大学物理第2章质点动力学

第2章 质点动力学

2．1 牛顿运动定律

一、牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。

二、牛顿第二定律

物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，

方向与合外力的方向相同。表示为 a m f = 说明:

⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。

∑=+++==n

i n i f f f f f 121 力的叠加原理

⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式 x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式 t t ma f = n n ma f =

⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。 v m p =

动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt

p d dt v d m

a m f === 当0=f 时，

0=dt

p

d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结论成为质点动量守恒定律。

三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲

基本量与基本单位

导出量与导出单位

五、常见的力

力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用

用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：

（1）隔离物体，受力分析。

（2）建立坐标，列方程。

（3）求解方程。

（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题

例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a 及绳子的张力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。

解 分别取1m 和2m 为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程： a m F g m T 22=- a m g m F o T 1130sin =-' 绳子张力T T F F '=

代入数据解方程组得加速度98.0=a m ·s 2-，张力64.17=T F N 。

例2-2 如图所示，长度为l 的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一端拴一个质量为m 的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求小球的速率和绳的张力。

m mg

解：dt

d l

v α= 牛顿方程的切向和法向分量式

dt dv m ma mg t ==αcos （切向） l

v m ma mg T n 2

sin ==-α（法向）

把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以dt d l α和v ，即

αcos g ·dt

dv dt d l

=α·v 约去dt 得 vdv d gl =ααcos

对上式积分，注意角度从0增大到α的同时，速率从0增大到v ，有

??=v

vdv d gl 0

cos ααα， 2

2

1sin v gl =

α 得小球的速率为 αsin 2gl v = 代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力

ααsin 3sin 2

mg mg l

v m T =+=

可看出,当2πα=时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。

例2-3 质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即kv f =τ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为B,求小球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。

y

解、小球受重力P 、粘滞力τf 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正方向。如图所示，根据牛顿第二定律得

ma B f P =--τ 即 dt dv m

ma B kv mg ==-- 或 m

dt

B kv mg dv =-- 两边取定积分 ??

=--t v

m dt B kv mg dv

00 得 m B mg B kv mg k 1)]ln()[ln(1=-----

由此求得：)1(t m k

e k

B

mg v ---=

当∞→t 时，k

B

mg v -→ ------小球的终极速度，匀速下降。 2．2

动量和动量守恒定律

一、质点和质点系的动量定理

1．冲量和质点动量变化定理

● 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。 ?=2

1t t f d t

I ● 质点动量变化定理

根据牛顿第二定律，上式可写为 p d dt f I d ==

表明，在dt 时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。

将上式从1t 到2t 对时间积分，得 ??-===2

1

2

1

12t t p p d dt f

表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增

量。称为质点动量变化定理。

应用质点动量变化定理的实例

在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念。 1

21

2

121

22

1

t t p p t t t t dt

f f

t t --=-=

-=

? 例 质量为3000=m kg 的重锤，从高度5.11=h m 处自由落下，打击被锻压的工件后弹起的高度1.02=h m 。设作用时间01.0=?t s ，求重锤对工件的平均冲击力。

解：设竖直向上为正方向。

重锤与工件刚接触时的速度，等于从5.11=h m 处自由落下的末速度。 112gh v -=

重锤与工件作用01.0=?t s 后，弹起的速度等于竖直上抛1.02=h m 高度的初速度。

222gh v = 以f '代表在t ?时间内工件对 重锤的平均反冲力，按动量变化定

理 12)(mv mv t mg f -=?-' 工件 )12

(

2

1+?+='t

h h g

mg f 重锤对工件的平均冲力

63101.2)101

.01.05.18.92(8.9103?-=++????-='-=N

2．质点系的动量定理

由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系。

● 内力与外力 j f

内力：质点系内各质点之间的作用力叫内力。图中ij f 和ji f 就是一对内力。根据牛顿第三定律，由于它们大小相等方向相反，所以0=+ji ij f f 。由于内力总是成对出现，所以质点系内所有内力的矢量和一定等于零。即

032232112)

(,=+++++=∑≠ f f f f f

j i j i ij

这是内力一个重要性质。

外力：质点系以外的物体或场（如重力场）对系统内质点的作用力，叫做外力。

F 外=∑++=i

f f f 21

● 质点系的动量

质点系内所有质点的动量的矢量和称为该质点系的动量，用p 来表示。 i i

i i

i v m p ∑∑==

● 质点系中外力与动量的关系 根据牛顿第二定律 ∵ dt v d m

a m f == v m p = dt

p d f = 又∵ F

外

=∑++=i

f f f 21

∴ F 外=

dt

p d

质点系动量变化定理

把上式写成 F

外

d dt = 并从1t 到2t 对时间积分，得

?

2

1

t t F 外dt =?-=2

1

11p p p p p d

系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量-----质点系动量变化定理 说明：内力可以改变质点系内各质点的动量，但对系统的总动量没有影响。 例2-6 如图，一辆拉煤车以速率3=v m ·s 1-从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢内的煤为500kg 。若使车厢的速率不变，应用多大的牵引力拉车厢（忽略车厢与轨道之间的摩擦力）？

v dm

解：用m 代表在t 时刻已落入 车厢内的煤和车厢的总质量。

经过dt 时间又有质量为dm 的煤落入车厢中。

取m 和dm 作为质点系。取车厢行驶的方向作为正方向。 系统在t 时刻的动量为 mv

系统在dt t +时刻的动量为 v dm m )(+ 在dt 时间内系统动量的增量 mv v dm m dP -+=)(

按照质点系动量变化定理，注意到车厢速率不变，有 dt

dm

v dt dP F ==

把3=v m ·s 1-和500=dt dm kg ·s 1-代入上式得： 3105.15003?=?=F N

二、动量守恒定律

若质点系所受外力为零，F 外=0，则

0=dt

P

d ， =P 常矢量 表明在惯性系中，当质点系不受外力作用或所受外力合力等于零时，质点系的动量大小和方向都保持不变——动量守恒定律。

应用动量守恒定律时要注意：

（1）合外力是指系统所受外力的矢量和。

（2）若合外力的矢量和不为零，但外力沿某一方向的分量为零，则该方向上质点系的动量守恒。

（3）在诸如碰撞、爆炸等问题中，由于冲击力很大、作用时间很短，此时一般的外力（如重力）可以忽略。

（4）动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一 ，不仅适用于宏观物体，也适用于原子、分子、光子等微观粒子间的相互作用。

例 如图，一颗质量为m 的子弹以速度v 沿水平方向射入一个用细绳悬挂的质量为M 的物体，并留在物体中。设子弹从射入物体到停在其中的时间极短，求子弹刚停在物体中时的速度。

解：取子弹和物体为质点系。

系统不受外力作用，系统在水平 方向上动量守恒。 m v V

设子弹刚停在物体内时的速 X

度为V 。水平向右为坐标轴正向。 V M m mv )(+=， v M

m m

V +=

当∞→M 时，0→V

2．3 功、机械能和机械能守恒定律

一、功和功率 1．功

初中时功的计算：FS W = 恒力的方向与物体运动方向相同。 高中时功的计算：αcos FS W = 恒力与物体运动方向成α夹角。 （1）功的定义：作用于物体的力在物体位移方向上的分量与该位移的乘积称为功。

（2）元功：作用在质点上的力一般与质点的位置有关（如抛体运动中，质点所受的重力与质点的位置）。

在质点作无穷小位移r d

（元位移）

的过程中，可以认为力f 的大小和方向 都不发生变化。 把f 和r d

的标量积称为力f 对质点 做的元功，用dW 表示〉 0 x

αc o s r d f r d f dW

=?= (3)功的计算：

ds f f r d f W b

L a t b

L a b

L a ?

?

?

==?=)

()

()

(cos α

式中t f 为切向分量，ds 是与l d 对应的路程。 2．功率

力在单位时间内所做的功，称为功率。 平均功率：t

W

P ??=

瞬时功率：当0→?t 时，平均功率的极限值即为t 时刻的瞬时功率，简称功率。即dt

dW

t W P t =??=→?lim

由于 r d dW

?=。上式可写为

θcos fv v f dt

r d f P =?=?=

瞬时功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘积，或说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标积。

3．常见力的功

① 重力的功 质量为m 的物体在地球表面附近（重力加速度g 不变）从a 经c 运动到b ，重力对物体所做的元功

mgdy j dy i dx j mg s d F dW -=+?-=?=)( 物体从a →c →b ，重力的功 ?--=-=yb

ya a b mgy mgy mgdy W )(

若物体从a →d →b,重力的功仍然是上述结果。可见，，重力的功与路径无关只与始末位置有关。

② 弹力的功

弹性系数为k 的轻质弹簧水平放置，一端固定，一端系一小球，以平衡位置为 O a b 原点。小球在任一位置受到弹力 kx -=

对位移dx 的元功为

kxdx dx kx d dW -=?-=?= 小球从位置a 运动到b ，弹力的功为

??--=-==b a

a b kx kx kxdx dW W )2

121(2

2 结论：弹力的功只与始末位置有关，与路径无关。

③ 保守力

某些力（重力、弹力、万有引力、静电力、分子力等），他们对物体做的功与路径无关，只由物体的始末位置所决定。若物体沿任一闭合路径运动一周，这些力做功为零，这类力称为保守力。

摩擦力等做的功与路径有关，称为非保守力或耗散力。

二、动能和质点的动能定理

1．动能和质点动能定理 ● 质点的动能表达式：2

2

1mv E k = ● 质点的动能定理

若把f 看成是作用在质点上的合力，则牛顿方程的切向分量式为

dt dv m

f t = 由于 dt

ds

v = 所以有 2

2)

()()(2121a b b

L a b

L a b L a t mv mv vdv m ds dt dv m ds f W -====?

?

? 用2

2

1mv E k =

代表动能，则有 ka kb E E W -=

即合力对质点所做的功等于质点动能的增量，称为质点动能变化定理。 说明：

（1）功与动能增量密切相关。外力对物体做正功，物体动能增大；外力对物体做负功，物体动能减小；外力对物体不做功，物体动能不变。

（2）功是过程量，动能是状态量。无论通过什么过程做功，只要始末两状态一定，动能增量与该过程的功一定相等。

（3）动能与功有相同的单位，即焦耳（J ）。但这是两个不同的物理量。 （4）凡是用动能变化定理能解决的问题，原则上用牛顿第二定律也能解决，但涉及位置与速率关系方面的问题，通常用动能变化定理比较简便。

例2-12 用动能变化定理解例题2-2中小球的速率。

解：小球下落过程中，绳子的张力垂直于小球的运动方向，因此不做功。 而重力做功。

???===?=α

αααα0

s i n c o s o s m g l d m g l l mg l d g m W

根据动能变化定理 ka kb E E W -=有

2

2

1s i n

mv mgl =α 的小球的速率 αsin 2gl v =

三、质点系动能变化定理

对第i 各质点应用动能变化定理

i k o ik i E E W -= 式中ik E 和0ik E 分别代表质点的末状态和初状态的动能。

i W 是合力做的功，它等于外力和内力对质点做功之和。即 i i W W =外i W +内

对质点编号i 并求和，得

∑i

i W

外

∑+i

i

W 内

∑∑-=i

ik i

ik E E 0

所有外力和所有内力对整个质点系所做的功之和，等于系统总动能的增量。称为质点系动能变化定理。

说明：在质点系中，内力的矢量和等于零，但它们作用在不同的质点上，各质点的位移可能不同，因此内力做功之和可以不为零。

四、势能

保守力做的功与路径无关，意味着保守力的功只由系统的始、末状态决定。引入势能（p E ）的概念，系统在始、末状态的势能的差值表达了保守力所做的功。并定义：保守力所做的功，等于系统势能的减少。

W 保内p p E E -=0

1. 引力和引力势能

质量分别为1m 和2m 的两个质点，1m 作用在2m 上的引力为 r r

m Gm f ?2

2

1-

= 式中r ?为1m 到2m 的单位矢量。 1m r 2m

? ? x

引力做功与路径无关，只与质点的始末位置有关。因此引力是保守力。 与引力对应的势能是引力势能，引力势能为 r

m Gm E p 2

1-

= 引力势能属于质点1m 和2m 所组成的系统。两质点相距无限远处为零势能点。 2. 重力和重力势能

重力是物体在地面附近受到地球的引力。重力是保守力。

与重力对应的势能是重力势能，重力势能就是地面附近的物体和地球的引力势能

mgh E p =

重力势能属于物体和地球组成的系统所有。通常取地面为零势能点。

3. 弹性力和弹性势能

f

0 a x b x 上图所示，小球由a x 移动到b x 的过程中，弹性力对它做了功。设弹簧的劲度系数为k ，小球在任一位置x 时，弹性力为kx f -=。小球由a x 移动到b x 的过程中，弹性力对它做的功

??-=

-==b

a

b a

x x b a x x kx kx dx kx fdx W 222

121)( 可见，弹性力的功与弹簧伸长的路径无关，只决定于弹簧的始、末伸长量，因此弹性力是保守力。

与弹性力对应的势能是弹性势能。 2

2

1kx E p =

把弹簧处于自然长度定为零势能点。

五、功能原理 机械能守恒定律

若质点系在运动过程中只有保守内力做功，而外力和非保守内力的功等于零。则有

==0E E 常量

表明：在只有保守内力做功的过程中，质点系的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。

例 用机械能守恒定律重解例2-2。

解：在小球下落过程中，绳的张力不做功，只有重力做功。重力是保守力，因此机械能守恒。取O 点为零势能点。

根据机械能守恒定律，有 αsin 2

102

mgl mv -=

小球的速率 αsin 2gl v =

2．4 质点的角动量和角动量守恒定律

矢量乘法：

1．点乘：乘号用一个点表示，两个矢量点乘结果为一个标量，称为标量积。 如：C =? A 和B 为矢量， C 为标量。

C 的量值：αcos AB C = α为A 方向与B 方向之间的夹角。

在点乘中，有乘法交换率，如C A B B A =?=?

2．叉乘：乘号用“×”来表示，两个矢量叉乘结果为一个矢量，称为矢量积。

如：=? 、和均为矢量。

C 的量值：αsin AB C = α为A 方向与B 方向之间的夹角。 的方向：按右螺旋法则判定。

在叉乘中，没有乘法交换率；A B B A ?≠? 而有：?-=-?=?)()( 若 E k B =

则有 k ?=?=k ?

一、质点的角动量 l

如上图，某质点质量为m ，相对于0点的位置矢量为r ，动量为v m 。 将质点的位置矢量r 和动量矢量积，定义为质点对于0点的角动量。 m ?=?=

角动量的大小为 θθsin sin mrv rp l ==

角动量的方向：当θ＜180°时，按右螺旋法则判定。 角动量又叫动量矩。 l 如果质点绕0点做圆周运动， 按角动量定义，质点对0点的角

动量方向垂直于圆周平面，大小 为： ω2mr mrv l == m 其中r v =ω为圆周运动的角速度。

注意：在定义一个质点的角动量时，必须明确指出是对哪个点而言。 二、质点角动量变化定理 惯性系中，牛顿第二定律：dt

p

d f =

用质点对于0点的位置矢量叉乘上式两边得： dt

d f ?

=? 因v 与v m p =同方向，所以0=?p v ，上式可写成 dt

l

d dt p r d p dt r d dt p d r p v dt p d r f r =?=?+?=?+?

=?)( 矢量积f r ?称为力f 对0点的力矩，用表示，有 f r M ?= 上式即为 dt

l d M =

力矩M 的方向用右螺旋法则判定，其大小为

?s i n

rf M = ?为r 与f 小于180°的夹角。

若M = 0，则

dt

l

d = 0，l = 常矢量

表明：在惯性系中当质点不受力，或对某一固定点所受合力矩为零时，这个质点对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变——叫角动量守恒定理。

例2-17 证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星相对太阳的位置矢量在相等时间内扫过相等的面积。

v θ

行星在引力作用下，绕太阳运动。设行星位置矢量为r 在dt 时间内扫过的面积为dS 。由于太阳作用在行星上的引力对太阳的力矩为零，所以行星对太阳的角动量的大小和方向都不变。角动量的方向不变行星沿平面运动轨道运动，而且轨道平面的方位不变；角动量的大小不变是指 ===rmv l θsin 常量

其中dS r 2=θ，代入上式，得

=dt

dS

常量 即行星的位置矢量在相等的时间内扫过的面积相等。

三、质点系角动量变化定律和角动量守恒定律 1．质点系的角动量

f

质点系的角动量：质点内所有质点对某一点的角动量矢量和。 ∑∑?==i

i

i i i v m l 为质心系的角动量

2．质点系角动量变化定理 外

=

dt

L

d 质点系角动量变化定理：质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩。 3．角动量守恒定律 若M

外

= 0，则

dt

L

d = 0，L = 常量 角动量守恒定律：在惯性系中当质点不受外力作用，或对某一固定点所受合外力矩等于零时，这个质点系对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变。

例2-18 在光滑水平面

上有一劲度系数为k 的轻弹 簧，两端各系一质量为m 的 小球，开始时弹簧处于自然 长度0l ，两小球静止。今同 时打击两小球，让它们沿垂

直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度0v 。如果在以后的运动过程中 弹簧的最大长度为20l ，求出速度0v 。

解：取弹簧和两个小球作系统。因系统在垂直方向受力为零，水平方向不受外力，则质心C 点固定不动，相对C 点系统的角动量守恒。 初始时刻系统的角动量 00000002

2mv l mv l

mv l L =+=

弹簧达到最大长度20l 时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动，设此时速度为v ，则系统的角动量为 mv l l

mv l L 00022

222=+=

由于角动量守恒L L =0，得20v v =。系统的机械能也守恒，即

200222020)2(2

1

21212121l l k mv mv mv mv -++=+ 把20v v =代入上式，整理后得到初速度 0032l m

k

v =

大学物理(第四版)课后习题及答案质点

大学物理(第四版)课 后习题及答案质点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为 3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小； （2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--= t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有

2002 1at t v x x + += 由此，可计算在0~2和4~6 s 时间间隔内各时刻的位置分别为 t /s 0 0.5 1 1.5 2 4 4.5 5 5.5 6 x /m 5.7- 10- 5.7- 0 40 48.7 55 58.7 60 用描数据点的作图方法，由表中数据可作0~2 s 和4~6 s 时间内的x －t 图。在2~4 s 时间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为 ()()()j i r h t x t -+= 船的运动速度为 ()i i i r v t r r h h r t t t x t d d 1d d d d d d 2 /12 2 2 2 -??? ? ? ?-=-= ==' 而收绳的速率t r v d d - =，且因vt l r -=0，故 ()i v 2 /12 021-??? ? ? ?-- -='vt l h v 题1.3解2：取图所示的极坐标(r ,θ)，则 θr r r d d d d d d d d d d e e e e r v t r t r t r t r t θ+=+== ' r d d e t r 是船的径向速度，θd d e t r θ是船的横向速度，而 t r d d 是收绳的速率。由于船速v '与径向速度之间夹角位θ ，所以

大学物理质点动力学习题答案

习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =--

对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得() () () N 1082.710 85.110 63781063788.9132732 63 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 h R v m f +=e 2

大学物理(第四版)课后习题及答案 质点

题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？

大学物理第1章质点运动学知识点复习及练习

第1章质点运动学（复习指南) 一、基本要求 掌握参考系、坐标系、质点、运动方程与轨迹方程得概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系,理解将运动对象视为质点得条件、 掌握位矢、位移、速度、加速度得概念;能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时得位移、平均速度、速度与加速度、会计算相关物理量得大小与方向、 二、基本内容 １.位置矢量(位矢） 位置矢量表示质点任意时刻在空间得位置,用从坐标原点向质点所在点所引得一条有向线段，用表示．得端点表示任意时刻质点得空间位置.同时表示任意时刻质点离坐标原点得距离及质点位置相对坐标轴得方位.位矢就是描述质点运动状态得物理量之一.对应注意: (１）瞬时性:质点运动时，其位矢就是随时间变化得,即.此式即矢量形式得质点运动方程. (2)相对性:用描述质点位置时，对同一质点在同一时刻得位置,在不同坐标系中可以就是不相同得．它表示了得相对性,也反映了运动描述得相对性. (3）矢量性:为矢量，它有大小，有方向,服从几何加法.在平面直角坐标系系中 位矢与x轴夹角正切值 ? 质点做平面运动得运动方程分量式:,． 平面运动轨迹方程就是将运动方程中得时间参数消去,只含有坐标得运动方程、 ２.位移 得大小?. 注意区分:(1)与,前者表示质点位置变化,就是矢量，同时反映位置变化得大小与方位.后者就是标量,反映从质点位置到坐标原点得距离得变化．(2)与,表示时间内质点通过得路程,就是标量.只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或时,. 3．速度 定义，在直角坐标系中 得方向:在直线运动中,表示沿坐标轴正向运动,表示沿坐标轴负向运动． 在曲线运动中,沿曲线上各点切线,指向质点前进得一方.

大学物理习题精选-答案解析-第2章质点动力学

质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 22 sin 21 x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01

dt m KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-????????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.

大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学之欧阳语创编

质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-①

0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速

大学物理第一章 质点运动学 习题解(详细、完整)

第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。

大学物理质点运动学的教案

第1讲：质点运动学——基本概念 内容：绪论、§1－1 1．绪论（20分钟） 2．力学的研究对象及其分类（05分钟） 3．参照系，坐标系和质点（20分钟） 4．描述质点运动的四个物理量（55分钟） 要求： 1．了解物理学的研究对象及其分类； 2．了解力学的研究对象及其分类； 3．理解参照系、坐标系和质点的概念； 4．掌握描述质点运动的四个物理量； 重点与难点： 1．描述质点运动的四个物理量； 2．微积分(Calculus)的应用。 作业： 问题：P24：1，2，3，5 习题：P25：1，3，8 预习：§1-2，§1-3，§1-4

绪论 一、物理学及其研究对象： 1．什么是物理学？ 自然界是由物质组成的，一切物质都在不停地运动着。在自然界中，既没有不运动的物质，也没有脱离物质的运动。自然界有许多运动形式，如机械运动、电磁运动、分子热运动、原子和原子核运动、化学运动和生物运动等等。所有这些运动既相互联系，又相互区别（在本质上）。物理学就是研究物质运动中最普遍、最基本的运动形式的一门学科。 物理学是研究物质的运动形态与相互作用的基本规律的科学。物理学的研究目的在于认识物质运动的普遍规律。 物理学是研究自然界基本规律的科学，它的英文单词“Physics ”来源于希腊文，原义是自然。中文的含义是“物”（物质的结构、性质）和“理”（物质的运动、变化规律），与现代观点相吻合。 2．物理学的研究对象： 机械运动 ——力学(Classical Mechanics) 分子热运动 ——热学(Thermodymics) 电磁运动 ——电磁学、光学(Electromagnetics 、Optics) 原子和原子核运动 ——原子物理学、原子核物理学(Atomics Physics) 基本粒子运动： ——基本粒子物理学(Fundamental Particle Physics) 3．物理学的分类： 物理学理论分为五大块： 经典力学（Classical Mechanics ） 热力学（Thermodynamics ） 电磁学（Electromagnetics ） 相对论（Relativity ） 量子力学（Quantum Mechanics ） 按照研究的方法，可分为：理论物理，实验物理和计算物理。 4．《大学物理学》课程的任务和目的 在大学物理中，物理学的研究内容包括：力学、热学、电磁学、振动与波、光学、相对论与近代物理学等。 1）学习物理学的基本原理、基本思想和基本方法； 2）学习力学、热学、电磁学、光学和近代物理等基本知识； 3）了解物理学的最新进展及其在自然科学中的地位和作用； 4）了解物理学知识的广泛应用。 5．学习物理学的困难 1）物理学内容广泛：涵盖力学、热学、光学、电磁学等领域； 2）时空跨度大：从经典到近代，从宏观到微观和宇观； 3）方法变化大：从中学的常量问题到应用矢量和微积分处理复杂的变量问题。 二、学习物理学的意义： 进入科学技术的任何一个领域，都必须敲开物理学的大门。 1．物理学是一门科学（素质课）。物理学本身是一门严谨的学科体系，它有系 物理理论的三部分内容： 概念：通常是抽象的、不能 直接感知； 假设：关于这些概念（物理 量）的数学表示； 关系：一个或一组方程，用 于表示物理量之间的关系。 三个提高 科学实验的能力 抽象思维的能力 计算能力

大学物理-质点运动学(答案)

大学物理-质点运动学 (答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 22 0dx h x v i v i dt x +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 1 4.54 32.52 -1 12t (s) v (m/s) v x o

大学物理-质点运动学(答案)

第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时， 质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) 2 m ． (E) 5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖 中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边 x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22 dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 220dx h x v i v i dt x +==-r r r 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=-r r r r ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处, 其速度大小为 1 4.5432.52-112 t (s) v (m/s) v ? x o

(A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 提示：22 , dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ??????=+ ∴=+ ? ? ???????r r v ［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T (C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0. 提示：平均速度大小：0r v t ?==?v r 平均速率：2s R v t T ?= =?π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ?、j ? 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 (A) 2i ?＋2j ?． (B) 2i ?＋2j ?． (C) －2i ?－2j ?． (D) 2i ?－2j ? ． 提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r 地地 ［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o 方向 吹来，人感到风从哪个方向吹来 (A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30 提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r 地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。 二. 填空题 v r 风对人 v r 地对人 v r 风对地

大学物理_第2章_质点动力学_习题答案

第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 20 (2) (31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3u v v = + 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取

如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα = ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-? ?得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放 一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止， 求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示

《大学物理学》质点运动学练习题

质点运动学学习材料 一、选择题 1．质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】 2． 一质点沿x 轴运动的规律是542 +-=t t x （SI 制）。则前三秒内它的 ( ) (A )位移和路程都是3m ； (B )位移和路程都是-3m ； (C )位移是-3m ，路程是3m ； (D )位移是-3m ，路程是5m 。 【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点： 24d x t dt =-，当t =2时，速度0d x dt υ==，所以前两秒退了4米，后一秒进了1米，路程为5米】 3．一质点的运动方程是cos sin r R t i R t j ωω=+v v v ，R 、ω为正常数。从t ＝ωπ/到t =ω π/2时间内 (1)该质点的位移是 ( ) (A ) -2R i ?； (B ) 2R i ? ； (C ) -2j ?； (D ) 0。 (2)该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) R π； (C ) 0； (D ) R πω。 【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】 4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υv 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( ) (A )大小为 2υ ，方向与B 端运动方向相同； (B )大小为2υ ，方向与A 端运动方向相同； (C )大小为2υ ， 方向沿杆身方向； (D )大小为2cos υ θ ，方向与水平方向成 θ 角。

【大学物理上册课后答案】第1章 质点运动学

第1章 质点运动学习题解答 1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r 。试在图中标出位移r ?和路程s ?，同时对||r ?和r ?的意义及它们与矢径的关系进行说明。 解：r ?和s ?如图所示。 ||r ?是矢径增量的模||A B r r -，即位移的大小；r ?是矢径 模的增量A B A B r r r r -=-|||| ，即矢径长度的变化量。 1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为 32245t t y -+=（SI ）。求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过 的路程。 解：32245t t y -+=，2624t v -=，t a 12-= )(18)0()3(m y y y =-=? )/(63 s m y v =?= )/(183 )0()3(2s m v v a -=-= s t 2=时，0=v ，质点作反向运动 )(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s =-+-=? 1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v -曲线图。设0=t 时，m 5=x 。试根据t v -图画出：(1)质点的t a -曲线图；(2)质点的t x -曲线图。 解：?? ? ??≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v （1）dt dv a = ，可求得： ?? ? ??≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v 质点的t a -曲线图如右图所示 （2）dt dx v = ，??=t x vdt dx 00 ，

大学物理习题答案02质点动力学

大学物理练习题二 一、选择题 1. 质量为ｍ的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为 Ｒ、速率为ｖ的匀速圆周运动，如下左图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （A ）mv 2j （B ）j mv 2 （C ）i mv 2 （D ）i mv 2 [ B ] 解： j mv j mv v m v m p A B )(j mv 2 ； 另解：取y 轴为运动正向， mv mv mv p 2)( ， p j mv 2 2. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为ｍ，速率为ｖ，圆半径为Ｒ， 当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 （A ）.2mv （B ） 22/2v R mg mv （C ）v Rmg / （D ）０。 [ C ] 解： v /R 2T ,2/T t ， t mgd I T 20 v /R mg (注)不能用0v m v m p I ，因为它是合力的冲量。 3. 一质点在力)25(5t m F （SI ）（式中m 为质点的质量，t 为时间）的作用下， 0 t 时从静止开始作直线运动，则当s t 5 时，质点的速率为 （A ）s m /50 （B ）s m /25 （C ）0 （D ）s m /50 [ C ] m v R

解：F 为合力，00 v ， 0525)25(55 2 5 t t t mt mt dt t m Fdt 由mv mv mv Fdt t t 00 可得0 v 解2：由知)25(5t m F 知)25(5t a ， 5 5 0)25(5dt t adt v v 0)5(55 2 0 t t v v ， （00 v ） 4. 质量分别为ｍ和４ｍ的两个质点分别以动能Ｅ和４Ｅ沿一直线相向运动，它 们的总动量大小为 （A ）,22mE （B ）mE 23， （C ）mE 25， （D ） mE 2122 。 [ B ] 解：由M p Mv E k 2212 2 ， 有k ME p 2 ， mE 2p 1 ，12p 4)E 4)(m 4(2p , 1123)(p p p p 总m E 23 5. 一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r 654 （SI ） 其中一个 力为恒力k j i F 953 （SI ），则此力在该位移过程中所作的功为 (A) 67J (B) 91J (C) 17J (D) –67J [ A ]

大学物理质点运动学

1 一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求： (1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程． 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以 平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速 度v 与坐标y 的函数关系式． 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反， 大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭 发动机后又行驶x 距离时的速度为 )exp(0Kx -=v v 其中0v 是发动机关闭时的速度． 由楼窗口以水平初速度0v 射出一发子弹，取枪口为原点，沿0v 方向为x 轴，竖 直向下为y 轴，并取发射时刻t 为0，试求： (1) 子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度． 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为22 1ct bt S += 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等 时所经历的时间． 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T ．若有恒定小风沿平行于正方 形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v ．求飞机仍沿原 正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少． 一小船相对于河水以速率v 划行．当它在流速为u 的河水中逆流而上之时，有一 木桨落入水中顺流而下，船上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可追上 此桨？ 一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向 上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

(完整版)大学物理质点运动学习题及答案

第1章 质点运动学 习题及答案 1．｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? t d d v 和dv dt 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ?｜与r ? 不同. ｜r ?｜表示质点运动位移的大小,而r ?则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？ 解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动. 3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心. 4．一物体做直线运动，运动方程为23 62x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。 解: 由于: 23 2621261212x(t )t t dx v(t )t t dt dv a(t )t dt =-==-==- 所以:（1）第二秒内的平均速度: 1(2)(1)4()21 x x v ms --==- （2）第三秒末的速度: 21(3)1236318()v ms -=?-?=- （3）第一秒末的加速度: 2 (1)121210()a ms -=-?= （4）物体运动的类型为变速直线运动。 5．一质点运动方程的表达式为2105(t t t =+r i j ），式中的,t r 分别以m,s 为单位，试求；（1）质点 的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。 解: （1）质点的速度: 205dr v ti j dt ==+r r r r

大学物理第二章质点动力学习题答案

习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉 降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d y

得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2 =- 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21 d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2)由牛顿第二定律h R v m f +=e 2 (3)卫星的运转周期 2-5试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解]设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则

大学物理第二章 质点动力学习题解答

第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' m 1g a T' m 2g a