方案设计题的常见类型及解法
方案设计题的常见类型及解法
姓名
一.利用函数或不等式的性质
例1.（2007年）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表
（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。
解：（1）根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20，则有：
()10020456=--++y x y x 整理得：202+-=x y
（2）由（1）知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ，由题意得：
?
?
?≥+-≥42024
x x ，解得：4≤x ≤8，因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。
方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车； 方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车； 方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车； 方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车； 方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车； （3）设利润为W （百元）则：
()160048104162025126+-=?+?+-+?=x x x x W
∵048<-=k ∴W 的值随x 的增大而减小 要使利润W 最大，则4=x ，故选方案一
1600448+?-=最大W ＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，
最大利润为14.08万元。
二.利用数据计算
例2.（2007年）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．
方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。
解：（1）方案1最后得分：
1
(3.27.07.83838.49.8)7.710
+++?+?+=； 方案2最后得分：1(7.07.83838.4)88
++?+?=；
方案3最后得分：8；
方案4最后得分：8或8.4．
（2）因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
三.利用题中例
例3.（2006年）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只, 某学习小组做摸球实验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：
分数
人数
⑴ 请估计：当n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ；
⑵ 假如你去摸一次, 你摸到白球的概率是 , 摸到黑球的概率是 ； ⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
解：（1）0.60 （2）0.60，0.40 （3）白球个数为12只，黑球个数为8只； （4）方案1：
①添加：向口袋中添加一定数目的黑球，并充分搅匀； ②实验：进行大数次的摸球实验（有返回），记录摸到黑球和白球的次数，分别计算频率，由频率估计概率； ③估算：
=黑球个数球的总个数，摸到黑球的概率
球的总个数×摸到白球的概率=白球个数。
方案2：
①标记：从口袋中摸出一定数目的白球做上标记，然后放回口袋并充分搅匀； ②实验：进行大数次的摸球实验（有返回），记录摸到有标记球的次数，计算频率，由频率估计概率； ③估算：
=有标记球的个数
白球个数摸到有标记球的概率
四.利用图形的性质
例4.（2007年）为创建绿色校园，学校决定对一块形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在形加以设计，使形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一.
① ② ③ ④ ⑤
五.利用函数
例5.（2007年）如图，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）根据（2）中的数据计算AB ．
解：（1）测量图案（示意图）如图所示
（2）测量步骤：
第一步：在地面上选择点C 安装测角仪， 测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠， 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量 出C D ，之间的距离CD m =， 第三步：在点D 安装测角仪，测得此 时树尖A 的仰角AFE β=∠， 第四步：用皮尺测出测角仪的高h （3）计算：
令AE x =，则tan x HE α=，得tan x HE α
=， 又tan x
EF
β=
，得tan x EF β=，
HE FE HF CD m -===，
tan tan x x
m αβ
∴
-=， 解得tan tan tan tan m x αβ
βα=
-，
tan tan tan tan m AB h αβ
αβ
∴=
+-．
方案设计题密切联系实际，题型新颖，对思维方法有较高的要求，对考生的创新能力具有较好的考查功能，平时应重视这方面的学习和训练。
A B
A
E
F
H C
D
B
摘录于《初中数学教与学》2008.9
方案设计题的常见类型及解法
姓名
一.利用函数或不等式的性质
例1.（2007年）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。
二.利用数据计算
例2.（2007年）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4
个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．
方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。
三.利用题中例
例3.（2006年）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只, 某学习小组做摸球实验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：
⑴ 请估计：当n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ；
⑵ 假如你去摸一次, 你摸到白球的概率是 , 摸到黑球的概率是 ； ⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
分数
人数
四.利用图形的性质
例4.（2007年）为创建绿色校园，学校决定对一块形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在形加以设计，使形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
①②③④⑤
五.利用函数
例5.（2007年）如图，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB．
要求：
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）根据（2）中的数据计算AB．
A
B
方案设计题密切联系实际，题型新颖，对思维方法有较高的要求，对考生的创新能力具有较好的考查功能，平时应重视这方面的学习和训练。
摘录于《初中数学教与学》2008.9