因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B
15.已知集合A ＝????
??x ???12＜2x
＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R}，若x ∈B
成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 解析
A ＝????
??x ???12＜2x
＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A
B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.
答案 (2，＋∞)
16.(2016·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；②命题：“?x∈R，sin x≤1”的
否定是“?x0∈R，sin x0>1”；③“若x＝π
4，则tan x＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
解析①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误.
对于②，命题：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”，故②正确.
对于③，“若x＝π
4，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝
π
4”，其为
假命题，故③错误.
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝
1
log23≠－log32，
∴log32与log23不互为相反数，故④错误. 答案②
充要条件与四种命题
充要条件与四种命题 【考纲要求】（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题 （2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系 【基础回顾】 1、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：____________；否命题：_________；逆否命题__________ (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 2、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题是否为真？__________ ②、原命题为真，它的否命题是否为真？_________ ③、原命题为真，它的逆否命题是否为真？____________ 3、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的_______条件，q 是p 的________条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的_____________________，记为p ?q. 【基础自测】 1、（2010上海文）16.“()24x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ） （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2、（2010山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3、（2010广东理）5. “14 m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 4、（2010四川文）（5）函数2 ()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =
命题及其关系充分条件与必要条件教案
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系； 2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现； 3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．
复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论； 2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反； 3.注意等价命题的应用．
1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． ，则p是q的充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。注意对定义的理解:例如：若p?q，q p [难点正本疑点清源] 1．等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假； (3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 2．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 ?，则p是q的充分不必要条件； (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A B ?，则p是q的必要不充分条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B A (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B ?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 题型一四种命题的关系及真假 例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(D) A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
充分条件与必要条件测试题(含答案)
充分条件与必要条件测试题（含答案） 班级 姓名 一、选择题 1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的 （ ） (A) 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 2．在ABC ?中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的 （ ） (A) 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若非空集合M N ≠ ?，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B 提示：“a M ∈或a N ∈”不一定有“a M N ∈ ”。 5．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是 （ ） （A ）“a c b c >”是“a b >”的必要条件 （B ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件 （C ）“a c b c <”是“a b >”的充分条件 （D ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件 6．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ?是p ?的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 7.若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则 （ ） A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件 B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件 D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 8．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的 （ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(完整版)命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳
1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一， 考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目， 命题的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维. 一、知识梳理《名师一号》P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 原词语等于（=）大于（>）小于（<）是 否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是 原词语都是至多有一个至多有n个或 否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且 原词语至少有一个任意两个所有的任意的
（1）充分条件： q p ? 则p 是q 的充分条件 即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立， 亦即要使q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件： q p ? 则q 是p 的必要条件 q p ??q p ??? 即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。 (补充)（3）充要条件 q p ?且q p ?即p q ? 则 p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件） “p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当 p ”等 (补充)2、充要关系的类型 （1）充分但不必要条件 定义：若q p ?，但p q ?/， 则p 是q 的充分但不必要条件； （2）必要但不充分条件 定义：若p q ?，但q p ?/， 则p 是q 的必要但不充分条件 （3）充要条件 定义：若q p ?，且p q ?，即p q ?， 则p 、q 互为充要条件； （4）既不充分也不必要条件 定义：若q p ?/，且p q ? /， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件． 3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题
第二节_命题和关系、充分条件与必要条件(有答案)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】 1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p?q，则p与q互为充要条件． (3)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？ 提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论． 2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？ 提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必
要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的． 1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；反之，当A?B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件． 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( ) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2” C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” 解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． 3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项． 5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立. [例1] A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0 C．若x≤1，则x≤0
高中数学充分条件与必要条件-例题解析
充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?
考点3 命题和充分必要条件(学生版)
考点3 命题和充分必要条件 [玩前必备] 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，q ?p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词 4. 5. [玩转典例] 题型一 充分条件与必要条件的判定 例1（2019?天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2（2019?上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 例3（2018?天津）设x R ∈，则“11 ||22 x -<”是“31x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例4（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省济宁市高三3月月考）“0x y >>”是“()()ln 1ln 1x y +>+”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2.（2020届山东省泰安市肥城市一模）若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也非不必要条件 3.(2015·湖南，2)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ?B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二 含一个量词的命题的否定和真假命题 例5（2020?四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ?∈，2x B ∈，则( ) A ．:p x A ??∈，2x B ? B ．:p x A ???，2x B ? C ．:p x A ???，2x B ∈ D ．:p x A ??∈，2x B ? 例6已知命题p ：?x 0∈R ，log 2(03x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 例7(1)(2020·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．?n ∈R ，n 2≥n B ．?n 0∈R ，?m ∈R ，m ·n 0＝m C ．?n ∈R ，?m 0∈R ，m 20充分条件和必要条件
充分条件 1.概述 充分条件一定能保证结果的出现。 2.定义 如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。 简单地说，满足A，必然B；不满足A，不必然B，则A是B的充分条件。例如： 1. A下雨；B地湿。 2. A烧柴；B会产生二氧化碳。 3. A再过一百年；B在座的各位都不在人间了。 例子中A都是B的充分条件，确切地说，A是B的充分而不必要的条件：其一、A必然导致B；其二，A不是B发生必需的。在例子中，往地上泼水地就湿了；燃烧石油也会产生二氧化碳；扔一颗炸弹进去，各位就不在了，这说明A 不是B发生必需的。 3.生活中的充分条件 生活中常用“如果……，那么……”、“若……，则……”和“只要……，就……”来表示充分条件。例如： 1. 如果这场比赛踢平，那么中国男足就能出线。 2. 总参命令：若飞机不能降落则直接伞降汶川。 3. 四婶问祥林嫂竟肯依，卫老婆子说：“这有什么依不依。闹是谁也总要闹一闹的；只要用绳子一捆，塞在花轿里，抬到男家，捺上花冠，拜堂，关上房门，就完事了。” 不过生活中使用这些关联词语时人们往往并不考虑必要性。也就是说，满足A，必然B成立时，我们就说，如果A，那么B，或者说只要A，就B。这样就表达了条件的充分性，至于条件A是不是结果B必需的我们没有考虑。例如：只要活着，我就要写作。 从客观上看，不满足“活着”，必然“不能写作”。所以“活着”是“我要写作”的充分必要条件。但是实际上说话人在说这句话时，他只想表达满足“我活着”时必然“我要写作”。至于“不活着就不能写作”的情况虽然大家都知道，但不是说话人要表达的意思。
充要条件与四种命题练习题
四种命题与充要条件练习题 一、选择题： 1.有下列四个命题: 若x +y =0，则X, y 互为相反数”的逆命题; 全等三角形的面积相等”的否命题; 若q <1 ,则x 2 +2x + q=0有实根”的逆否命题; 7.已知条件p : |x+1|>2，条件q : x>a ，且「卩是「q 的充分不必要条件，贝U a 的取值 范围可以是（ ） A . a 31 ； 1 8. m =-”是 直线（m +2）x +3my +1 =0与直线（m-2）x +（m + 2）y-3 = 0相互垂 直” 的（ ） （A ）充分必要条件 （C ）必要而不充分条件 不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A .①② B .②③ C .①③ 2. 命题若a >b ，贝U a +c >b +c ”的逆否命题为（ A .若 acb ，贝U a + c c b +c C .若 a =c v b +c ，贝U a c b 1 一 3. “ m < — ”是“一元二次方程 4 充分非必要条件 D .③④ ) B .若 ab 成立的充分而不必要条件是（ D.既不充分也不必要条件 {a j 是递增数列”的（） D.既不充分也不必要条件 ） A. a >b +1 B. a Ab-1 C. a 2 >b 2 f 3 J .3 D. a >b B . a <1 ； （B ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条
2021年四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件 欧阳光明（2021.03.07） 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p 则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义
(1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：
逻辑充分条件与必要条件(答案)
高二命题及其关系?充分条件与必要条件练习题 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( ) A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思[来 源:Z|xx|https://www.sodocs.net/doc/d91340879.html,][ ] 解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假. “红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题; “春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题; “愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题; “此物最相思”是感叹句,故不是命题. 答案:A 2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条
件 解析:由|x-1|<2得-1数学高考总复习：四种命题、充要条件
数学高考总复习：四种命题、充要条件 【考纲要求】 1、理解命题的概念. 2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】 【考点梳理】 一、命题：可以判断真假的语句。 二、四种命题 原命题：若p 则q ； 原命题的逆命题：若q 则p ； 原命题的否命题：若p ?，则q ?； 原命题的逆否命题：若q ?，则p ? 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系 2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。 四、充分条件、必要条件和充要条件 1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。 如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。 又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。 又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ?,则p 是q 的充分不必要条件；A B ?,则p 是q 的必要不充分条件。 2、“?”读作“推出”、“等价于”。p q ?，即p 成立，则q 一定成立。 3、充要条件 互逆 ??否命题若p 则q 原命题若p 则q 逆命题若q 则p ??逆否命题 若q 则p 互 逆 互 逆否 为 互 逆否为否否互 互 四种命题、充要条件 充要条件 四种命题及其关系 互为逆否关系的命题等价 充分、必要、充要、既不充分也不必要
四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假． 3．充分条件与必要条件的定义 (1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： p q ┐p ┐q p或q p且 q ┐(p或q) ┐(p且 q) ┐p或 ┐q ┐p且 ┐q 真真假假真真假假假假 真假假真真假假真真假 假真真假真假假真真假 假假真真假假真真真真 2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等． 3．全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳
实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查 形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题 的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命 题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系
实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关． 注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个 否定词语一个也没有某两个小于（ <）是 不小于（≥）不是至多有 n 个或 至少有 n+1 个且 所有的任意的某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件 即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的 条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型 （ 1）充分但不必要条件 定义：若 p q ，但 q p ，
充分条件与必要条件·典型例题
充分条件与必要条件·典型例题 能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则 p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? D p q q p p q p q D 对．且，即，是的充要条件．选． 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D．
解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ? 由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件：
高中数学—命题和充要条件—学生版
命题和充要条件 知识梳理 一、命题的概念 1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出 ，记作βα?。 相反的，如果 成立不能推出 成立，那么就说由 不可以推出 ，记作α β。 4、如果 ，并且αβ?，那么就说与 等价，记作βα?。 二、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论 表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如 果 ，那么 ”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。 2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如 果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题 、 的否定分别记作α、β。 4、如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题， 我们将它叫做原命题的逆否命题。 5、四种命题形式及其相互关系: 6、常见结论的否定形式：（拓展内容）
三、充要条件 1、充分条件与必要条件： 一般地，用α、β分别表示两个命题，如果 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分 条件。叫做 的必要条件。 2、充要条件： 如果既有，又有 ，即有βα?，那么 既是 的充分条件又是 的必要条件，这时我们就说 是 的充要条件。 例题解析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2 60x +>；⑸112+>； 【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012 =++x x 无实根. （4）5>x （5）人类在2020年登上火星. 【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ， ，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11， ．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件
第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件．
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要
命题及其关系、充要条件
命题及其关系、充要条件 编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇 目标认知 学习目标： 1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系. 2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 重点： 四个命题与充分必要条件的理解与判定 难点： 充要条件的判定 知识要点梳理 知识点一：命题 1. 命题的定义： 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”。 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题。祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、 “p是有理数吗？”、“共产党万岁！”等。 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键。一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模 棱两可。命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素 的确定性。 2. 命题的表达形式： 命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式。其中是命
题的条件，是命题的结论。 知识点二：四种命题 （一）四种命题的形式 原命题：“若，则”； 逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。 （二）四种命题之间的关系 （1）互为逆否命题的两个命题同真同假； （2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系。
