高数期末复习题 第九章 多元函数微分法及其应用
9.1.1.2：函数y x z -=的定义域为{}
y x y x y x ≥≥≥2,0,0),( 9.1.2.3：设函数)1,0(≠>=x x x z y ，则
=??x z 1-y yx ，=??y
z x x y ln 9.1.3.2：设函数22y y x z +=，则全微分=dz dy y x xydx )2(22++ 9.1.4.2： 设函数xy e z =，则该函数在)2,1(点处的全微分=dz dy e dx e 222+ 9.1.5.3：设函数y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则全导数=dt
dz
)6(cos 22sin 3t t e t t -- 9.1.6.2：设1433=-xyz z ，则
=??x z xy
z yz -2 9.1.7.3：曲面12=-+z e y xy 在点)0,1,1(处的切平面方程为043=--+z y x 9.1.8.2：2
2
),(y x y x f +=，则=),(y x gradf →
→
+j y i x 22 9.1.9.3：设z xy u 2=，则在点)2,1,1(-P 处的方向导数的最大值为
21
9.1.10.2：若),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且有极值，则='),(00y x f x 0 9.1.11.2：函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(),,(00'00'y x f y x f y x 都存在是
函数在该点可微分的 必要 条件。
9.2.1.2：求极限
=+-→xy xy y x 4
2lim
)0,0(),(（ C ）
A ．0
B ．
41 C ．4
1
- D ．2 9.2.2.3：函数?????=≠+=，)0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(332y x y x y x y x y x f 在点（0,0）处 （ C ）
A.连续且偏导数存在
B.连续但偏导数不存在
C.不连续但偏导数存在
D.不连续且偏导数不存在
9.2.3.2：设函数3232z z x xy u -+= ，则函数u 在点)1,1,1(对z y x ,,的偏导数
z
u
y u x u ??????,,分别为…… （ D ）
A ．4，-2，8
B ．2，4，-8
C ．-4，2，-4
D ． 4，2，-8
9.2.4.3函数)ln(xy x z = ，则=???2
3y
x z
（ C ） A.
x 1 B. 21y C. 21
y
- D.0 9.2.5.3：设 ='=y z y x xy f z 则 ),(2（ C ）
A. )2(21f x f y '+'
B. 2212f x f x '+'
C. 221f x f x '+'
D. )(21f x f y '+'
9.2.6.2： 若二元函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则 （ B ）
A. y x f f '='
B. y x f f '', 存在
C. y x f f '',连续
D. y x f f '',不一定存在
9.2.7.2：设 =??=++y
z
z y x ，则 4222 （ D ）
A ．z x -
B ．y
z
- C ．z x D ．z y -
9.2.8.2：函数3
2
23xy y x z -=在点（1，1）沿方向)54,53(=→
l e 的方向导数
=
??)
1,1(l
z
（ D ）
A ． 1.4
B ． 1
C ． 4.8
D ． 0
9.2.9.2：设函数)ln(2
22z y x u ++=，则u 在点（1，2，2）处的梯度=gradu （ A ） A ．→→→++k j i 949492 B ．→
→→++k j i 9
29291 C ．→→→++k j i 442 D ． →→→++k j i 22
9.2.10.2：函数 122+-=y x z 的极值点为（ B ）
（A ）)0,0(； （B ）不存在； （C ）)0,1(； （D ）)1,0(.
9.2.11.4：设),(y x f 与),(y x ?均为可微函数，且0),(≠'y x y ?。
已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ?下的一个极值点，下列选项正确的是（ D ）
A ．若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y
B ．若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y
C ．若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y
D ．若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y
9.3.1.2：设222),,(zx yz xy z y x f ++=，求)1,0,0(xx f ，)2,0,1(xz f ，)1,0,2(yz f 。
解：xz y f x 22+=，z f xx 2=，x f xz 2=，22z xy f y +=，z f yz 2=， （3分） 所以2)1,0,0(=xx f ，2)2,0,1(=xz f ，2)1,0,2(=yz f 。（3分）
9.3.2.3：设函数z
y x u =，求它的三个偏导数。
解：1
-=??z y
x z
y x u ；
（2分） x x z
y u z y
ln 1=??；（2分） x x z
y z u z y
ln 2-=??（2分） 9.3.3.2：设t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数
dt
dz
。 解：
t
z dt dv v z dt du u z dt dz ??+??+??= （2分） t t u ve t cos sin +-= （2分） t t e t e t t cos sin cos +-=
t t t e t cos )sin (cos +-= （2分）
9.3.4.2：求函数v u z ln 2=，而x y u =
，y x v 32-=的偏导数x z ??，y
z ??。 解：
x v v z x u u z x z ????+????=??2)(ln 22
2?+-?=v u x
y v u )
32(2)32ln(22
2
32y x x y y x x y -+--= （3分） y v
v z y u u z y z ????+
????=??)3(1ln 22-?+?=v u x
v u )
32(3)32ln(22
2
2y x x y y x x y ---= （3分） 9.3.5.3：求函数)sin(22xy e z y x +=的偏导数
x z ??，y
z
??。
解：可令y x u 2+=，2xy v =，也可直接求导，
x y x x y x xy xy e y x xy e x
z
))(cos()2)(sin(22222'+'+=??++ 22222)cos()sin(y xy e xy e y x y x ?+=++ )]cos()[sin(2222xy y xy e y x +=+ （3分）
y y x y y x xy xy e y x xy e y
z
))(cos()2)(sin(22222'+'+=??++ xy xy e xy e y x y x 2)cos(2)sin(2222?+?=++ )]cos()[sin(2222xy xy xy e y x +=+
9.3.6.3：设2
22
),,(v u x
e v u x
f z ++==，y x u +=2，xy v =，求
x z ??，y
z ??。 解：
x
v v f x u u f x f x z ????+????+??=?? y ve ue xe v u x
v u x
v u x ?+?+=++++++2
22
2
22
2
22
2222
)25(22)2(2
222
xy y x e y x y x x
++?=+++ （3分）
y
v v f y u u f y z ????+????=??x ve ue v u x v u x ?+?=++++2
22222212 )2(22)2(2
222
y x y x e y x y x x
++?=+++ （3分）
9.3.7.3：设),(22y x xy f z =，（其中f 具有一阶连续偏导数）求
x z ??，y
z ??。 解：可令1f '表示对2
xy 求偏导数，2f '表示对y x 2
求偏导数；也可令2
xy u =，y x v 2
=。
x
y x f x xy f x z ???'+???'=??)
()(22212122f xy f y '+'= （3分） y
y x f y xy f y z ???'+???'=??)()(22212212f x f xy '+'= （3分） 9.3.8.3：设3
3
3a xyz z =-，求y z
??， 22x
z ?? 。
解：令3
33),,(a xyz z z y x F --=，则
yz F x 3-=，xz F y 3-=，xy z F z 332-=，（2分） 故
z x F F x z
-=??xy
z yz xy z yz -=---=22
333，（1分） 故z
y F F y z -
=??xy z xz xy z xz -=---=22333，（1分） ????
??-??=??? ??????=??xy z yz x x z x x
z 222
222)()
2()(xy z y x z
z yz xy z x z y
--??--??=，将xy
z yz x z -=
??2代入并整理得3
2322)(2xy z z
xy x z --=?? （2分）
9.3.9.3：设v u ,为y x ,的隐函数，它们由方程组?????=-+=+-0
2
2
y v u x v u 确定，求x u ??，y u ??， x v ??，y
v
??。 解：将所给方程的两边对x 求偏导，并移项，得
??????
?=??+??-=??-??0212x v v x
u x
v x u u ，解此方程组，得142+-=??uv v x u ，141+=??uv x v 。 （3分） 将所给方程的两边对y 求偏导，并移项，得
????
??
?=??+??=??-??1
202y v v y
u y v y u u ，解此方程组，得141+=??uv y u ，142+=??uv u x v 。 （3分） 9.3.10.4：设???-=+=)
,(),(2
y v x u g v y v ux f u ，其中g f ,具有一阶连续偏导数，求x u ??，x v ??。 解：分别在方程两边对x 求偏导，得
??????
????'+-???'=?????'+??+?'=??x v vy
g x u g x
v x
v f x u x u f x u 2)1()(2121，移项整理后得
??????
?'=??-'+??''-=???'+??-'121121)12()1(g x v g yv x
u g f u x
v f x u f x （3分） 当0)12)(1(121122
12121≠''--'-'=-'''
-'=g f g yv f x g yv g f f x D 时，解方程组得 1221122121
21)12)(1()12(121g f g yv f x g f g yv f u g yv g f f u D x u ''--'-'''--''-=
-''''
-=?? 122
11111111)12)(1()1(11g f g yv f x f u f x g g g f u f x D x v ''--'-'-'+''=
'''
--'=?? （3分）
9.4.1.2：求空间曲线L ：??
?
??===bt z t a y t
a x sin cos ，在点00=t 处的切线方程及法平面方程。
解：曲线在对应于00=t 的点为)0,0,(a ，该点处的切向量
{}{}b a b t a t a T t ,,0,cos ,sin 0=-== (3分) ∴切线方程：b z a y a x ==-0 ，化简得???
??==b
z a y a
x (2分) 法平面方程:0=+bz ay (2分)
9.4.2.2：求曲线x y 42=，x z -=22在点)1,2,1(处的切线方程及法平面方程。
解：设曲线的参数方程为?????-===x z x y x
x 2422
，对x 求导，得该点处的切向量
????
??-=??????-=21,1,121,2,1)1,2,1(z y T (3分)
所以切线方程为：2
11
21--=
-=-z y x ； (2分)
法平面方程为：0)1(2
1
)2()1(=--
-+-z y x 即：0522=--+z y x (2分)
9.4.3.3：求空间曲线L ：?
??=-+-=-++045320
3222z y x x z y x ，在点)1,1,1(处的切线方程及法平面方
程。
解：为了求
dx dy ，dx
dz
，方程两端分别对x 求导，得 ???
???
?
=+-=-++053203222dx dz dx dy dx
dz z dx dy y x 即 ???????=-+-=+2533222dx dz dx
dy x dx
dz z dx dy
y (2分)
当06105
322≠--=-=
z y z
y D 时，解方程组得
z y z x z x D dx dy 61015410522321----=-+-=，z
y y x x y D dx dz 6109
46233221---+=
+-= 代入点)1,1,1( 解得：
16
1
,169)1,1,1()1,1,1(-==dx dz dx dy ， (3分)
于是在点)1,1,1(处的切线方程为：
1
1
91161--=-=-z y x ， 法平面方程为：24916=-+z y x 。 (2分)
9.4.4.2：求椭球面152222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程。
解：设152),,(2
22-++=z y x z y x F ，则曲面的法向量为
)2,2,4(),,(z y x F F F n z y x ==→
，
因为6)3,2,1(,4)3,2,1(,4)3,2,1(===z y x F F F ， 所以曲面在点)3,2,1(处的法向量为)6,4,4( （3分） 所求切平面方程为：15322=++z y x , （2分）
法线方程为：
3
3
2221-=-=-z y x （2分）. 9.4.5.3：设有曲面14
222
2=++z y x ，平面722:=++∏z y x ，求曲面平行于平面∏的切平面方程。
解：曲面上点),,(z y x M 处的切平面的法向量?
?????
=→
2,2,1z y x n ，而平面∏的法向量
{}1,2,22=→n ，因为→
→21//n n ，所以有
t z
y x ===2
222，将t z t y t x 2,,2===代入曲面方程，得
14
)2(2)2(22
2=++t t t ，解得21±=t 。 （3分）
因此可符合要求的切平面有两个，其切点分别为)1,21,1(1M 和)1,2
1
,1(2---M ，故切平面方程为
0)1()21
(2)1(2=-+-+-z y x ，即0422=-++z y x ，（2分）
0)1()2
1
(2)1(2=+++++z y x ，即0422=+++z y x 。（2分）
9.4.6.3：设直线???=--+=++0
30
:z ay x b y x l 在平面∏上，而平面∏与曲面 22y x z +=相切于
点)5,2,1(-，求b a ,的值.
解：过直线l 的平面方程设为 ,0)(3=+++--+b y x z ay x λ 即
03)()1(=+--+++b z y a x λλλ
曲面 2
2
y x z +=在点)5,2,1(-处的一个法向量)1,4,2(--=→
n （3分） 所以由题设知
1
1
421--=-+=+λλa ， 解得 5,1-==a λ；（2分） 又因为点)5,2,1(-在平面∏上，故 08)(2)1(=+-+-+b a λλλ. 将5,1-==a λ代入，解得2-=b ，因此 5-=a ， 2-=b . （2分）
9.4.7.2：求124),(223+-+-=y xy x x y x f 的极值。
解：
2,2,86,22,283:)1(2-=''=''-=''-='+-='yy xy xx
y x f f x f y x f y x x f （2分）
（2）由?????=-='=+-='0
220
2832
y x f x x f y x 得驻点为（0，0）（2，2） （2分）
（3）
故该函数在)0,0(点取得最大值，且最大值为1. （3分）
9.4.8.4：利用拉格朗日乘数法求原点到曲面1)(22=--z y x 上的最短距离。
解：设曲面上一点P （x,y,z ）,到原点的距离为222z y x d ++=，
则：2222z y x d ++=，设拉格朗日函数为
]1)[(22222---+++=z y x z y x L λ （2分）
则：0)(22=-+=y x x L x λ
0)(22=--=y x y L y λ
022=-=z z L z λ得：01==z 或λ，代入上式 （2分）
（1）1=λ 代入得： 1,0,02
=-==z y x （舍去）， （1分） （2）0=z 代入得：1)(,1)(2
±=-=-y x y x 得，代入得：2
1,21-==
y x 或2
1
,21=-=y x （2分）
则：最短距离为222z y x d ++=
=
2
2
9.4.9.4： 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的
距离的最大值与最小值。
解：设),,(z y x 为椭圆上任意一点，则点),,(z y x 到原点的距离为：222z y x s ++=
即求222z y x s ++=满足条件22y x z +=与1=++z y x 的条件极值，设拉格朗日
函数：
)1()(),,(22222-+++-++++=
z y x z y x z y x z y x L μλ （2分），
则令：0,0,0===z y x L L L ，
联立方程组
02=++μλx s x 、02=++μλy s y 、0=+-μλs
z
与22y x z +=、1=++z y x ， （2分）
解得：
32),31(21
),31(21111+=+-=+-=z y x ， 或
32),13(2
1
2),13(21212-=-=-=z y x
椭圆上的点到原点的最大距离为：
22
2)32(4
)31(4)31(+++++=最大
s =359+；
椭圆上的点到原点的最小距离为：
22
2)32(4
)31(4)31(-+-+-=最小
s =359-。 （3分）
9.5.1.3：设)(u xF xy z +=，而x y u =
，)(u F 为可导函数，证明：xy z y
z
y x z x +=??+??。
证明：
))(()(2'x
y
u xF u F y x z -++=?? （2分） x
u xF x y z 1
)('?+=?? （2分） []
xy z xy u xF xy u F x y u F x y u F y x y z y x z x
+=++=++??
?
???-+=??+??)()()()(''
（3分）
9.5.2.4：设)()(x
y
xg y x yf z +=,f 与g 都具有连续的二阶偏导数. 求证：
22x z x ??+02=???y
x z
y . 证明：
)()()())(()(1)(2x y
g x y x y g y x f x
y x y g x x y g y y x f y x z '-+'=-'++?'=??； （2分） )()()()(1322222x y g x y x y g x y x y g x y y x f y x z ''+'+'-''=??=)()(132x y g x
y y x f y ''+'' （2分）
=???y x z
2x x y g x y x y g x x y g x y x f y
x 1)()(1)(1)(2?''-'-'+''-
=)()(2
2x y g x y y x f y x ''-''-
（2分） 所以： 22x z x ??+02=???y
x z
y . （1分）
9.5.3.3：证明曲面1=xyz 上任意一点),,(c b a 处切平面与三个坐标面所围成的体积是一
个常数。
证明：令1),,(-=xyz z y x F ，则曲面在),,(c b a 处的法向量为
{}{}ab ca bc xy zx yz c b a ,,,,),,(= （2分）
切平面方程为
0)()()(=-+-+-c z ab b y ca a x bc ，即3=++abz cay bcx ，（因1=abc ） （2分）
显然切平面在三坐标轴上的截距分别为ab
ca bc 3
,3,3，故切平面与三个坐标面所围成的体积为
2
9
)(12933321312
==???=
abc ab ca bc V （常数） （3分）