0,+a ) B . (— a, 0］ C . ( —a, 0) D . (— a,+a ) 解析：选A.根据y = — x 2的图象可得. 2.若函数f(x)定义在［—1,3］上，且满足f(0) 《函数的单调性与最大（小）值》教学设计 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○ 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) 《单调性与最大（小）值》教案 1 1．观察下列各个函数的图象，并说说它 过的函数入手，教师归纳：从上 引出函数单调面的观察分析可 性的概念。这就以看出：不同的 是我们今天所函数，其图象的 要研究的函数变化趋势不同， 的一个重要性同一函数在不同 质——函数的区间上变化趋势 单调性（引出课也不同，函数图 ②在区间____________ 上，随着x 的 ②在区间____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着________ ． （3）f (x) = x2 ①在区间____________ 上， 义，会求简单函数的值域，那么函数有哪些性质呢？这一节课我们研究这一问题． y 轴右侧是上升的，如何 x ，x ，当x 正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其 体积V 减少时，压强P 将增大．试用函数的单 调性证明之． 分析：按题意，只要证明函数P= 在区间（0，+∞）上是减函数即可． 1 + 在（，∞） D 上的单调性的一般步骤： ②作差f(x ) f(x ) －； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x ) f(x ) ②它在定义域I 上的单调性怎样？证明你 1.讨论一次函数y= m x+ b(x R) 的单调性. 1．函数的单调性一般是先根据图象判断， 再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义域，单调性的证明一般分五 步：取值→作差→变形→定号→下结论 函数单调性与最大最小值教案Function monotonicity and max min teaching plan 函数单调性与最大最小值教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 我是本科数学**号选手，今天我要进行说课的课题是高 中数学必修一第一章第三节第一课时《函数单调性与最大（小）值》（可以在这时候板书课题，以缓解紧张）。我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法；教学过程；教学评价五个方面来陈述我对本节课的设计方案。恳请在座的专家评委批评指正。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 （1）本节课主要对函数单调性的学习； （2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又 为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）（3）它是历年高考的热点、难点问题 （根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题 就删掉） 2、教材重、难点 重点：函数单调性的定义 难点：函数单调性的证明 重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。（这个必须要有） 二、教学目标 知识目标： （1）函数单调性的定义 （2）函数单调性的证明 能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想 情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识 （这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化） 三、教法学法分析 1、教法分析 《单调性与最大（小）值》教案1（新人 教A版必修1） 课题：§1.3.1函数的最大（小）值 教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、引入课题 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： ○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什 么特征？ （1）（2） （3）（4） 二、新课教学 （一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动） 注意： ○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； （二）典型例题 例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略） 说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适 当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性人教版数学必修一函数的单调性与最大值
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- 函数的单调性与最值练习题
- 示范教案(单调性与最大(小)值第课时)