初二下二次根式练习题目含答案

八年级下二次根式.......

一．选择题（共3小题）

1．下列各式中，二次根式的个数为（）

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

A．2 B．3 C．4 D．5

2．下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，是二次根式的有（）

A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤

3．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次

根式的有（）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．解答题（共27小题）

4．（2015春?大石桥市校级月考）求下列式子有意义的x的取值范围

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

5．若下列各式有意义，求字母的取值范围．

（1）；

（2）；

（3）．

6．求下列式子有意义的x的取值范围：

（1）（2）（3）（4）（5）（6）．

7．（2016春?台州校级月考）若x，y是实数，且y=++，求3的值．

8．已知y=++4，求|y﹣2x|﹣﹣的值．

9．已知m、n是实数，且m=++1，求2m﹣3n的值．

10．已知y=++4，求代数式y x的值．

11．设x、y均为实数，且y=+2，求+的值．

12．（2013春?大观区校级期中）已知实数a、b满足，求

的值．

13．（2015春?河北月考）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．

（1）（2）（3）（4）（5）．

14．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化简成最简二次根式．

①；②；③；④（x＞2）；⑤﹣x；⑥；

⑦（b＞0）；⑧；⑨（a＞b＞0）；⑩；?；?．15．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）（a＞0）．

16．（2015春?宁城县期末）．

17．（1）

（2）

（3）．

18．化简与计算：

（1）÷；

（2）3a?（﹣）（b≥0）．

19．（1）计算：?（÷）；

（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．

20．化简

（1）

（2）

（3）﹣

（4）

（5）．

21．（2012秋?英德市期末）化简：﹣3．

22．（2012春?槐荫区校级期中）化简：

（1）

（2）

（3）．

23．（2016春?萧山区期中）计算：（1）；

（2）．

24．（2016春?高密市校级月考）计算：

（1）+++|﹣|

（2）﹣+（﹣1）3+

（3）．

25．计算：

（1）4+﹣+4

（2）6﹣2﹣3．

26．（2016春?蚌埠期中）计算：

（1）

（2）．

27．（2016春?杭州期中）计算

（1）+﹣

（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．

28．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB的长．

29．（2013春?温州期中）如图，一道斜坡的坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，求斜边AB的长（结果保留根号）．

30．如图，一铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，AD=BC，CD=8m，路基的高度DE=6m，斜坡BC的坡

比是1：，求路基下底宽AB的长度．

八年级下二次根式.......

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．下列各式中，二次根式的个数为（）

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据二次根式的定义，形如（其中a≥0）的式子就是二次根式．

【解答】解：⑥，x＞1时，无意义，不是二次根式；

二次根式有：①③⑤⑦共4个．

故选C．

【点评】本题考查了二次根式的定义，理解定义是关键．

2．（2016春?鄂城区期中）下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，

是二次根式的有（）

A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．

【解答】解：是二次根式的有①③⑤；

②中被开方数小于0无意义，④是三次根式．

故选B．

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．

3．（2016春?临沭县校级月考）下列各式中①；②；③；④；⑤；

⑥，一定是二次根式的有（）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．

【解答】解：①当a＜0时，不是二次根式；

②当b+1＜0即b＜﹣1时，不是二次根式；

③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；

④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；

⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；

⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确，

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的定义，注意判断二次根式的方法：二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2．

二．解答题（共27小题）

4．求下列式子有意义的x的取值范围

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；

（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．

【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，

被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，

解得x＜．

所以x的取值范围是x＜．

（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，

被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；

分母x+2≠0，解得x≠﹣2．

所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．

（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，

被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；

分母x﹣2≠0，解得x≠2．

因为大于或等于3的数中不包含2这个数，

所以x的取值范围是x≥3．

（4）根据题意得：﹣x2≥0，

∵x2≥0，

∴x2=0，

解得x=0．

∴x的取值范围是x=0；

（5）根据题意得：2x2+1≥0，

∵x2≥0，

∴2x2+1＞0，

故x的取值范围是任意实数；

（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥；

2x﹣3≤0，解得x≤．

综上，可知x=．

∴x的取值范围是x=．

【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．

5．（2014春?和平区校级月考）若下列各式有意义，求字母的取值范围．

（1）；

（2）；

（3）．

【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；

（2）根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解；

（3）根据非负数的性质解答．

【解答】解：（1）由题意得，x+1≥0，

解得x≥﹣1；

（2）由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，

解得x≥﹣2且x≠1；

（3）∵a2≥0，

∴a2+3≥3，

∴字母a的取值范围是全体实数．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

6．（2013春?修水县校级月考）求下列式子有意义的x的取值范围：

（1）（2）（3）（4）（5）（6）．

【分析】分别根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：（1）由题意得，4﹣3a＞0，

解得a＜；

（2）由题意得，3﹣a≥0，

解得a≤3；

（3）由题意得，3﹣a＞0，

解得a＜3；

（4）由题意得，x+2≥0，

解得x≥﹣2；

（5）由非负数的性质，x为一切实数；

（6）由题意得，2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，

解得x≥且x≤，

所以，x=．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

7．若x，y是实数，且y=++，求3的值．

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，代入代数式计算即可．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，

解得，x=，

则y=，

3=2．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

8．（2015秋?永登县期中）已知y=++4，求|y﹣2x|﹣﹣的值．

【分析】首先根据被开方数是非负数求得x的值，则y的值即可求得，进而代入代数式求值．

【解答】解：∵，

则x=3．

∴x=3，y=4

当x=3，y=4时，原式=|4﹣6|﹣﹣=﹣8．

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，正确求得x的值是关键．

9．（2015春?蓟县期中）已知m、n是实数，且m=++1，求2m﹣3n的值．

【分析】根据二次根式有意义的条件得出m，n的值，进而代入计算即可求解．

【解答】解：∵m=++1，

∴n﹣5≥0且5﹣n≥0，

解得n=5，

∴m=++1=0+0+1=1，

∴2m﹣3n

=2﹣15

=﹣13．

故2m﹣3n的值是﹣13．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

10．已知y=++4，求代数式y x的值．

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出算式，求出x、y的值，计算即可．

【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0，

解得x=3，

则y=4，

y x=64．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

11．（2015秋?会宁县期中）设x、y均为实数，且y=+2，求+的值．

【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．

【解答】解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，

解得，x=﹣，

则y=2，

+=﹣﹣=﹣．

【点评】本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数的解题的关键．

12．已知实数a、b满足，求的值．

【分析】根据非负数的性质﹣﹣算术平方根列出关于a、b的方程组，通过解该方程组求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．

【解答】解：由题意可得，

解得，．

当时a=﹣1、b=﹣3时，原式==．

【点评】本题综合考查了非负数的性质﹣﹣算术平方根、解二元一次方程组、二次根式有意义的条件．式

子（a≥0）叫二次根式．二次根式的性质是：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．另外，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．

13．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．

（1）（2）（3）（4）（5）．

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．

（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；

（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；

（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

14．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简二次根式的化简成最简二次根式．

①；②；③；④（x＞2）；⑤﹣x；⑥；

⑦（b＞0）；⑧；⑨（a＞b＞0）；⑩；?；?．

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：②③?是最简二次根式，

①原式==9；

④原式==x﹣2；

⑤原式=﹣x=﹣；

⑥原式=；

⑦=|a|；

⑨=（a﹣b）；

⑩=；

?==．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

15．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）（a＞0）．

【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次根式的性质进行化简即可．

【解答】解：（1）=；

（2）=；

（3）是最简二次根式；

（4）=4m；

（5）=（a+3）．

【点评】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简，掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．

16．．

【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．

【解答】解：原式=3×（﹣）×2

=﹣3××2×

=﹣

=﹣×10

=﹣．

【点评】本题考查了分式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．

17．（2014春?赵县期末）（1）

（2）

（3）．

【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．

（3）直接进行开方运算即可得出答案．

【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，

=6﹣60，

=12﹣60；

（2）原式=﹣，

=18﹣75，

=﹣57；

（3）==．

【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．

18．化简与计算：

（1）÷；

（2）3a?（﹣）（b≥0）．

【分析】（1）利用二次根式除法运算法则求出即可；

（2）利用二次根式乘法运算法则求出即可．

【解答】解：（1）÷=×=；

（2）3a?（﹣）（b≥0）

=3a×（﹣）

=﹣2a

=﹣12ab．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．

19．（2014春?孝义市期末）（1）计算：?（÷）；

（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．

【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解；

（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．

【解答】解：（1）?（÷）

=?

=

=

=；

（2）由+（y﹣）2=0，

可知，=0且（y﹣）2=0，

即，

解得．

所以==．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．

20．（2014春?新疆月考）化简

（1）

（2）

（3）﹣

（4）

（5）．

【分析】（1）（2）（3）根据积的算术平方根的性质进行化简即可；

（4）根据商的算术平方根的性质进行化简即可；

（5）分子、父母同乘﹣，化简即可．

【解答】解：（1）=10；

（2）=3；

（3）﹣=﹣xy；

（4）=；

（5）==﹣2．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记积与商的算术平方根的性质是解题的关键．

21．化简：﹣3．

【分析】先分母有理化，再算除法，最后算减法．

【解答】解：原式=﹣3

=﹣3

=3﹣3

=0．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化的应用，关键是能正确分母有理化．22．（2012春?槐荫区校级期中）化简：

（1）

（2）

（3）．

【分析】（1）将二次根式的被开方数转化为32×3的形式；

（2）将被开方数同时乘以5；

（3）先分母有理化，然后计算．

【解答】解：（1）=3；

（2）==；

（3）==．

【点评】本题考查了分母有理化、二次根式的性质与化简．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

23．计算：（1）；

（2）．

【分析】（1）先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先乘方、化简二次根式，再合并同类二次根式．

【解答】解：（1）原式=4=；

（2）原式=6﹣2=6．

【点评】二次根式的加减实际就是合并同类二次根式，一般需要先化为最简二次根式，再合并．24．（2016春?高密市校级月考）计算：

（1）+++|﹣|

（2）﹣+（﹣1）3+

（3）．

【分析】（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；（2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；

（3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可．

【解答】解：（1）原式=0.5++0.7+

=1.9；

（2）原式=0.1﹣﹣+0

=﹣；

（3）原式=4+3﹣2+4

=7+2．

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．25．（2015春?东城区期末）计算：

（1）4+﹣+4

（2）6﹣2﹣3．

【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可；

（2）首先化简二次根式，进而合并求出即可．

【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4

=7+2；

（2）原式=6﹣﹣

=6﹣．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

26．（2016春?蚌埠期中）计算：

（1）

（2）．

【分析】（1）先对式子进行化简，再合并同类项即可解答本题；

（2）根据平方差公式对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．

【解答】解：（1）

=

=5；

（2）

=

=5﹣4﹣3+2

=0．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

27．计算

（1）+﹣

（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；

（2）根据平方差公式和完全平方公式把原式展开，合并同类二次根式即可．

【解答】解：（1）原式=2+4=5；

（2）原式=32﹣（）2+1+2+2=9﹣2+3+2=10+2．

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确把二次根式化简、掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

28．（2015?梅列区校级质检）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，求坡面AB 的长．

【分析】根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长．

【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，BC=10m，

∴AC=10m，

∴AB==20m．

答：坡面AB的长为20m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解题的关键．29．如图，一道斜坡的坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，求斜边AB的长（结果保留根号）．

【分析】根据坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，可求出BC的长度，然后利用勾股定理求出AB的长度即可．

【解答】解：∵坡比（BC与AC的长度之比）为1：10，AC=12m，

∴BC==，

∴AB===．

即斜边AB的长度为．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是掌握坡比的定义并根据坡比求出AC的长度．

30．如图，一铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，AD=BC，CD=8m，路基的高度DE=6m，斜坡BC的坡

比是1：，求路基下底宽AB的长度．

【分析】分别过D、C作梯形的高DE、CF，则DE=CF=6m，EF=DC=8m，由斜坡BC的坡比是1：，根

据坡比的概念得到CF：BF=1：，可计算出BF，再根据等腰梯形的性质得AE=BF=6m，利用AB=AE+EF+BF

计算即可．

【解答】解：分别过D、C作梯形的高DE、CF，如图

∴DE=CF=6m，EF=DC=8m，

∵斜坡BC的坡比是1：，

∴CF：BF=1：，

∴BF=CF=6m，

又∵四边形为等腰梯形，

∴AE=BF=6m，

∴AB=6m+8m+6m=（12+8）m．

故路基下底宽AB的长度为（12+8）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，等腰梯形的性质．掌握坡比的概念是解题的关键，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．