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2016年高考数学一轮复习数列单元检测

2016年高考数学一轮复习数列单元检测
2016年高考数学一轮复习数列单元检测

第六章 章末检测

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2011·茂名月考)已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是 ( ) A .15 B .30 C .31 D .64

2.各项均不为零的等差数列{a n }中,若a 2n -a n -1-a n +1=0 (n ∈N *

,n ≥2),则S 2 010等( ) A .0 B .2 C .2 009 D .4 020

3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

-4n +2,则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|等于 ( ) A .66 B .65 C .61 D .56 4.(2011·南阳模拟)等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则 ( ) A .a 1=1 B .a 3=1 C .a 4=1 D .a 5=1

5.(2010·东北师大附中高三月考)由a 1=1,a n +1=a n

3a n +1

给出的数列{a n }的第34项( )

A.34103 B .100 C.1100 D.1104 6.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5

7.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n

-12n ,其前n 项和S n =321

64

,则项数n 等于 ( )

A .13

B .10

C .9

D .6 8.(2010·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 ( )

A .6

B .7

C .8

D .9

9.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x +y +z 的值为 ( )

A .1

B .2

C .3

D .4

10.(2011·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方

可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )=1

2

n (n +1)(2n +1)吨,但如果年

产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )

A .5年

B .6年

C .7年

D .8年 11.在△ABC 中,tan A ,tan B ,tan C 依次成等差数列,则B 的取值范围是 ( )

A.????0,π3∪????π2,2π3

B.????0,π6∪????π2,5π6

C.????π6,π2

D.????π3,π2 12.(2010·安徽)设{a n }是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是 ( )

A .X +Z =2Y

B .Y (Y -X )=Z (Z -X )

2

13.数列{a n }的通项公式a n =1

n +n +1

,若{a n }的前n 项和为24,则n =________.

14.(2011·海口调研)在等差数列{a n }中,已知log 2(a 5+a 9)=3,则等差数列{a n }的前13项的和S 13=________.

15.将数列{3n -

1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是________.

16.(2010·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和,且S 6>S 7>S 5,有下列四个命题:①d <0;②S 11>0;③S 12<0;④数列{S n }中的最大项为S 11.

其中正确的命题是________.(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,S 10=190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)设p ,q ∈N *,试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由.

18.(12分)在等差数列{a n }中,若a 3+a 8+a 13=12,a 3a 8a 13=28,求数列{a n }的通项公式.

19.(12分)(2011·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且向量a =(n ,S n ),b =(4,n +3)共线.

(1)求证:数列{a n }是等差数列;

(2)求数列????

??

1na n 的前n 项和T n .

20.(12分)(2011·唐山月考)已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),设f (a 1),f (a 2),…,f (a n ) (n ∈N *

)是首项为4,公差为2的等差数列.

(1)设a 为常数,求证:{a n }成等比数列;

(2)若b n =a n f (a n ),{b n }的前n 项和是S n ,当a =2时,求S n .

21.(12分)(2011·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同,且a 1+2a 2+22a 3+…+2n -1

a n =8n 对任意n ∈N *都成立,数列{

b n +1-b n }是等差数列.

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;

(2)是否存在k ∈N *,使得(b k -a k )∈(0,1)?请说明理由.

22.(12分)为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2006年底,将当地沙漠绿化了40%,从2007年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg 2=0.3,最后结果精确到整数)

答案 1.A [由{a n }是等差数列知a 7+a 9=2a 8=16,∴a 8=8.又a 4=1,∴a 12=2a 8-a 4=15.]

2.D [a 2n =a n -1+a n +1=2a n ,a n ≠0,∴a n =2. ∴S n =2n ,S 2 010=2×2 010=4 020.] 3.A [当n =1时,a 1=S 1=-1; 当n ≥2时,

a n =S n -S n -1=n 2-4n +2-[(n -1)2-4(n -1)+2]=2n -5, ∴a 2=-1,a 3=1,a 4=3,…,a 10=15, ∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|

=1+1+8(1+15)

2

=2+64=66.]

4.B [因为{a n }是等比数列,所以a 1·a 5=a 2·a 4=a 23,代入已知式T 5=1,得a 5

3=1,所以a 3=1.]

5.C [由a n +1=a n 3a n +1知,1a n +1=1

a n

+3,

∴??????

1a n 是以1为首项,公差为3的等差数列. ∴1

a n

=1+(n -1)×3=3n -2. ∴a n =13n -2,a 34=13×34-2=1

100.]

6.B [∵S n =n 2-9n ,

∴n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -10, a 1=S 1=-8适合上式, ∴a n =2n -10 (n ∈N *),

∴5<2k -10<8,得7.5

7.D [∵a n =1-1

2

n ,

∴S n =????1-12+????1-14+????1-18+…+????1-12n =n -????12+14+18+…+12n =n -12????1-????12n 1-12=n -1+12n .

∵S n =32164,∴n -1+12n =32164=5+164

.

∴n =6.]

8.A [设该数列的公差为d , 则由a 4+a 6=-6得2a 5=-6, ∴a 5=-3.又∵a 1=-11, ∴-3=-11+4d ,∴d =2,

∴S n =-11n +n (n -1)

2

×2=n 2-12n =(n -6)2-36,故当n =6时S n 取最小值.]

9.B [由表格知,第三列为首项为4,第二项为2的等比数列,∴x =1.

根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,5

2

,故该数列所成等比数列的公比

为12

,∴y =5×????123=58,同理z =6×????124=38.故x +y +z =2.] 10.C [由题意知第一年产量为a 1=1

2

×1×2×3=3;以后各年产量分别为a n =f (n )-f (n

-1)=12n (n +1)·(2n +1)-12n (n -1)(2n -1)=3n 2 (n ∈N *),令3n 2≤150,∴1≤n ≤52,∴

1≤n ≤7.

故生产期限最大为7年.]

11.D [由已知得2tan B =tan A +tan C >0(显然tan B ≠0,若tan B <0,因为tan A >0且tan C >0,tan A +tan C >0,这与tan B <0矛盾),

又tan B =-tan(A +C )=-tan A +tan C

1-tan A tan C

=-2tan B

1-tan A tan C

≠0,所以tan A tan C =3.

又∵tan A +tan C ≥2tan A tan C =23, ∴tan B ≥3,∵B ∈(0,π)

∴B 的取值范围是????

π3,π2.]

12.D [由题意知S n =X ,S 2n =Y ,S 3n =Z . 又∵{a n }是等比数列,

∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 为等比数列, 即X ,Y -X ,Z -Y 为等比数列, ∴(Y -X )2=X ·(Z -Y ),

即Y 2-2XY +X 2=ZX -XY , ∴Y 2-XY =ZX -X 2, 即Y (Y -X )=X (Z -X ).] 13.624

解析 a n =1

n +n +1=n +1-n .

∴(2-1)+(3-2)+…+(n +1-n )=24, ∴n +1=25,∴n =624. 14.52

解析 ∵log 2(a 5+a 9)=3,∴a 5+a 9=23=8.

∴S 13=13×(a 1+a 13)2=13×(a 5+a 9)2=13×8

2

=52.

15.34 950

解析 由“第n 组有n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,1为

公差的等差数列,前99组数的个数共有(1+99)×99

2

=4 950个,故第100组中的第1个数

是34 950.

16.①②

解析 由S 6>S 7得a 7<0, 由S 6>S 5得a 6>0, 由S 7>S 5得a 6+a 7>0.

因为d =a 7-a 6,∴d <0;

S 11=a 1+a 2+…+a 11=(a 1+a 11)+(a 2+a 10)+…+a 6=11a 6>0,S 12=a 1+a 2+…+a 12=

(a 1+a 12)+(a 2+a 11)+…+(a 6+a 7)=6(a 6+a 7)>0;

∵a 6>0,a 7<0,∴{S n }中S 6最大. 故正确的命题为①②.

17.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则

????

?

2d =810a 1

+10×9

2d =190,………………………………………………………………(4分) 解得a 1=1,d =4,∴a n =4n -3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q =(4p -3)(4q -3)=16pq -12(p +q )+9 =4[4pq -3(p +q )+3]-3,

∵4pq -3(p +q )+3∈N *,………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项.……………………………………………………………(10分) 18.解 ∵a 3+a 13=2a 8,a 3+a 8+a 13=12, ∴a 8=4,…………………………………………………………………………………(2分)

则由已知得?????

a 3+a 13=8,

a 3a 13

=7,

解得?????

a 3=1,a 13=7,或?????

a 3=7,

a 13

=1.…………………………………………………………(7分)

由a 3=1,a 13=7,

可知d =a 13-a 313-3

=7-110=3

5.

故a n =a 3+(n -3)·35=35n -4

5

;……………………………………………………………(9分)

由a 3=7,a 13=1,

可知d =a 13-a 313-3

=1-710=-3

5.

故a n =a 3+(n -3)·???

?-35 =-35n +44

5

.……………………………………………………………………………(11分)

综上可得,a n =35n -45,或a n =-35n +44

5

.……………………………………………(12分)

19.(1)证明 ∵a =(n ,S n ),b =(4,n +3)共线,

∴n (n +3)-4S n =0,∴S n =n (n +3)

4

.……………………………………………………(3分)

∴a 1=S 1=1,

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n +1

2,……………………………………………………(5分)

又a 1=1满足此式,∴a n =n +1

2

.………………………………………………………(6分)

∴a n +1-a n =1

2

为常数,

∴数列{a n }为首项为1,公差为1

2的等差数列.………………………………………(7分)

(2)解 ∵1na n =2

n (n +1)=2????1n -1n +1,

…………………………………………………(9分) ∴T n =1a 1+12a 2+…+1

na n

.

=2????1-12+2????12-1

3+…+2????1n -1n +1=2n n +1.……………………………………(12分)

20.(1)证明 f (a n )=4+(n -1)×2=2n +2,…………………………………………(2分)

即log a a n =2n +2,可得a n =a 2n +

2.

∴a n

a n -1=a 2n +2a 2(n -1)+2=a 2n +2a 2n =a 2 (n ≥2)为定值.………………………………………………………………………(4分)

∴{a n }为以a 2

为公比的等比数列.……………………………………………………(5分)

(2)解 b n =a n f (a n )=a 2n +2log a a 2n +

2

=(2n +2)a 2n +

2.…………………………………………………………………………(7分)

当a =2时,b n =(2n +2)(2)2n +

2

=(n +1)2n +

2.

S n =2·23+3·24+4·25+…+(n +1)·2n +

2,①

2S n =2·24+3·25+4·26+…+n ·2n +2+(n +1)·2n +

3,② ①-②,得

-S n =2·23+24+25+…+2n +2-(n +1)·2n +

3 …………………………………………(9分)

=16+24(1-2n -

1)1-2

-(n +1)·2n +

3

=16+2n +3

-24-n ·2n +3-2n +3=-n ·2n +3.

∴S n =n ·2n +

3.……………………………………………………………………………(12分)

21.解 (1)已知得a 1+2a 2+22a 3+…+2n -

1a n =8n (n ∈N *),①

当n ≥2时,a 1+2a 2+22a 3+…+2n -

2a n -1=8(n -1).②

由①-②,得2n -1a n =8.∴a n =24-

n .……………………………………………………(3分)

在①中,令n =1,得a 1=8=24-

1,

∴a n =24-

n (n ∈N *).

由题意知b 1=8,b 2=4,b 3=2, ∴b 2-b 1=-4,b 3-b 2=-2,

∴数列{b n +1-b n }的公差为-2-(-4)=2.

∴b n +1-b n =-4+(n -1)×2=2n -6.…………………………………………………(5分) ∴b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1) =8+(-4)+(-2)+…+(2n -8)

=n 2-7n +14(n ∈N *).…………………………………………………………………(7分)

(2)∵b k -a k =k 2-7k +14-24-

k ,

设f (k )=k 2-7k +14-24-

k ,

当k ≥4时,f (k )=(k -72)2+74

-24-

k ,单调递增,

且f (4)=1.

∴k ≥4时,f (k )=k 2-7k +4-24-

k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)=f (2)=f (3)=0,…………………………………………………………………(11分)

∴不存在k ∈N *

,使得(b k -a k )∈(0,1).………………………………………………(12分)

22.解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a 1=2

5

,经过n 年后绿洲面积为a n +1,

设2006年底沙漠面积为b 1,经过n 年后沙漠面积为b n +1,则a 1+b 1=1,a n +b n =1.…(3分)

依题意a n +1由两部分组成:一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ,另一部分是新绿化的12%·b n ,

∴a n +1=92%·a n +12%(1-a n ) =45a n +3

25

,………………………………………………………………………………(6分) 即a n +1-35=45(a n -3

5).

∴{a n -35}是以-15为首项,4

5

为公比的等比数列,

则a n +1=35-15·(45

)n

.………………………………………………………………………(9分)

∵a n +1>50%,∴35-15·(45)n >1

2.

∴(45)n <12,n >45

1log 2

=lg 2

1-3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时,不等式(45)n <1

2

恒成立.

∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)

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目录 第七章数列 (2) 第一节等差数列 (2) 题型73、等差数列基本运算 (2) 题型74、等差数列判定与证明 (3) 题型75、等差数列性质及结论的应用 (4) 题型76、等差数列前n项和的最值 (5) 第二节等比数列 (6) 题型77、等比数列基本运算 (6) 题型78、等比数列的判定与证明 (6) 题型79、等比数列的性质和结论 (8) 第三节数列的通项公式和前n项和公式 (9) 题型80、数列求通向公式 (9) 80.1、累加法: (9) 80.2、累乘法: (10) 80.3、待定系数法: (11) 80.4、对数变换法: (16) 80.5、倒数变换法: (17) 80.6、阶差法(逐项相减法): (17) 题型81、数列求前n项和 (20) 81.1、利用常用求和公式求和 (20) 81.2、错位相减法求和 (21) 81.3、分组法求和 (22) 81.4、裂项法求和 (23) 81.5、反序相加法求和 (25) 81.6、分段求和 (26)

第六章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要: ? 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数). ? 等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). ? 等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b 2,其中A 叫做a ,b 的等差中项. ? 等差中项的推论:在等差数列中,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). 若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *). ? 前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当d >0时,数列为递增数列;当d <0时,数列为递减数列. 2. 公差不为0时,S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).S n 是关于n 的二次函数,且常数项为0. ? 典型例题精讲精练: 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )B A .-12 B .-10 C .10 D .12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=4,S 4=22,a n =28,则n =( )D A .3 B .7 C .9 D .10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( )B A .1 B .2 C .3 D .4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3·a 5=12,a 2=0.若a 1>0,则S 20=( )D A .420 B .340 C .-420 D .-340 5. 在等差数列{a n }中,已知a 5+a 10=12,则3a 7+a 9=( )C A .12 B .18 C .24 D .30

2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列与三角函数

2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列 考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实际问题. §03. 数 列 知识要点 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1;md a a n m n +=- q a a n n 1-=;m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a (0,1≠q a ) 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和

1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 等比数列 定义 常数)为(}{1d a a P A a n n n =-??+ 常数) 为(}{1q a a P G a n n n =? ?+ 通项公 式 n a =1a +(n-1)d=k a +(n-k ) d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公式 n d a n d d n n na a a n s n n )2(22) 1(2)(1211-+=-+=+= ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 中项公式 A= 2 b a + 推广:2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。推广:m n m n n a a a +-?=2 性 质 1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ,则q p n m a a a a =。 2 若}{n k 成A.P (其中N k n ∈)则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 (其中N k n ∈),则}{n k a 成等比数列。 3 .n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。 4 )(11n m n m a a n a a d n m n ≠--=--= 1 1a a q n n = - , m n m n a a q = - )(n m ≠ 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- 中项 2 k n k n a a A +-+= (0,,* k n N k n ∈) ) 0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=(0,,* k n N k n ∈) 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= () ? ?? ??≥--=--==)2(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(* q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?

高考数学一轮复习专题:数列求和(教案及同步练习)

1.等差数列的前n 项和公式 S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d . 2.等比数列的前n 项和公式 S n =???? ? na 1,q =1,a 1-a n q 1-q =a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 3.一些常见数列的前n 项和公式 (1)1+2+3+4+…+n =n (n +1) 2. (2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2. (3)2+4+6+8+…+2n =n (n +1). (4)12+22+…+n 2=n (n +1)(2n +1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的裂项公式 ① 1n (n +1)=1n -1 n +1 ;

②1(2n -1)(2n +1)=12????1 2n -1-12n +1; ③ 1 n +n +1 =n +1-n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( √ ) (2)当n ≥2时,1n 2-1=12(1n -1-1 n +1 ).( √ ) (3)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × ) (4)数列{12n +2n -1}的前n 项和为n 2+1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°=44.5.( √ ) 1.(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2,且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2+7n 4 B.n 2+5n 3 C.2n 2+3n 4 D .n 2+n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ,则a 1=2, a 3=2+2d ,a 6=2+5d . 又∵a 1,a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1·a 6.

高考理科数学一轮复习专题训练:数列(含详细答案解析)

第7单元 数列(基础篇) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=12,S 5=90,则等差数列{a n }公差d =( ) A .2 B . 32 C .3 D .4 【答案】C 【解析】∵a 1=12,S 5=90,∴54 512902 d ??+=,解得d =3,故选C . 2.在正项等比数列{}n a 中,已知42a =,81 8 a =,则5a 的值为( ) A .14 B .14 - C .1- D .1 【答案】D 【解析】由题意,正项等比数列{}n a 中,且42a =,818 a =,可得 4 84116a q a ==, 又因为0q >,所以12q = ,则541 212 a a q =?=?=,故选D . 3.在等差数列{}n a 中,51340a a +=,则8910a a a ++=( ) A .72 B .60 C .48 D .36 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质可知:513994024020a a a a +=?=?=, 89109992360a a a a a a ==++=+,故本题选B . 4.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”. 其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于( ) A . 700 127 里 B . 350 63 里 C . 280 51 里 D . 350 127 里 【答案】A 【解析】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ,是公比为 1 2 的等比数列,

高考数学第一轮复习数列

数列 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3S 6=13,则S 6 S 12 等于( ) A.13 B.15 C.18 D.19 2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ) A .8 B .7 C .6 D .5 3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=3,前3项和S 3=21,则a 3+a 4+a 5=( ) A .2 B .33 C .84 D .189 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 7-a 10=5,a 11-a 4=7,则S 13等于( ) A .152 B .154 C .156 D .158 5.已知数列{a n }中,a 1=b (b >1),a n +1=-1 a n +1 (n ∈N *),能使a n =b 的n 可以等于( ) A .14 B .15 C .16 D .17 6.数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -1(n ∈N *),则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1 a n a n +1 的结果可化为 ( ) A .1-14n B .1-12n C.23????1-14n D.2 3??? ?1-12n 7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15 a 15 中最大的是( ) A.S 6a 6 B.S 7a 7 C.S 8a 8 D.S 9a 9 8.已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m a n =4a 1,则1m +4 n 的最 小值为( ) A.32 B.53 C.256 D.43 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置) 9.在等比数列{a n }中,a 5·a 11=3,a 3+a 13=4,则a 15 a 5 =________. 10.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=5a n -13 3a n -7 (n ∈N *),则数列{a n }的前100项的和为________. 11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10=________. 12.数列{a n }中,a 1=35,a n +1-a n =2n -1(n ∈N *),则a n n 的最小值是________. 13.已知a ,b ,c 是递减的等差数列,若将数列中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则a 2+b 2 c 2 的值为________. 14.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示:

高三数学一轮复习教学案(数列)

数列的通项(一) 复习要求: 1、熟练地掌握求数列通项公式的常见方法; 2、掌握由递推公式()1n n a Aa f n +=+、 ()1 n n a f n a +=、1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+求数列的通项 基础练习: 1、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且510S 10,S =40=,则n a = 2、数列2,8,26,80,…的一个通项公式为 3、已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+,则n a = 例题讲解: 例1、已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211 ,求n a 变式:数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 1 1+= +,求n a 例2、已知数列{}n a 中,111,21n n a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式 变式:数列{}n a 中,()111,232n n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式 数列的通项作业(1)

1、已知数列21,203,2005,20007,,则它的一个通项公式为 2、数列{}n a 中,148,2a a ==,且满足:*2120()n n n a a a n N ++-+=∈,则n a = 3.数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列,数列{}a n 的通项公式 4.设{}n a 是首项为1的正项数列,且22 11(1)0(1 ,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==,它 的通项公式是 5.1)已知数列{}n a 中,32,211+==+n n a a a ,则数列{}n a 的通项 2)已知数列{}n a 中,()111,222n n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式 7.1)已知数列{}n a 满足:{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 2)在数列{}n a 中,1102-1n n a a a n ++=,=,求n a 8.已知数列{}a n 31=a ,n n a n n a 2 31 31+-= +,求n a 9.在数列{}n a 中,12a =,1431n n a a n +=-+,* n N ∈。 (1)证明数列{}n a n -是等比数列;2)求数列{}n a 的前n 项和n S ; 数列的通项(二)

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列 一、 知识梳理 概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式,即)(n f a n =. 3.递推公式:如果已知数列 {}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几 项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数 列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推 公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21; ②???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项 如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即:A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ,A ,b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法:d a a n n =-+1 (+∈N n ,d 是常数)? {}n a 是等差数列; ⑵中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列,则数列{}p a n +、{}n pa (p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列{}n a 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等 差数列,公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则q p n m a a a a +=+; ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ,则? ?? ???n S n 是等差数列;

高考数学一轮复习 6.4 数列求和精品教学案(学生版) 新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案6.4 数列求和(新课标人教版, 学生版) 【考纲解读】 1.掌握等差、等比数列求和的基本公式及注意事项. 2.理解并能运用数列求和的其他常见方法. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有,在解答题中,经常与不等式、函数等知识相结合,在考查数列知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合,或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 【例题精析】 考点一公式法与分组求数列的和 例1.求 1111 1,2,3,,(), 2482n n+前n项和. 【变式训练】 1.(2012年高考重庆卷文科11)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 4 S=考点二裂项相消法求数列的和

例2.(2010年高考山东卷文科18)已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令2 1 1 n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【变式训练】 2.计算 1111 1447710 (32)(31) n n ++++ ???-+= . 考点三 错位相减法求数列的和 例3.(2012年高考浙江卷文科19)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2 2n n +,n ∈N ﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n ∈N ﹡. (1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 【变式训练】 3. (山东省济南市2012年2月高三定时练习) 已知数列{}n a 为等差数列,且11=a ,55=a ;设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且2n n b S =-. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若(1,2,3,),n n n n c a b n T =?=…为数列{}n c 的前n 项和,求.n T 【易错专区】 问题:错位相减法求数列的和 例. (2012年高考江西卷理科16)已知数列{a n }的前n 项和2 1()2 n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ,求a n ; (2)求数列92{ }2n n a -的前n 项和T n 。 【课时作业】 1.(2012年高考重庆卷)在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 2.(2012年高考全国卷)已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列 11n n a a +?????? 的前100项和为( )

山西省高考数学一轮复习:27 数列的概念与简单表示法

山西省高考数学一轮复习:27 数列的概念与简单表示法
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题;共 24 分)
1. (2 分) (2016 高二上·吉林期中) 已知数列 ,3, A . 第 12 项 B . 第 13 项 C . 第 14 项 D . 第 15 项
,…,
,那么 9 是数列的( )
2. (2 分) (2016 高一下·蓟县期中) 数列 1, , , , 的一个通项公式 an 是( )
A.
B.
C.
D.
3. (2 分) 等差数列 及等比数列 中,
则当 时有( )
A.
B.
C.
D.
4. (2 分) 已知数列{an}中,an=(n∈N*),则在数列{an}的前 50 项中最小项和最大项分别是( )
A . a1 , a50
B . a1 , a8
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C . a8 , a9
D . a9 , a50
5. (2 分) 已知数列 3,7,11,…,139 与 2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
6. (2 分) 在数列 中, =1,
, 则 的值为 ( )
A . 99
B . 49
C . 102
D . 101
7. (2 分) (2018·安徽模拟) 删去正整数数列 列的第 2018 项是( )
中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个数
A.
B.
C.
D.
8. (2 分) (2018 高三上·荆门月考) A. B.
()
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2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示课后作业理

2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示课后作 业理 一、选择题 1.(xx·海南三亚一模)在数列1,2,7,10,13,…中,219是这个数列的( ) A .第16项 B .第24项 C .第26项 D .第28项 答案 C 解析 设题中数列为{a n },则a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,…,所以a n =3n -2.令3n -2=219=76,解得n =26.故选C. 2.数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N * 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2 ,则a 3+a 5 = ( ) A.6116 B.259 C.2516 D.3115 答案 A 解析 解法一:令n =2,3,4,5,分别求出a 3=94,a 5=2516,∴a 3+a 5=61 16.故选A. 解法二:当n ≥2时,a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2 ,a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2 . 两式相除得a n =? ?? ??n n -12,∴a 3=94,a 5 =2516, ∴a 3+a 5=61 16 .故选A. 3.(xx·安徽江南十校联考)在数列{a n }中,a n +1-a n =2,S n 为{a n }的前n 项和.若S 10=50,则数列{a n +a n +1}的前10项和为( ) A .100 B .110 C .120 D .130 答案 C 解析 {a n +a n +1}的前10项和为a 1+a 2+a 2+a 3+…+a 10+a 11=2(a 1+a 2+…+a 10)+a 11 -a 1=2S 10+10×2=120.故选C. 4.(xx·广东测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =32(a n -1)(n ∈N * ),则a n =( ) A .3(3n -2n ) B .3n +2 C .3n D .3·2 n -1 答案 C 解析 由题意知????? a 1 =S 1 =3 2 a 1-,a 1 +a 2 =3 2 a 2- , 解得??? ?? a 1=3, a 2=9, 代入选项逐一检验,只有 C 符合.故选C. 5.(xx·金版原创)对于数列{a n },“a n +1>|a n |(n =1,2,…)”是“{a n }为递增数列”的

高考数学一轮复习资料,数列题型归纳

高考数学数列题型归纳 目录 第六章数列 (1) 第一节等差数列 (1) 题型73、等差数列基本运算 (1) 题型74、等差数列判定与证明 (2) 题型75、等差数列性质及结论的应用 (3) 题型76、等差数列前n项和的最值 (4) 第二节等比数列 (5) 题型77、等比数列基本运算 (5) 题型78、等比数列的判定与证明 (6) 题型79、等比数列的性质和结论 (7) 第三节数列的通项公式和前n项和公式 (8) 题型80、数列求通向公式 (8) 80.1、累加法: (9) 80.2、累乘法: (9) 80.3、待定系数法: (10) 80.4、对数变换法: (15) 80.5、倒数变换法: (16) 80.6、阶差法(逐项相减法): (17) 题型81、数列求前n项和 (19) 81.1、利用常用求和公式求和 (19) 81.2、错位相减法求和 (20) 81.3、分组法求和 (21) 81.4、裂项法求和 (22) 81.5、反序相加法求和 (24) 81.6、分段求和 (25)

第六章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要: ? 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数). ? 等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). ? 等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b 2,其中A 叫做a ,b 的等差中项. ? 等差中项的推论:在等差数列中,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). 若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *). ? 前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当d >0时,数列为递增数列;当d <0时,数列为递减数列. 2. 公差不为0时,S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).S n 是关于n 的二次函数,且常数项为0. ? 典型例题精讲精练: 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )B A .-12 B .-10 C .10 D .12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=4,S 4=22,a n =28,则n =( )D A .3 B .7 C .9 D .10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( )B A .1 B .2 C .3 D .4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3·a 5=12,a 2=0.若a 1>0,则S 20=( )D A .420 B .340 C .-420 D .-340 5. 在等差数列{a n }中,已知a 5+a 10=12,则3a 7+a 9=( )C A .12 B .18 C .24 D .30

2021届高考数学一轮复习训练数列

专题三 数列 1.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =7n +45n -3,则使得a n b n 为整数的正整 数n 的个数是( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 2.已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1S n +(S n -1)2=0(n ∈N *),其中S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的n 均有(S 1+1)(S 2+1)…(S n +1)≥kn 恒成立,则k 的最大整数值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 3.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,(n +1)a n +1=(n -1)S n ,则S n =__________. 4.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,且S n =4-??? ?1+2 n a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是a n =________. 5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=48,a 5=28,S n +30>nλ对一切n ∈N *恒成立,则λ的取值范围为____________. 6.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,a 1=0,其前n 项和为S n ,且a 2+2,S 3,S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =(2n +2)22n +S n +1 ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n -2n <3 2. 7.(2018年湖北宜昌部分示范高中教学协作体期中联考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 是1与a n 的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n 为数列???? ??2a n a n +1的前n 项和,证明:2 3≤T n <1(n ∈N )*.

高考数学(数列)第一轮复习

第 1 页 共 8 页 1 高考数学(数列)第一轮复习资料 知识点小结 1. 等差数列的定义与性质 () 定义:为常数,a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项:,,成等差数列x A y A x y ?=+2 ()() 前项和n S a a n na n n d n n =+=+-11212 {}性质:是等差数列a n ()若,则;1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}()数列,,仍为等差数列;2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ,,……仍为等差数列;232-- ()若三个数成等差数列,可设为,,;3a d a a d -+ ()若,是等差数列,为前项和,则;42121 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}()为等差数列(,为常数,是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数) {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界=+2 项,即: 当,,解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 0000><≥≤???+ 当,,由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 110000 <>≤≥???+ {}如:等差数列,,,,则a S a a a S n n n n n n =++=== --1831123 (由,∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

高三数学一轮复习考试试题精选数列

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编18:数列 一、选择题 1 .(山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)观察下列等式: 211= 22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=- 照此规律, 第n 个等式可为__________________________ 【答案】12 2 2 1 2 (1)(1) 123(1) 2 n n n n n ++-+-+- +-= 2 .(山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学(理)试题)在等差数列 {}()()135792354n a a a a a a ++++=中, ,则此数列前10项的和10S = ( ) A .45 B .60 C .75 D .90 【答案】A 3 .(山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学(理)试题)在等差数列 {} n a 中,141,5a a =-=,则{}n a 的前5项和5S = ( ) A .15 B .7 C .20 D .25 【答案】A 4 .(山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理))已知数列{ a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n —1),则a 2等于 ( ) A .4 B .2 C .1 D .-2 【答案】A 5 .(山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知{a n }是由正数组成 的等比数列,S n 表示数列{a n }的前n 项的和,若a 1=3,a 2a 4=144,则S 5的值为 ( ) A .692 B .69 C .93 D .189 【答案】C 6 .(山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)设S n 是等差数列

高三数学第一轮复习数列知识点很全.docx

高三数学第一轮复习——数列 一、知识梳理 数列概念 1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项 . 2. 通项公式:如果数列a n 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示 , 那么这个公式叫做这个数列的 通项公式,即 a n f (n) . 3. 递推公式:如果已知数列 a n 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1 (或前几 项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1, a n 2 ) ,那么这个式子叫做数 列 a n 的递推公式 . 如数列 a n 中, a 1 1, a n 2a n 1,其中 a n 2a n 1 是数列 a n 的递推 公式 . 数列的前 n 项和与通项的公式 4. ① S n a 1 a 2 a n ; ② a n S 1 (n 1) S n . S n 1 (n 2) 5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法 . 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界 数列 . ①递增数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ②递减数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n . ③摆动数列 : 例如 :1,1, 1,1, 1, . ④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . ⑤有界数列 : 存在正数 M 使 a n M , n N . ⑥无界数列 : 对于任何正数 M , 总有项 a n 使得 a n M . 等差数列 1. 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数 称为等差数列的公差 . d ,这个数列叫做等差数列, 常数 d 2. 通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n a 1 (n 1) d , a 1 为首项, d 为公差 . ⑵前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) 或 S n na 1 1 n(n 1) d . 2 2 3. 等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 即: A 是 a 与 b 的等差中项 2 A a b a , A , b 成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法 ⑴定义法: a n 1 a n d ( n N , d 是常数) a n 是等差数列; ⑵中项法: 2a n 1a n a n 2 ( n N ) a n 是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质 ⑴数列 a n 是等差数列,则数列 a n p 、 pa n ( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 a n 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 a n , a n k , a n 2k , a n 3k , 为等 差数列,公差为 kd . ⑶ n m ( ) a n an b a b S n an 2 bn ( , b 是常数, a 0 ) a a n m d ; ( , 是常数 ) ; a

新人教A版版高考数学一轮复习第六章数列数列的综合应用教案文

等差数列与等比数列的综合问题(师生共研) (2018·高考北京卷)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式; (2)求e a1+e a2+…+e a n. 【解】(1)设{a n}的公差为d. 因为a2+a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以a n=a1+(n—1)d=n ln 2. (2)因为e a1=e ln 2=2,错误!=e a n—a n—1=e ln 2=2, 所以{e a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以e a1+e a2+…+e a n=2×错误!=2(2n—1)=2n+1—2. 错误! 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定最终解决问题需要首先求解的中间问题,如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. [提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后要注意结论的整合.(2020·吉林第一次调研测试)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a n+1

=2a n+1. (1)证明:{a n+1}为等比数列; (2)求{a n}的通项公式,并判断n,a n,S n是否成等差数列?说明理由. 解:(1)证明:因为a2=3,a2=2a1+1,所以a1=1, 因为a n+1=2a n+1,所以a n+1+1=2(a n+1), 所以{a n+1}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,a n+1=2n,所以a n=2n—1, 所以S n=错误!—n=2n+1—n—2, 所以n+S n—2a n=n+2n+1—n—2—2(2n—1)=0, 所以n+S n=2a n,即n,a n,S n成等差数列. 数列的实际应用与数学文化(师生共研) (2020·重庆八中4月模拟)某地区人口总数为45万.实施“二孩”政策后,专家估计人口总数将发生如下变化:从开始到2028年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2029年开始到2038年,每年人口总数为上一年的99%. (1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n(单位:万人)的表达式(注:为第一年); (2)若“二孩”政策实施后的到2038年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2038年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.9910≈0.9) 【解】(1)由题意知,当1≤n≤10时,数列{a n}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得a n=45.5+0.5×(n—1)=0.5n+45,则a10=50; 当11≤n≤20时,数列{a n}是公比为0.99的等比数列,则a n=50×0.99n—10. 故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n(单位:万人)的表达式为 a n=错误!

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