编写说明:考虑到复习实际,本书将选修4-5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4-1几何证明选讲
第一节相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.相似三角形的判定与性质
(1)判定定理:
(2)
1.在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱,导致错误. 2.在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误. [试一试]
1.如图,F 为?ABCD 的边AD 延长线上的一点,DF =AD ,BF 分别交DC ,AC 于G ,E 两点,EF =16,GF =12,则BE 的长为________.
解析:由DF =AD ,AB ∥CD 知BG =GF =12,又EF =16知EG =4,故BE =8.
答案:8
2.在△ABC 中,点D 在线段BC 上,∠BAC =∠ADC ,AC =8,BC =16,则CD =________. 解析:∵∠BAC =∠ADC ,∠C =∠C ,∴△ABC ∽△DAC ,∴BC AC =AC CD ,∴CD =AC 2BC =
8216=4.
答案:4
1.判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等;
(2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;
(3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.
2.借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似;
(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等的角或对应边成比例; (3)有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边. [练一练]
1.如图,D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,DE ∥BC 且AD
DB =2,
那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________.
解析:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,
∴S △ADE S △ABC =AD 2AB 2. ∵AD DB =2,∴AD AB =2
3,∴S △ADE S △ABC =49, ∴
S △ADE
S 四边形DBCE =4
5.
答案:45
2.如图,已知在△ABC 中,CD ⊥AB 于D 点,BC 2=BD ·AB ,则∠ACB =______.
解析:在△ABC 与△CBD 中, 由BC 2=BD ·AB , 得
BC BD =AB
BC
,且∠B =∠B , 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB =∠CDB =90°. 答案:90°
平行线分线段成比例定理的应用
,AE 交BD 于
F ,则BF ∶FD =________.
解析:∵AD =BC ,BE ∶EC =2∶3, ∴BE ∶AD =2∶5. ∵AD ∥BC ,
∴BF ∶FD =BE ∶AD =2∶5.即BF ∶FD =25.
答案:2∶5
2.(2013·惠州调研)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DF ∥AC ,AE ∶AC =3∶5,DE =6,则BF =________.
解析:由DE ∥BC 得
DE BC =AE AC =3
5
,∵DE =6,∴BC =10. 又因为DF ∥AC ,所以BF BC =BD AB =CE AC =2
5,即BF =4.
答案:4
3.如图,在四边形ABCD 中,EF ∥BC ,FG ∥AD ,则EF BC +FG
AD =________.
解析:由平行线分线段成比例定理得 EF BC =AF AC ,FG AD =FC AC , 故
EF BC +FG AD =AF AC +FC AC =AC AC
=1. 答案:1 [类题通法]
比例线段常用平行线产生,利用平行线转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线条件而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.
相似三角形的判定及性质
[典例] O 内一点E ,
过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD =2DA =2,则PE =________.
[解析] 由PE ∥BC 知,∠A =∠C =∠PED .在△PDE 和△PEA 中,∠APE =∠EPD ,∠A =∠PED ,故△PDE ∽△PEA ,则PD PE =PE
P A
,于是PE 2=P A ·PD =3×2=6,所以PE = 6.
[答案]
6
[类题通法]
1.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.
2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;也可间接证明线段相等. [针对训练]
(2013·佛山质检)如图,∠B =∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD =90°,且AB =6,AC =4,AD =12,则BE =________.
解析:由于∠B =∠D ,∠AEB =∠ACD ,所以△ABE ∽△ADC ,从而得AB AD =AE
AC
,解得AE =2,故BE =AB 2-AE 2=4 2.
答案:4 2
射影定理的应用
[典例] AD ⊥BC 于D
∠ABC 的平分线,交AD 于F ,求证:DF AF =AE EC
.
[证明] 由三角形的内角平分线定理得,
在△ABD 中,DF AF =BD
AB ,
① 在△ABC 中,AE EC =AB
BC
,
②
在Rt △ABC 中,由射影定理知,AB 2=BD ·BC , 即
BD AB =AB
BC
. ③ 由①③得:DF AF =AB
BC ,
④
由②④得:DF AF =AE
EC .
[类题通法]
1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.
2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法. [针对训练]
在Rt △ACB 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D ,若BD ∶AD =1∶9,则tan ∠BCD =________. 解析:由射影定理得CD 2=AD ·BD ,又BD ∶AD =1∶9, 令BD =x ,则AD =9x (x >0).
∴CD 2=9x 2,∴CD =3x . Rt △CDB 中,
tan ∠BCD =BD CD =x 3x =13.
答案:13
第二节直线与圆的位置关系
1.圆周角定理 (1)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质
定理1:圆内接四边形的对角互补.
定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
(2)判定
判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.3.圆的切线性质及判定定理
(1)性质:
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
4.与圆有关的比例线段
(1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
(2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
1.易混圆心角与圆周角,在使用时注意结合图形作出判断.
2.在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误.[试一试]
1.如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PB、PD,P A=AB=5,
CD=3,则PC=________.
解析:设PC=x,由割线定理知P A·PB=PC·PD.
即5×25=x(x+3),解得x=2或x=-5(舍去).
故PC=2.
答案:2
2.如图,EB ,EC 是⊙O 的两条切线,B ,C 是切点,A ,D 是⊙O 上两点,如果∠E =46°,∠DCF =32°,则∠BAD =________.
解析:由已知,显然△EBC 为等腰三角形, 因此有∠ECB =180°-∠E 2=67°,
因此∠BCD =180°-∠ECB -∠DCF =81°. 而由A ,B ,C ,D 四点共圆, 得∠BAD =180°-∠BCD =99°. 答案:99°
1.与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦,作弦心距.
(2)有直径,作直径所对的圆周角. (3)有切点,作过切点的半径. (4)两圆相交,作公共弦. (5)两圆相切,作公切线. 2.证明四点共圆的常用方法
(1)利用圆内接四边形的判定定理,证明四点组成的四边形的对角互补; (2)证明它的一个外角等于它的内对角; (3)证明四点到同一点的距离相等.
当证明四点共圆以后,圆的各种性质都可以得到应用. 3.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意
找相等的角,找相似三角形,从而得出线段的比,由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.
[练一练]
1.(2013·荆州模拟)如图,P A 是⊙O 的切线,切点为A ,过P A
的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ,若∠BMP =110°,∠BPC =30°,则∠MPB =________.
解析:由切割线定理得,MA 2=MB ·MC ,又MA =MP ,故MP 2
=MB ·MC ,即MB MP =MP MC ,又∠BMP =∠PMC .故△BMP ∽△PMC ,所以∠MPB =∠MCP ,所
以30°+∠MPB +∠MCP =∠AMB =180°-110°=70°,所以∠MPB =20°.
答案:20°
2.(2013·长沙一模)如图,过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一.选择题(共9小题) 1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() A.B.C. D. 2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.πB.C.D. 3.在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中,E为棱CD的中点,则() A.A 1E⊥DC 1 B.A 1 E⊥BD C.A 1 E⊥BC 1 D.A 1 E⊥AC 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为() A.60 B.30 C.20 D.10
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是() A.+1 B.+3 C.+1 D.+3 6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则() A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A.90πB.63πC.42πD.36π
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() A.10 B.12 C.14 D.16 2.已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1 =1,则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为() A. B.C.D. 二.填空题(共5小题) 8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为. 9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为. 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.
2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .