2018版 第2章 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 学业分层测评

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为3

5的椭圆的标准方程是()

A.

x2

100＋

y2

36＝1 B.

x2

100＋

y2

64＝1

C.x2

25＋

y2

16＝1 D.

x2

25＋

y2

9＝1

【解析】由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝c

a＝

3

5，

解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为x2

25＋

y2

16＝1，故选C.

【答案】 C

2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为()

A.1

2 B.

1

3

C.1

4 D.

2

2

【解析】由题意知a＝2c，∴e＝c

a＝

c

2c＝

1

2.

【答案】 A

3.曲线x2

25＋

y2

9＝1与

x2

9－k

＋

y2

25－k

＝1(0

【导学号：37792055】

A.有相等的焦距，相同的焦点

B.有相等的焦距，不同的焦点

C.有不等的焦距，不同的焦点

D.以上都不对

【解析】曲线x2

25＋

y2

9＝1的焦距为2c＝8，而曲线

x2

9－k

＋

y2

25－k

＝1(0＜k＜

9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.

【答案】 B

4.如图2-2-4，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为(

)

图2-2-4

A.15

B.25

C.55

D.255

【答案】 D

5.已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2

3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )

A.513

B.－

513 C.21313 D.－21313

【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.

不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 20

3＝1， 解得y 0＝±

3

2，

所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝

12

＋? ??

??322

＝132.

由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝? ????1322＋? ??

??1322－3

22×132×13

2＝－

513.

【答案】 B

6.已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________.

【导学号：37792056】

【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.

【答案】 1

2

7.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ? ????

x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB

＝y 2－y 1

x 2－x 1

， k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 2

1

x 22－x 21， b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，

得b

2

(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 2

1)＝0，即y 22－y 2

1x 22－x 21

＝－b 2a 2.

【答案】 －b 2

a

2

8.已知P (m ，n )是椭圆x 2

＋y 2

2＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是

________.

【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2

＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 2

2＝1，

即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.

【答案】 [1,2]

9.(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为5

5的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.

【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，

∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0). 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0).

∵e ＝c a ＝5

5，c ＝5， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2

20＝1. (2)因为椭圆的焦点在x 轴上，

所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2

c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 2

20＝1.

10.设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率.

【导学号：37792057】

【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a

2，设P ? ????

a 2，y ，由点P 在椭圆上，得? ???

?a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ? ????a 2，32b ，又∠OP A

＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝3

2b a 2

＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c

a ＝

a2－b2 a＝(3b)2－b2

3b＝

22

3.

[能力提升]

1.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()

A.

2

2 B.2－1

C.2－ 2

D.2－1 2

【解析】设椭圆的方程为x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)，

由题意得|PF2|＝b2

a＝2c，

即a2－c2

a＝2c，

得离心率e＝2－1，故选B.【答案】 B

2.“m＝3”是“椭圆x2

4＋

y2

m＝1的离心率为

1

2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】椭圆x2

4＋

y2

m＝1的离心率为

1

2，

当0

2＝

1

2，得m＝3，

当m>4时，m－4

m

＝

1

2，得m＝

16

3，

即“m＝3”是“椭圆x2

4＋

y2

m＝1的离心率为

1

2”的充分不必要条件.

【答案】 A

3.已知椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且

BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →

，则椭圆的离心率是________.

【解析】 由AP →＝2PB →

，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ， 则离心率e ＝1

2. 【答案】 1

2

4.已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2

20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .

(1)求点P 的坐标；

【导学号：37792058】

(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.

【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，

则AP →＝(x ＋6，y )，FP →

＝(x －4，y ). 由已知得?????

x 236＋y 220

＝1，

(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，

则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝3

2或x ＝－6. 由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝5

2 3. 所以点P 的坐标是? ????

32，523.

(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|

2，又B (6,0)，

于是|m ＋6|

2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2，

设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有

d 2

＝(x －2)2

＋y 2

＝x 2

－4x ＋4＋20－59x 2

＝49? ??

??

x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝9

2时，d 取最小值为15.