高二数学椭圆及其标准方程优质课教案(供参考)

课题：椭圆及其标准方程

一、教学目标

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，生活中的椭圆。 - 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。

2动画演示

思考:什么是椭圆？怎样画椭圆？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？

令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+

思考：

1、定义中的常数为什么要大于焦距？

2、若常数等于焦距，轨迹是线段

3、若常数小于焦距，轨迹不存在

注: 定义是判断椭圆的方法

定义是椭圆的一个性质

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点；

方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点；

方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点；

M

（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确定方案一.

2．推导标准方程．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导.

按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，

则 {}a MF MF M P 221=+=，

∴ 得()()a y c x y c x 22222=++++-，

（想一想：下面怎样化简？）

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方

好呢？化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-．

（2）b 的引入．

由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->．

让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形

直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+， 两边同时除以22b a ，得到方程：()22

2210x y a b a b

+=>>（称为椭圆的标准方程）． （3）建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．

要建立焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？

方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，

y 交换了位置），直接得到方程()22

2210y x a b a b

+=>>． 图1 图3

图2