与三角形有关的角培优知识讲解.docx
与三角形有关的角（培优）知识讲解
【学习目标】
1．理解三角形内角和定理的证明方法；
2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.小学初中高中各科视频讲义汇总
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【要点梳理】
要点一、三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①
在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②
已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个
三角形中各角之间的关系．
2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余 . 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形 .
要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ ACD是△ ABC的一个外角 .
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形
的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个
顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使
用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是
可推出三角形的三个外角和是360°．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
180°，
1．在△ ABC中，若∠A＝1
∠ B＝
1 ∠C，试判断该三角形的形状．23
【思路点拨】由∠ A＝1
∠ B＝
1 ∠C，以及∠
A+∠ B+∠ C＝ 180°，可求出∠A、∠ B 和23
∠C 的度数，从而判断三角形的形状．
【答案与解析】
解：设∠ A＝ x，则∠ B＝ 2x ，∠ C＝ 3x．
由于∠ A+∠ B+∠C＝ 180°，即有x+2x+3x ＝180°．
解得 x＝ 30°．故∠ A＝ 30°．∠ B＝ 60°，∠ C＝ 90°．
故△ ABC是直角三角形．
【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．
举一反三：
【变式 1】三角形中至少有一个角不小于________度．
【答案】 60.
【变式 2】（ 2015 春?新沂市校级月考）如图，BE、CF 都是△ ABC的角平分线，且∠ BDC=110°，则∠ A=．
【答案】 40°.
解：∵ BE、CF都是△ ABC的角平分线，
∴∠ A=180°﹣（∠ABC+∠ ACB），
=180°﹣ 2（∠ DBC+∠ BCD）
∵∠ BDC=180°﹣（∠D BC+∠BCD），
∴∠ A=180°﹣ 2（180°﹣∠ BDC）
∴∠ BDC=90°+∠ A，
∴∠ A=2（110°﹣ 90°） =40°．
2.在△ ABC中，∠ ABC＝∠ C， BD是 AC边上的高，∠ ABD＝30°，则∠ C 的度数是多少 ? 【思路点拨】按△ ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．
【答案与解析】
解：分两种情况讨论：
（ 1）当△ ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，
∵BD 是 AC边上的高 ( 已知 ) ，
∴ ∠ADB＝90°( 垂直定
义) ．又∵∠ABD＝30°( 已
知 ) ，
∴ ∠A＝ 180°- ∠ ADB-∠ ABD＝ 180° -90 °-30 °＝
60°．又∵∠ A+∠ ABC+∠ C＝180° ( 三角形内角和定理 ) ，
∴ ∠ABC+∠ C＝ 120°，
又∵∠ ABC＝∠ C，∴∠C＝ 60°．
(2) 当△ ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，
∵∠ABD＝ 30° ( 已知 ) ，所以∠ BAD＝ 60°．
∴∠BAC＝ 120°．
又∵∠ BAC+∠ABC+∠ C＝ 180° ( 三角形内角和定理) ，
∴∠ABC+∠ C＝ 60°．
∴∠C＝ 30°．
综上，∠ C 的度数为60°或 30°．
【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．
类型二、三角形的外角
【高清课堂：与三角形有关的角例 4、】
3.如图，在△ ABC中， AE⊥ BC于 E， AD为∠ BAC的平分线，∠ B=50o，∠ C=70o，
求∠ DAE ．
【答案与解析】
解：∠ A＝ 180°－∠ B－∠ C＝180°－ 50°－ 70°＝ 60° ,又AD为∠ BAC的平分线 ,
所以∠ BAD＝1
BAC ＝30°, 2
∠ADE＝∠ B＋∠ BAD＝50o＋ 30°＝ 80° ,
又AE ⊥ BC于 E ,
所以∠ DAE＝ 90°－∠ ADE＝ 90°－ 80°＝ 10° .
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中， AB＞ AC， AE⊥ BC于 E，AD 为∠ BAC的平分线，则∠DAE与∠ C －∠ B 的数量关系.
【答案】
C B DAE.
2
4. 如图所示，已知CE是△ ABC外角∠ ACD的平分线， CE交 BA延长线于点 E. 求证：∠BAC >∠ B.
【答案与解析】
证明：在△ ACE中，∠ BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.
同理在△ BCE中，∠ 2 > ∠B，
因为∠ 1=∠ 2，所以∠ BAC >∠ B.
【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角” .
举一反三：
【变式】如图所示，用“<”把∠ 1、∠ 2、∠ A 联系起来 ________.
【答案】∠A < ∠ 2 < ∠ 1.
类型三、三角形的内角外角综合
5.（ 2015 春?启东市校级月考）如图， BE与 CD相交于点 A， CF为∠ BCD的平分线， EF
为∠ BED的平分线．
（1）试探求：∠ F 与∠ B、∠ D 之间的关系？
（2）若∠ B：∠ D：∠ F=2： 4：x．求 x 的值．
【思路点拨】（ 1）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，再根据对顶角相等和三角
形内角和定理得到∠D+∠ 1=∠F+∠ 3，∠ B+∠ 4=∠ F+∠ 2，然后把两式相加即可得到∠F 与∠
B、∠ D 之间的关系；（2）设∠ B=2a，则∠ D=4a，∠ F=ax，利用（ 1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x 的方程即可．
【答案与解析】
解：（ 1）∵ CF为∠ BCD的平分线， EF 为∠ BED的平分线，
∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，
∵∠ D+∠ 1=∠ F+∠ 3，
∠B+∠ 4=∠F+∠ 2，
∴∠ B+∠ D+∠ 1+∠ 4=2∠ F+∠ 3+∠ 2，
∴∠ F= （∠ B+∠D）；
（2）当∠ B：∠ D：∠ F=2： 4： x 时，设∠ B=2a，则∠ D=4a，∠ F=ax，
∵2∠ F=∠ B+∠ D，
∴2ax=2a+4a
∴2x=2+4 ，
∴x=3．
【总结升华】本题考查了三角形内角和定理：通过三角形内角和为180°列等量关系．也考
查了角平分线的定义．
举一反三：
【变式 1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°.
【答案】
解：因为∠ AGF是△ GCE的外角，
所以∠ AGF=∠ C+∠ E.
同理∠ AFG=∠ B+∠ D.
在△ AFG中，∠ A+∠ AFG+∠ AGF=180° .
所以∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠E=180°.
【变式 2】一个三角形的外角中，最多有锐角().
A． 1 个B．2个C．3个D．不能确定
【答案】 A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．)
与三角形有关的角（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.( 湖北荆州 ) 如图所示，一根直尺 EF 压在三角板 30. 的角∠ BAC上，与两边 AC，AB交于 M，N．那么∠ CME+∠ BNF是 ( )
A ． 150°B．180°C．135°D．不能确定
2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于
A ． 30°B．45°C．60°D．55°
()
3．下列语句中，正确的是( )
A．三角形的外角大于任何一个内角
B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是
A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D 5．如图，已知AB∥CD，则( )
A ．∠ 1＝∠ 2+∠3 B．∠ 1＝2∠2+∠ 3
( )．无法确定
C．∠ 1＝ 2∠ 2- ∠ 3D ．∠ 1＝ 180°- ∠ 2- ∠ 3
6.（ 2015 春?泰山区期中）如图， BP 是△ ABC中∠ ABC的平分线， CP是∠ ACB的外角的平分
线，如果∠ ABP=20°，∠ ACP=50°，则∠ A+∠ P=（）
A.70 °
B.80°
C.90°
D.100°
二、填空题
7．在△ ABC中，若∠ A-2 ∠ B＝ 70°， 2∠C-∠ B＝ 10°，则∠ C＝ ________．
8．如图，在△ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线相交于点O．
(1)若∠ A＝ 76°，则∠ BOC＝ ________；
(2)若∠ BOC＝ 120°，则∠ A＝ _______；
(3)∠A 与∠ BOC之间具有的数量关系是 _______．
9.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于 ________．
10． ( 河南 ) 将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为 ________．
11．（ 2015 春?龙口市期中）如图，已知△D，若∠ A=50°，则∠ D=度．ABC中，
∠
ABC的平分线与
∠
ACE的平分线交于点
12.如图， O是△ ABC外一点， OB， OC分别平分△ ABC的外角∠ CBE，∠ BCF.
若∠ A＝n°，则∠ BOC＝（用含n的代数式表示）.
三、解答题
13. 如图，求证：∠A+∠ B+∠C+∠ D+∠E=180° .
14．（ 2015 春?扬州校级期中）如图①，△ABC的角平分线BD、 CE相交于点 P．
（1）如果∠ A=80°，求∠ BPC的度数；
（2）如图②，过 P 点作直线 MN，分别交 AB和 AC于点 M和 N，且 MN平行于 BC，则有∠ MPB+∠NPC=90°﹣∠A．若将直线 MN绕点 P 旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠ MPB、∠ NPC、∠A 三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线 MN与 AB 的交点仍在线段AB上，而与 AC的交点在 AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠ MPB、∠ NPC、∠ A 三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请
给出∠ MPB、∠ NPC、∠ A 三者之间的数量关系，并说明你的理由．
15．如图，在△ ABC中，∠ ABC的平分线与外角
∠ACE的平分线交于点 D．试说明D 1
A ．2
16．如图所示，在△ABC中，∠ 1＝∠ 2，∠ C＞∠ B， E 为 AD上一点，且E F⊥BC于 F．
(1)试探索∠ DEF与∠ B，∠ C 的大小关系；
(2)如图 (2) 所示，当点 E 在 AD的延长线上时，其余条件都不变，你在 (1) 中探索到的结论是否还成立 ?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】 A
【解析】 (1) 由∠ A＝ 30°，可得
∠AMN+∠ ANM＝ 180° -30 °＝ 150°
又∵∠ CME＝∠ AMN，∠ BNF＝∠ ANM，
故有∠ CME+∠ BNF＝ 150°．
2.【答案】C；
【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三
个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即
它的最小角必小于60°．
3.【答案】 C ；
【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角 .
4.【答案】 B；
【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为 270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为 90° .
5.【答案】 A；
6.【答案】 C；
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ ABP=20°，∠ ACP=50°，
∴∠ ABC=2∠ABP=40°，∠ ACM=2∠ACP=100°，
∴∠ A=∠ ACM﹣∠ ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ ACM=80°，
∴∠ BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠ BPC=20°，
∴∠ P=180°﹣∠ PBC﹣∠
BCP=30°，∴∠ A+∠P=90°，
故选 C．
二、填空题
7.【答案】 20；
A-2B=70
【解析】联立方程组： 2 C-B10，解得 C 20．
A B C180
8. 【答案】 128° , 60 °，∠ BOC＝ 90°+ 1
∠ A；2
9.【答案】 80°或 50°；
【解析】 100°的补角为 80°， (1)80 °为三角形的顶角；（ 2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为20° .
10．【答案】 75°；
11.【答案】 25°；
【解析】解：∵∠ ACE=∠A+∠ ABC，
∴∠ ACD+∠ECD=∠ A+∠ ABD+∠DBE，∠ DCE=∠ D+∠ DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ ABD=∠DBE，∠ ACD=∠ ECD，
∴∠ A=2（∠ DCE﹣∠ DBC），∠ D=∠ DCE﹣∠ DBC，
∴∠ A=2∠ D，
∵∠ A=50°，
∴∠ D=25°．
故答案为： 25．
12. 【答案】90 1 n ；
2
【解析】∵∠ COB=180 - （∠ OBC+∠ OCB），
而BO，CO分别平分∠ CBE，∠ BCF，
∴∠ OBC＝1
n1ACB，∠ OCB＝1 n1ABC . 2222
∴∠ COB=180°－ [ n1(180 n ) ]＝901n .
22
三、解答题
13.【解析】
解：延长BE，交 AC于点 H,
易得∠ BFC=∠ A+∠ B+∠ C
再由∠ EFC=∠ D+∠ E，
上式两边分别相加，得：
∠A+∠B+∠ C＋∠ D+∠ E＝∠ BFC＋∠ EFC＝ 180° .
即∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°
14.【解析】
解：（ 1）如图①∵在△ABC中，∠ A+∠ B+∠ACB=180°，且∠ A=80°，∴∠ ABC+∠ACB=100°，
∵∠ 1=∠ ABC，∠ 2=∠ACB，
∴∠ 1+∠ 2= （∠ ABC+∠ ACB）= ×100°=50°，
∴∠ BPC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣ 50°=130°．
（ 2）（ⅰ）如图③，由（1）知：∠ BPC=180°﹣（∠1+∠ 2）；
∵∠ 1+∠ 2= （180°﹣∠ A）=90°∠ A，
∴∠ BPC=180°﹣（ 90°﹣∠A）=90°+ ∠ A；
∴∠ MPB+∠ NPC=180°﹣∠ BPC=180°﹣（ 90°+∠ A）=90°﹣∠ A．（ⅱ）不成立，∠MPB﹣∠ NPC=90°﹣∠ A．
如图④，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，
∴∠ MPB﹣∠ NPC=180°﹣∠ BPC
=180°﹣（ 90°+∠A）
=90°﹣∠ A．
15.【解析】
解：∠ D＝∠ 4- ∠ 2＝1
( ∠ ACE-∠ ABC)＝
1
∠ A，22
∴∠D＝1
∠ A．2
16.【解析】
解： (1)∵∠ 1＝∠ 2，∴∠1＝1
∠ BAC．2
又∵∠ BAC＝ 180° -( ∠B+∠ C)，
∴∠1＝1
[180 ° -( ∠ B+∠ C)] ＝ 90° -
1
( ∠ B+∠ C)．22
∴∠EDF＝∠ B+∠ 1＝∠ B+90° - 1
( ∠ B+∠ C)＝90° +
1
( ∠ B- ∠ C)．
22又∵EF ⊥ BC，∴∠ EFD＝90°．
∴∠DEF＝ 90° - ∠ EDF＝ 90° -[90 ° + 1
( ∠ B-∠ C)] ＝
1
( ∠ C-∠ B)．
22
(2)当点 E 在 AD的延长线上时，其余条件都不变，(1) 中探索所得的结论仍成立．
与三角形有关的角（基础）知识讲解
【学习目标】
1．理解三角形内角和定理的证明方法；
2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.
【要点梳理】
要点一、三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2.直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ ACD是△ ABC的一个外角 .
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个
顶点上；②一条边是三角形的一边；③
另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个
顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使
用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于 360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，
可推出三角形的三个外角和是360°．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．证明：三角形的内角和为180° .
【答案与解析】
解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠ A+∠ B+∠ C＝ 180° .
证法 1：如图 1 所示，延长 BC到 E，作 CD∥ AB．因为 AB∥ CD（已作），所以∠ 1=∠ A（两直线平行，内错角相等），∠ B=∠ 2（两直线平行，同位角相等）．
又∠ ACB+∠ 1+∠2=180°（平角定义），
所以∠ ACB+∠ A+∠ B=180°（等量代换）．
证法 2：如图 2 所示，在 BC边上任取一点D，作 DE∥ AB，交 AC于 E，DF∥ AC，交 AB于点F．因为 DF∥ AC（已作），
所以∠ 1=∠ C（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相
等）．因为 DE∥ AB（已作）．
所以∠ 3=∠ B，∠ DEC=∠ A（两直线平行，同位角相
等）．所以∠ A=∠ 2（等量代换）．
又∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°（平角定义），所
以∠ A+∠ B+∠C=180°（等量代换）．
证法 3：如图 3 所示，过 A 点任作直线l1，过B点作 l 2∥ l1，过C点作 l 3∥ l1，
因为 l1∥ l3（已作）．
所以∠ l= ∠ 2（两直线平行，内错角相等）．
同理∠ 3=∠ 4．
又 l1∥ l 2（已作），
所以∠ 5+∠ 1+∠6+∠ 4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠ 5+∠ 2+∠ 6+∠ 3=180°（等量代换）．
又∠ 2+∠ 3=∠ACB，
所以∠ BAC+∠ABC+∠ ACB=180°（等量代换）．
证法 4：如图 4，将ABC的三个内角剪下，拼成以 C 为顶点的平角.
证法 5：如图 5－ 1 和图 5－ 2，在图 5－ 1 中作∠ 1＝∠ A，得 CD∥ AB，有∠ 2＝∠ B；在图 5 －2 中过 A 作 MN∥ BC有∠ 1＝∠ B，∠ 2＝∠ C，进而将三个内角拼成平角 .
【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行
线的性质 .
2.在△ ABC中，已知∠ A+∠ B＝ 80°，∠ C＝ 2∠ B，试求∠ A，∠ B 和∠ C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠ B＝80°，∠ C＝ 2∠ B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠ A+∠ B+∠ C＝ 180°就可以求出∠A，∠ B 和∠ C 的度数．
【答案与解析】
解：由∠ A+∠ B＝ 80°及∠ A+∠ B+∠ C＝180°，
知∠ C＝ 100°．
又∵∠ C＝ 2∠B，
∴∠B＝ 50°．
∴∠A＝ 80° - ∠ B＝ 80° -50 °＝ 30°．
【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠ A+∠ B+∠C＝ 180°．本题可以设∠ B＝ x，则∠A＝ 80° -x ，∠ C＝2x 建立方程求解．
举一反三：
【变式】（ 2015 春?安岳县期末）如图，在△ ABC中，∠A=50°，E 是△ ABC内一点，
∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ ACE 的平分线相交于点 D，则∠ BDC的度数为多少？
【答案】 100° .
解：∵△ ABC 中∠ A=50°，
∴∠ ABC+∠ACB=180°﹣ 50°=130°，
∵△ BCE中∠ E=150°，
∴∠ EBC+∠ECB=180°﹣ 150°=30°，
∴∠ ABE+∠ACE=130°﹣ 30°=100°，
∵∠ ABE 的平分线与∠ ACE 的平分线相交于点D，
∴∠ DBE+∠DCE= （∠ ABE+∠ACE） = ×100°=50°，
∴∠ DBE+∠DCE=（∠ DBE+∠DCE）+（∠ EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，
∴∠ BDC=180°﹣ 80°=100°．
类型二、三角形的外角
【高清课堂：与三角形有关的角例 2、】
3. （1）如图， AB和 CD交于点 O，求证：∠ A＋∠ C＝∠ B＋∠ D ．
（2）如图，求证：∠D=∠ A＋∠ B + ∠C．
【答案与解析】
解：（ 1）如图，在△ AOC中，∠ COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠ A＋∠ C，
同理，在△ BOD中，∠ COB＝∠ B＋∠ D，
所以∠ A＋∠ C＝∠ B＋∠ D．
（2）如图，延长线段BD交线段于点E,
在△ ABE中，∠ BEC＝∠ A＋∠ B①；
在△ DCE中，∠ BDC＝∠ BEC＋∠ C②，
将①代入②得，∠BDC＝∠ A＋∠ B＋∠ C，即得证．
【总结升华】重要结论：（ 1）“ 8”字形图：∠ A＋∠ C＝∠ B＋∠ D；
（ 2）“燕尾形图”：∠ D=∠ A＋∠ B + ∠ C．
举一反三：
【变式 1】（新疆建设兵团）如图，AB∥ CD，AD和 BC相交于点 O，∠ A＝40°，∠ AOB＝75°，则∠ C等于（）.
A、40°
B、65°
C、75°
D、115°
【答案】 B.
【变式 2】如图，在△ ABC中，∠ A＝ 70°， BO，CO分别平分∠ ABC和∠ ACB，则∠ BOC的度数为.
【答案】 125° .
类型三、三角形的内角外角综合
4.（ 2015 春 ?江阴市校级月考）已知如图∠ xOy=90 °，BE 是∠ ABy 的平分线， BE 的反
向延长线与∠ OAB 的平分线相交于点 C，当点 A ， B 分别在射线 Ox ，Oy 上移动时，试问
∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点 A ，B 的移动而变化，请求出变化范围．
【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【答案与解析】
解：∠ C 的大小保持不变．理由：
∵∠ ABY=90 °+∠ OAB ， AC 平分∠ OAB ， BE 平分∠ ABY ，
∴∠ ABE=∠ ABY=（90°+∠ OAB）=45°+∠ OAB，
即∠ ABE=45 °+∠ CAB ，
又∵∠ ABE= ∠ C+∠ CAB ，
∴∠ C=45°，
故∠ ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°．
【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知△ ABC中， P 为内角平分线 AD、 BE、 CF 的交点，过点 P 作 PG⊥ BC 于G，试说明∠ BPD与∠ CPG的大小关系并说明理由．
【答案】
解：∠ BPD＝∠ CPG．理由如下：
∵ AD 、 BE、 CF分别是∠ BAC、∠ ABC、∠ ACB的角平分线，
∴∠1＝1
∠ ABC，∠ 2＝
1
∠ BAC，∠ 3＝
1
∠ ACB．222
∴∠1+∠ 2+∠3＝1
( ∠ ABC+∠ BAC+∠ACB)＝ 90°．2
又∵∠ 4＝∠ 1+∠ 2，
∴∠4+∠ 3＝ 90°．
又∵PG ⊥ BC，
∴∠3+∠ 5＝ 90°．
∴ ∠ 4＝∠ 5，即∠ BPD＝∠ CPG．
与三角形有关的角（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．已知在△ ABC中有两个角的大小分别为40°和 70°，则这个三角形是().
A ．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2．若△ ABC的∠ A＝60°，且∠ B: ∠ C＝ 2:1 ，那么∠ B 的度数为 ().
A ． 40°B．80°C．60°D．120°
3． ( 云南昆明 ) 如图所示，在△ABC中， CD是∠ ACB的平分线，∠A＝ 80°，∠ ACB＝
60°，那么∠ BDC＝ ().
A． 80°B．90°C．100°D．110°
4．（ 2015?绵阳）如图，在△ ABC 中，∠ B、∠ C 的平分线BE，CD 相交于点F，∠ ABC=42 °，∠ A=60 °，则∠ BFC=（）
A.118°
B.119°
C.120°
D.121°
5． ( 山东济宁 ) 若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4 ，那么这个三角形是().
A ．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
6．( 山东菏泽 ) 一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠ α 等于().
A ． 30°B．45°C．60°D．75°
二、填空题
7．如图，AD⊥ BC，垂足是点D，若∠ A＝32°，∠ B＝ 40°，则∠ C＝ _______，∠BFD＝ _______，∠A EF＝ ________．
8．在△ ABC中，∠ A+∠ B＝∠ C，则∠ C＝_______．
9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α 的度数．
10．如图所示，飞机要从 A 地飞往 B 地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38 ° ( 即∠ A ＝38° ) ，飞到了 C 地．已知∠ ABC＝ 20°，现在飞机要到达 B 地，则飞机需以 _______的角飞行 ( 即∠ BCD的度数 ) ．
11．如图，有 _______个三角形，∠ 1 是________的外角，∠ ADB是 ________的外角．
12.（ 2014 春 ?通川区校级期末）如图中，∠ B=36 °，∠ C=76°， AD 、AF 分别是△ABC 的角
平分线和高，则∠DAF=度．
三、解答题
13．如图，求∠1+∠2+∠ 3+∠4 的度数．
14．已知：如图所示，在△ABC中，∠ C＝∠ ABC＝2∠ A， BD是 AC边上的高，求∠ DBC的度数．
15．（ 2015 春 ?石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠ BAC，
（1）如图 1，若 AD ⊥ BC 于点 D，∠ B=72 °，∠ C=36 °，求∠ DAE 的度数；
（2）如图 2， P 为 AE 上一个动点（ P 不与 A 、E 重合， PF⊥BC 于点 F，若∠ B＞∠ C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．
16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求 BA与 CD相交成 20°角， DA与 CB相交成40°角，现测得∠ B＝ 75°，∠ C＝ 85°，∠ D＝ 55°．能否判定模板是否合格，为什么?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】 D.
2.【答案】 B；
【解析】设∠B＝2x°，则∠C＝x°，由三角形的内角和定理可得，2x°
＋ x°＋ 60°＝ 180°，解得 x°＝ 40°，∠ B＝ 2x°＝ 80°．
3.【答案】 D.
4.【答案】 C；
【解析】解：∵∠ A=60 °，
∴∠ ABC+ ∠ ACB=120 °，
∵BE， CD 是∠ B、∠ C 的平分线，
∴∠ CBE=∠ ABC，∠ BCD=，
∴∠ CBE+ ∠BCD=（∠ ABC+∠BCA）=60°，
∴∠ BFC=180 °﹣ 60°=120°，
故选： C．
5.【答案】 B ；
【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．
6.【答案】 D；
【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
(完整版)三角形边角关系培优训练经典
三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F
21 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ H A B C E D
11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
三角形边角关系培优训练
三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1．已知 ABC中，周长为12，b=1 2 (a+c)，则b为 2．一边长为5cm，另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3．有木条4根，长度为14厘米，10厘米，8厘米，6厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有种 4．三角形两边长为2cm和7cm，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长是 cm 5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，求a的取值范围？ 6．设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，且a≤b≤c ，a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证： AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明：∵AD⊥BC( )∴AB＞AD( ) 在△AEC中，AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC＞AD+AC
21P C B A B 7．如图，已知D 是△AB C 内任意一点，则有AB+AC ＞DB+DC. 8．如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 2.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，∠1 = ∠2．则∠BPC =____。
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23 15688 t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出 EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
培优专题二：与三角形有关的角
D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠是△的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，、相交于O ，求证：∠∠∠∠D ②如图，、相交于O ，、分别平分∠、∠， 求证：∠12 （∠∠C ） A
A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠∠∠∠C ②如图，、分别平分∠、∠，求证：∠12 （∠∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△中，P 是△的角平分线的交点，求证：∠90°+12∠A ②如图，△中，P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证：∠12 ∠A
A B C E F P ③如图，△中，P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证：∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以平分∠。 ②作法线，则平分∠ 4、一角平分线问题： ①在△中，平分∠，∠C>∠B 求证：(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E
D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中，平分∠，⊥，求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：②在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△中，∠90°，⊥于D ，求证：∠1=∠
11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案
11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点，/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图，已知：在直角△ ABC中，/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知：如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下，/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题： (1)__________________________________________________________________ 在图1中，请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系： _______________________________ ; (2)在图2中，若/ D=40° / B=30°，试求/ F的度数；(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角，其他条件不变，试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)
6.如图： (1 )求证：/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧，猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图，/ ABD ，/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°，则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图，△ ABC 中，CD 是/ ACB 的角平分线，CE 是AB 边上 的高，若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数； (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系，并证明你的结论.
中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案
中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答 案)及详细答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
2．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现： 如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究： 把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转． (1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记 AC BC ＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） 【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3 CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有 EM FP MC PB =，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论． （3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】 解：（1）PC=PE 成立，理由如下： 如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴ EM FP MC PB =，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
培优专题二：与三角形有关的角
A B C P E A B C P O D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠ACD 是△ABC 的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 或 > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，AD 、BC 相交于O ，求证：∠A+∠B=∠C+∠D ②如图，AD 、BC 相交于O ，BP 、DP 分别平分∠ABC 、∠ADC ， 求证：∠P=12 （∠A+∠C ） 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C ②如图，BP 、CP 分别平分∠ABD 、∠ACD ，求证：∠P= 12 （∠A+∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△ABC 中，P 是△ACB 的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+ 12∠A ②如图，△ABC 中，P 是∠ABC 的角平分线和△ABC 的外角∠ACE 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=12 ∠A ③如图，△ABC 中，P 是外角∠EBC 与∠BCF 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD 平分∠BMC 。 ②作法线MN ，则MN 平分∠AMB 4、一角平分线问题： ①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C>∠B 求证：(1)∠ADC =90°-12 (∠C —∠B) D C B A E
C E D C B A E B A (2)∠ADC=12 (∠ACE+∠B) ②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，求证：∠EAD =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 延长线上一点，过P 作PE ⊥BC ， 求证：∠EPD =12(∠C —∠B) 拓展：②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是BC 延长线上一点，过P 作PE ⊥AD ， 求证：∠EPD =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：∠1=∠A ；∠2=∠B ②如图，△ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB ，AF 平分∠BAC 6、翻折问题： 如图，将三角形沿直线DE 翻折使点A 在△ABC 的内部得' A ， 求证：∠A=12（∠1+∠2） 巩固练习： 1、在△ABC 中，∠A=12∠B=13 ∠C ，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、如图，△ABC 中，∠B=∠C ，点D 在AB 上，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，若∠BDE=140°，那么∠DEF 是（ ） A 、55° B 、60° C 、65° D 、70° 3、如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ） A 、59° B 、60° C 、56° D 、22° 4、如图，△ABC 中，∠A=θα-，∠B=θ，∠C=θα+，（090αθ<<<）若∠BAC 与∠BCA 的平分线交于P 点，则∠APC 是（ ） A 、90° B 、105° C 、120° D 、150° 第2题 第3题 第4题 第5题 5、如图，已知E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AEF 沿EF 折叠，并使点A 落在四边形EBCF 内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A 是（ ） A 、52° B 、53° C 、54° D 、60° 6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ） A 、50°，50°，80° B 、50°，50°，80°或130°，25°，25° C 、50°，65°，65° D 、50°，50°，80°或50°，65°，65° 7、已知：△ABC 中，∠A=66°，△ABC 的高BE 、CF 所在直线相交于点G ，则∠BGC=（ ）
中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案
中考数学直角三角形的边角关系培优练习(含答案)含答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，． ①求的值； ②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以 的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为 【解析】 试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间. 试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形. 与交于点O,且关于对称 四边形是菱形. （2）①连接,直线分别交于点,交于点 关于的对称图形为 在矩形中，为的中点，且O为AC的中点 为的中位线 同理可得：为的中点，
②过点P作交于点 由运动到所需的时间为3s 由①可得， 点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即： 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到,即时，所用时间最短. 在中，设 解得： 和走完全程所需时间为 考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
2．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． （1）求tan∠DBC的值； （2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标． 【答案】（1）tan∠DBC=； （2）P（﹣，）． 【解析】 试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形 的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=； （2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中 的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）． 试题解析： （1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0， 解得 x1=﹣1，x2=4． ∴A（﹣1，0），B（4，0）． 当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4， ∴D（3，4）． 如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角一、课标导航 二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角； ②证明角之间的关系． 2．三角形的外角 (1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． (2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 360 (3)三角形外角和定理：三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③利用它作为中间关系式证明两个角相等； ④利用它证明角的不等关系． 3．几何模型
4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想， 本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）． 三、全能突破 基 础 演 练 1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )． 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )． 36.A 72.B 108.C 144.D 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角 为( )． 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D
三角形边角关系培优训练(供参考)
C B D A 三角形三边关系、内角练习题 一、三边关系 1．已知 ABC 中，周长为12，b=12 (a+c)，则b 为 2．一边长为5cm ，另一边长为10cm 的等腰三角形的周长是 3．有木条4根，长度为14厘米，10厘米，8厘米，6厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有 种 4．三角形两边长为2cm 和7cm ，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长是 cm 5．一条线段的长为a ，若要使3a —l ，4a+1，12－a 这三条线段组成一个三角形，求a 的取值范围？ 6．设△ABC 的三边a , b ,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：AB+AE+12 BC>AD+AC 证明：∵AD ⊥BC( )∴AB ＞AD( ) 在△AEC 中，AE+EC>AC( )又∵AE 为中线( ) ∴EC=12 BC( ) 即AE+ 12BC>AC( ) ∴AB+AE+12BC ＞AD+AC 7．如图，已知D 是△ABC 内任意一点，则有AB+AC ＞DB+DC. 8．如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
21P C B A 2.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，∠1 = ∠2．则∠BPC =____。 5．锐 角三角形ABC 中，3条高相交于 点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝ _______ 6．如 图，BE 平分∠ABD 交CD 于F ，CE 平 分∠ACD 交AB 于G ，AB 、CD 交于点O ，且∠A=48?， ∠D=46?，则∠BEC= 。 7.若?ABC 的三个内角满足3∠A>5∠B ，3∠C<2∠B ，则三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．都有可能 8.如图，已知∠BOF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数． 9.如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 、CF 相交于点G ，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A 的度数。 10.如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE 的大小。 11.△ABC 中，AD 、BE 、CF 是角平分线，交点是点G ，GH ⊥BC 。求证：∠BGD=∠CGH. 12. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的点， AD 平分∠EDC ， 试说明∠BED ＞∠B 的道理。 13.△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC
三角形培优经典题型
《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取 值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向 左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12，
2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案
2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞 行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中，sin AC B AB = ，所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =，
三角形边角关系培优训练经典
21P C B A 三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 、CF 相交于点G ，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A 的度数。 3、如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE 的大小。 4、△ABC 中，AD 、BE 、CF 是角平分线，交点是点G ，GH ⊥BC 。 求证：∠BGD=∠CGH. 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的 是???? ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一 点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ 11、如图，BE 平分?ABD 交CD 于F ，CE 平分?ACD 交AB 于G ，AB 、CD 交于 点O ，且?A=48?，?D=46?，则?BEC= 。 12.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC 的三个内角满足3?A>5?B ，3?C<2?B ，则三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．都有可能 H A B C E D E G A B D C F G A B C D E F H
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N， ∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题： （1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=． 【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣ 【解析】 【分析】 (1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF， NC=NM=BM进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM， ②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM； (3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，， 可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长. 【详解】 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°， ∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC， ∴BM=MN， 在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF， ∴△BME≌△NMF， ∴BE=NF， ∵MN⊥AC，∠C=45°， ∴∠CMN=∠C=45°，
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