201x春九年级数学下册第二章二次函数2.5二次函数与一元二次方程课时作业新版北师大版

2.5二次函数与一元二次方程

知识要点基础练

知识点1二次函数与一元二次方程的关系

1.(陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是 (D)

A.没有交点

B.只有一个交点,且它位于y轴右侧

C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧

D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧

2.(孝感中考)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.

知识点2利用抛物线与x轴交点的个数求取值范围

3.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是(B)

A.k>-

B.k≥-且k≠0

C.k≥-

D.k>-且k≠0

【变式拓展】(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,则

ax2+bx+c=m有实数根的条件是(B)

A.m ≤-2

B.m ≥-2

C.m ≥0

D.m>4 4.若二次函数y=x 2+(a+1)x+a 的图象与x 轴有两个不同的交点,其中只有一个交点在x 轴的

正半轴上,则a 的取值范围是 a<0 .

5.已知关于x 的函数y=ax 2

+x+1(a 为常数).

(1)若函数的图象与x 轴恰有一个交点,求a 的值;

(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x 轴上方,求a 的取值范围.

解:(1)当a=0时,函数y=x+1,它的图象显然与x 轴只有一个交点(-1,0). 当a ≠0时,依题意得方程ax 2

+x+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=1-4a=0,∴a=. ∴当a=0或a=时,函数图象与x 轴恰有一个交点.

(2)若a>0,要使抛物线的顶点始终在x 轴上方,

则抛物线与x 轴无交点,∴Δ=1-4a<0,∴a>;

若a<0,要使抛物线的顶点始终在x 轴上方,

则抛物线与x 轴有两个交点,

∴Δ=1-4a>0,∴a<0.

∴当a>或a<0时,抛物线顶点始终在x 轴上方.

知识点3 利用二次函数求一元二次方程的近似根

6.(兰州中考)下表是一组二次函数y=x 2

+3x-5的自变量x 与函数值y 的对应值: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4

y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16

那么方程x 2

+3x-5=0的一个近似根是 (C )

A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3

7.利用二次函数y=-x2+x+2的图象和性质,求方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值.(结果精确到0.1)

解:作出二次函数y=-x2+x+2的图象(函数图象略).

由于方程-x2+x+2=0的根是函数y=-x2+x+2与x轴交点的横坐标,

所以由图象可知方程有两个根,一个在-2和-1之间,另一个在3和4之间.

当x=3.2时,y=0.08,当x=3.3时,y=-0.145,因此,x=3.2是方程的一个近似根.

故方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为3.2.

综合能力提升练

8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是(D)

A.ac<0

B.当x=1时,y>0

C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根

D.存在一个大于1的实数x0,使得当xx0时,y随x的增大而增大

9.(苏州中考)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为(D)

A.x1=0,x2=4

B.x1=1,x2=5

C.x1=1,x2=-5

D.x1=-1,x2=5

10.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是(A)

A.b<1且b≠0

B.b>1

C.0

D.b<1

11.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,以下结论:①b2-4ac=0;②a+b+c>0;③2a-b=0;④c-a=3.其中正确的有(B)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

12.关于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),下列结论中,正确的有(A)

①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当a<0时,情况相反;

②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点;

③只要表达式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同;

④一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.

A.①②③④

B.①②③

C.①②

D.①③④

13.(武汉中考)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2

14.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.(结果精确到0.1)

解:方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标.

作出二次函数y=x2-2x-1的图象,如图所示,

由图象可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.

先求-1和0之间的根,

当x=-0.5时,y=0.25;当x=-0.4时,y=-0.04.

因此,x=-0.4是方程的一个近似根,

同理,x=2.4是方程的另一个近似根.

15.(宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.

(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.

①求该抛物线的函数表达式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.解:(1)y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,

∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,

∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)①∵该抛物线的对称轴是直线x=,

∴-,∴m=2,

∴抛物线的表达式为y=x2-5x+6.

②∵y=x2-5x+6=,

∴该抛物线的顶点为,

∵抛物线开口向上,∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

拓展探究突破练

16.(株洲中考)已知二次函数y=ax2-5x+c(a≠0)的图象与x轴相交于原点右侧不同的两点.

(1)若抛物线的对称轴为直线x=,求a的值;

(2)若a=15,求c的取值范围.

解:(1)对称轴为x=-=-,

∴a=.

(2)∵a=15,

∴15x2-5x+c=0有两个不相等的实数根,且c>0,

∴(-5)2-4×15c>0,∴c<,

∴c的取值范围是0

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