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解析几何基本知识归纳

解析几何基本知识归纳
解析几何基本知识归纳

解析几何

考点一、轨迹方程

求曲线方程的步骤:1.建系;2.列方程(即找等量关系.....,并将其转化为关于待求曲线上的......任意一点的坐标所满足的等式.............

)并化简;3.去杂补漏(一般依据有:三角形三顶点不能在一条直线上;变形过程是否扩大或缩小了变量的范围;曲线内部的点不能超出曲线等). 注:建立等式的方法有:1.直接法;2.待定系数法;3.相关点法.4.参数法;5.几何法; 练习1. 已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’,延长P ’P 至M ,使P ’M=2 P ’P ,求点M 的轨迹。2214

16

x y +=

考点二、直线和圆

(一)直线方程⑴点斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ; ⑷两点式: ;⑸一般式: ,(A ,B 不全为0)。

111222为 ;

(2)两点间的距离公式:已知两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|= ;

(3)点P (x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离: ;

(4)两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是 ; (四)圆的方程:

⑴标准方程: (r >0),称为圆的标准方程,其圆心坐标为 ,半径为r.特别地,当圆心在原点(0,0),半径为r 时,圆的方程为 .

⑵一般方程: ()0422>-+F E D 注:Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C ≠0且B=0且D 2+E 2-4AF>0; 其圆心坐标为 ,半径为 .当F E D 422-+=0时,方程表示一个点,2

2D E ??

-

- ???;当F E D 422-+<0时,方程不表示任何图形. (3)圆的参数方程:cos sin x a r y b r θ

θ

=+??

=+?.

(五)点、直线与圆的位置关系: ⑴点与圆的位置关系:(d 表示点到圆心的距离)

①?=R d 点在圆 ;②?R d 点在圆 。

点和圆的位置关系:给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22200()()x a y b r ?-+-<②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?( ③M 在圆C 外22200()()x a y b r ?-+->

⑵直线与圆的位置关系:(d 表示圆心到直线的距离)

①?=R d 相 ;②?R d 相 。 ⑶圆与圆的位置关系:(d 表示圆心距,r R ,表示两圆半径,且r R >)

①?+>r R d ;②?+=r R d ;③ ?相交; ④?-=r R d ;⑤?-<

练习2(09安徽)直线l 过点(-1,2)且与2x-3y-7=0垂直,则l 方程是

3210x y +-=

3.已知圆心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l :x -y+1=0,求圆心为C 的圆的标准方程 .22(3)(2)25x y +++=

4.(09全国Ⅱ文)已知圆O :522=+y x 和点A (1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 25/4

5.已知点P (5,0)和⊙O :x 2+y 2=16,自P 作⊙O 的切线,切线的方程为 43200x y ±-=

附注:等轴双曲线: 222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率 .

(一) 求圆锥曲线的标准方程:

考点解析——椭圆或双曲线的标准方程:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.四个主要元素a 、b 、c 、e 中,有2c =2a ±2b 、e=c/a 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件。

练习6.过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆方程是( A ) A .2

21510

1x y +

= B .

222

2

15101x y +

= C .2

210

15

1x

y += D .

222

2

10151x y +

=

7.(09浙江)(15分)已知抛物线C :22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为

17

4

,求抛物线方程和A 的坐标;y x =2 2±=m (二)利用圆锥曲线的定义解题 练习8.双曲线2

26436

1x y -

=上一点P,F 1,F 2为左右焦点,且|PF 2|=17,则|PF 1|=( A )

(A )33 (B )1 (C )33或1 (D )34

9. F 1、F 2是椭圆2

9x +2

25

y =1的两个焦点,AB 是过点F 1的弦,则?ABF 2的周长是( C )

(A)10 (B)12 (C)20 (D)不能确定 10.设P 为椭圆

2225

16

1x y +

=上的点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2=6

π,则△PF 1F 2的面积

等于

32(16+) (C)32(16-) (D)16 11.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B )

A .17/16

B .15/16

C .7/8

D .0 B (三)熟练运用圆锥曲线的几何性质解题: 12.F 1、F 2是椭圆两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2

13.与双曲线

2

2

9

161x y -=有共同的渐近线,且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到

一条渐近线的距离是(C)(A )8 (B )4 (C )2 (D )1

(四)综合问题

综合1.直线与二次曲线交点的等价转化 (1)只有一个交点的转化

直线与椭圆只有一个公共点

直线与椭圆相切消元所得方程为一元二次方程,且⊿=0

(2)无交点与有2个交点的转化

直线与二次曲线有2个交点??关键方程对应的 0; 直线与二次曲线有无交点??关键方程对应的 0;

练习14.直线y=kx+3与椭圆x 2+4y 2=16,只有一个公共点,则k 的取值集合是 ?

??????

变式1:直线y=kx+1 与双曲线x 2-4y 2=16,只有一个公共点,则k 的取值集合是

11,,22??-????

变式2:已知直线y=kx +2与双曲线x 2-y 2=6的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是

) (C)(1-) (D)(0-

)

综合二.直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长AB = =

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ,运用韦达定理来进行计算.

练习15.直线y = x -1被双曲线2x 2

-y 2

= 3所截得弦的中点坐标是_(-1,-2)_______,

弦长是_______ 综合三.中点弦问题

点差法——具有斜率的弦中点问题,一般设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数——差分法(点差法).(一般适用于与弦的中点和斜率有关时用之,一种特殊应用是曲线上存在两点关于直线对称的问题)

练习16.一直线与椭圆4x 2+9y 2

=36相交于两点A 、B ,弦AB 的中点坐标是(1,1),则直线AB 的方程是___ __

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意 直线.

(4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,有

高中解析几何知识点

曲线与方程 (2)求曲线方程的基本方法 直线 一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念:(1)倾斜角:当直线 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。 (2)倾斜角的范围:当 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角 为0°因此0°≤ <180°。 2、直线的斜率 (1)斜率公式:K=tan ( ≠90°) (2)斜率坐标公式:K=12 1 2x x y y -- (x1≠x 2) (3)斜率与倾斜角的关系:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率。当 =0°时,k=0;当0°< <90°时,k >0,且 越大,k 越大;当 =90°时,k 不存在;当90°< <180°时,k <0,且 越大,k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定: (1)两条不重合的直线的倾斜角都是90°,即斜率不存在,则这两直线平行; (2)两条不重合的直线,若都有斜率,则k1=k2 1 ∥2 2、两直线垂直的判定:

已知直线l 经过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠,则通过这两点的直线方程为11 12122121(,) y y x x x x y y y y x x --=≠≠--, 由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式 已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ,与y 轴的交点为(0,)B b ,其中0,0a b ≠≠,则直线l 的方程1 =+b y a x 叫做直线 的截距式方程. 注意:直线与x 轴交点(a ,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距;直线与y 轴交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ,则22122121()()PP x x y y =-+-. 特殊地:(,)P x y 与原点的距离为 22 OP x y =+. 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 111(,),P x y k 11() y y k x x -=- k 存在 斜截式 b k , y kx b =+ k 存在 两点式 ) ,(11y x (),22y x 11 2121 y y x x y y x x --= -- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式 b a , 1x y a b += 0a ≠ 0b ≠

解析几何常用知识点总结

“解析几何”一网打尽 (一)直线 1.[)?? ? ??≠≠--= =∈2112122tan 0x x x x y y k l ,,,直线的倾斜角πααπα 2.直线的方程 (1)点斜式 11() y y k x x -=- (直线l 过点 111(,) P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y k x b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)一般式 0A x B y C ++=(其中A 、B 不同时为0). 特别的:(1)已知直线纵截距,常设其方程为或;已知直线横截距,常设其方程为 (直线斜率k 存在时,为k 的倒数)或.知直线过点,常设其方程为 或 (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点; 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点; 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点. (3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式 (1)两点间距离公式: 1122(,)(,)A x y B x y A B =点点 (2)00(,)x y P 到直线0A x B y C ++= 的距离为d = 特别地,当直线L: 0x x =时,点P (00,x y )到L 的距离0d x x =-; 当直线L: 0y y =时,点P (00,x y )到L 的距离0d y y =-. (3). 两平行线间的距离公式:设1122:0,:0,l A x B y C l A x B y C d ++=++==则4.两直线的位置关系:; ;重合 5.三角形的重心坐标公式 :△ABC 三个顶点的坐标分别为11A (x ,y )、22B (x ,y )、33C (x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123 123 (, )3 3 x x x y y y G ++++. b y k x b =+0x =0x x m y x =+m 0y =00(,) x y 00 ()y k x x y =-+0 x x =???1±1 2121212121()0 l l k k k k A A B B ⊥?=-?+=、都存在时{ { 12 1221121212 1221 //()k k A B A B l l k k b b A C A C ==? ? ≠≠、都存在时

《空间解析几何2》教学大纲.

《空间解析几何2》教学大纲 课程编号:12307229 学时:22 学分:1.5 课程类别:限制性选修课 面向对象:小学教育专业本科学生 课程英语译名:In terspace An alytic Geometry (2) 一、课程的任务和目的 任务:本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论,正确地理解和使用向 量代数知识,并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线(面)与方程相对应的观念,熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法,训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的:通过本课程的学习,使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法,培养学生的抽象思维能力及空间想象力,培养学生用代数方法处理几何问题的能力,提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础,为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 (一)平面与空间直线(14学时) 1.教学内容与要求:本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程,能判别空间有关点、直线与平面的位置关系,能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点:根据条件求解平面和空间直线的方程,及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点:求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容: (1)平面的方程(2课时):掌握空间平面的几种求法(点位式、三点式、点法式、一般式)。 (2)平面与点及两个平面的相关位置(2课时):掌握平面与点的位置关系及判定方法;掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 (3)空间直线的方程(2课时):掌握空间直线的几种求法(点向式、两点式、参数式、一般式、射影式)。 (5)直线与平面的相关位置(2课时):掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 (6)空间两直线的相关位置(2课时):掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 (7)空间直线与点的相关位置(2课时):掌握直线与点的位置关系及判定方法。 (8)平面束(2课时):掌握平面束的定义(有轴平面束和平行平面束),并能根据题意求平面束的方程。 (二)特殊曲面(8学时)

解析几何学习知识重点情况总结复习资料

一、直线与方程基础: 1、直线的倾斜角α: [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k : 21 21 tan y y k x x α-== -; 注意:倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式: ①点斜式:00()y y k x x -=-; ②斜截式:y kx b =+; ③一般式:0Ax By C ++=; ④截距式:1x y a b +=; ⑤两点式: 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意:各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件: 1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?; 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式: ①两点距离公式:11(,)M x y ,22(,)N x y ,

MN = ②中点坐标公式:11(,)M x y ,22(,)N x y , 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++; ③点到直线距离公式: 00(,)P x y ,:0l Ax By C ++=, 则点P 到直线l 的距离d = ; ④两平行直线间的距离公式:11:0l Ax By C ++=,22:0l Ax By C ++=, 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式:(补充)直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ,(0,)(,)22 ππ θπ∈U ,则2112 tan 1k k k k θ-=+? .(两倾斜角差的正切) 二、直线与圆,圆与圆基础: 1、圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=; 确定圆的两个要素:圆心(,)C a b ,半径r ; 2、圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++=,(22 40D E F +->); 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系: 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<; 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=; 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->; 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系: 从几何角度看: 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d , 相离?d r >;

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示 任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示 过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的 倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截.距相等...?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),2212212 1)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:

高中解析几何知识点

解析几何知识点 一、基本内容 (一)直线的方程 1、直线的方程 确定直线方程需要有两个互相独立的条件,而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点.确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 2、两条直线的位置关系 两条直线的夹角,当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别. (2)判断两直线是否平行,或垂直时,若两直线的斜率都存在,可用斜率的关系来判断.但若直线斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断. 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想,即将对几何图形的研究,转化为对代数式的研究,同时又要理解代数问题的几何意义. (二)圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程,并能熟练地相互转化,一般地说,具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程.在求圆方程时,若条件与圆心有关,则一般用标准型较易,若

已知圆上三点,则用一般式方便,注意运用圆的几何性质,去简化运算,有时利用圆系方程也可使解题过程简化. 2、 圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2;一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、 在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2,若满足a 2+b 2 = r 2条件时,能使圆过原点;满足a=0,r >0条件时,能使圆心在y 轴上;满足b r =时,能使圆与x 轴相切;r =条件时, 能使圆与x -y =0相切;满足|a |=|b |=r 条件时,圆与两坐标轴相切. 4、 若圆以A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)为直径,则利用圆周上任一点P (x ,y ), 1PA PB k k =-求出圆方程(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时,一定要联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征,尽可能简化运算,讨论直线与圆的位置关系时,一般不用△>0,△=0,△<0,而用圆心到直线距离d <r ,d=r ,d >r ,分别确定相关交相切,相离的位置关系.涉及到圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径,计算交弦长时,要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形,当然,不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1:x 2+y 2 = r 2,⊙O 2:(x -a )2+(y -b )2=r 2;⊙O 3:x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0,y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0=r 2;⊙O 2切线方程 条切线,切线弦方程:xx 0+yy 0=r 2. (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示,这就是动点的坐标(x ,y ).当点按某种规律运动而形成曲线时,动点坐标(x ,y )中的变量x ,y 存在着某种制约关系.这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x ,y 方程F (x ,y )=0. 曲线C 和方程F (x ,y )=0的这种对应关系,还必须满足两个条件: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,这时,我们才能把这个方程叫做曲线的方程,

解析几何知识点总结

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解析几何知识点总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:(0,180) 2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α (1).倾斜角为90°的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过A (x1,y1)和B (x2,y2)两点的直线的斜率为K , 则当X1≠X2时,k=tan α=Y1-Y2/X1-X2;当X1=X2时,α=90°;斜率不存在; 二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x0; 2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:y=kx+b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:y=kx 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点,且(X1≠X2,y1≠y2)则直线的方 程:1 21 121x x x x y y y y --=--; 注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (a ≠0,b ≠0)则直线方程: 1=+b y a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:Ax+By+C=0;(A,B 不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 位置关系 2 22111::b x k y l b x k y l +=+= 0 :0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+b y a x . 注:若23 2--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是23 2--=x y ,但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则 1l ∥212k k l =?,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件,且21C C ≠)

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ()向量的模——有向线段的长度,2||a → ()单位向量,3100|||| a a a a →→ → → == ()零向量,4000→ → =|| ()相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数,使()0λλ (7)向量的加、减法如图: OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e e a → → → 12,是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一

实数对、,使得,、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i j x y →→ ,是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数,,使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=,称,为向量的坐标,记作:,,即为向量的坐标() 表示。 ()()设,,,a x y b x y → → ==1122 ()()()则,,,a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111,, ()()若,,,A x y B x y 1122 ()则,AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212,、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 ()··叫做向量与的数量积(或内积)。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角,,a b → → ∈0

解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质:0>p

1、定义: 2、几个概念: ① p 的几何意义:焦参数p 是焦点到准线的距离,故p 为正数; ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1 4 ; ③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径:2p 3、如:AB 是过抛物线)0(22 >=p px y 焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,l MN ⊥,N 为垂足,l BD ⊥,l AH ⊥,D ,H 为垂足,求证: (1)DF HF ⊥; (2)BN AN ⊥; (3)AB FN ⊥; (4)设MN 交抛物线于Q ,则Q 平分MN ; (5)设),(),,(2211y x B y x A ,则2 21p y y -=,2 214 1p x x =; (6)p FB FA 2| |1 | |1= +; (7)D O A ,,三点在一条直线上 (8)过M 作AB ME ⊥,ME 交x 轴于E ,求证:||2 1||AB EF =,||||||2 FB FA ME ?=;

1、 双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。 第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点,焦点间距离叫做焦距;定直线叫做准线。常数叫做离心率。 注意: a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹; 2、 双曲线的标准方程 ①焦点在x 轴上的方程:22221x y a b -=(a>0,b>0); ②焦点在y 轴上的方程:22 221y x a b -= (a>0,b>0); ③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx 2 -ny 2 =1(m ·n<0); ④双曲线的渐近线:改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线: ①求双曲线12 2 22 =-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得022 22=-b y a x ,因式分解得到。②与双曲线122 2 2 =-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ; 4、等轴双曲线: 为2 22t y x =-,其离心率为2 5、共轭双曲线: 6、几个概念: ①焦准距:b 2 c ; ②通径:2b 2 a ; ③等轴双曲线x 2-y 2=λ (λ∈R,λ≠0):渐近线是y=±x,离心率为:2 ;④22 221x y a b -=焦点三角形的面积:b 2 cot θ2 (其中∠F 1PF 2=θ); ⑤弦长公式:c 2 =a 2 -b 2 ,而在双曲线中:c 2 =a 2 +b 2 ,

高中数学必修2解析几何公式知识点总结

高中数学必修2解析几何知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时,0≥k ; 当() 180,90∈α时,0

高中数学解析几何知识点总结大全

高中数学解析几何知识点大总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:?<≤?1800α 2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k (1).倾斜角为?90的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21x x ≠时,2 121tan x x y y k --= =α;当21x x =时,o 90=α;斜率不存在; 二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =; 2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y = 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121,y y x x ≠≠则直线的方程: 1 21 121x x x x y y y y --=--; 注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程: 1=+b y a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

解析几何基础知识汇总(推荐文档)

1i : y = k i x + b i , I 2: y = k 2X + b 2, 则: (x — a)2+ (y — b)2 = r 2,方程表示圆心为(a , b),半径为r 的圆. 圆的一般方程 对于方程 Z+y 2+ Dx + Ey + F = 0 r 为半径,则有r 2= d 2+g),即I = M 2-d 2,求弦长或 已知弦长求解问题,一般用此公式. 5、两圆位置关系的判断 两圆(X — a 1)2 + (y — b 1)2= r 2(r > 0), (x — a 2)2 + (y — b ?)2 = r 2(r 2> 0)的圆心距为 d ,则 1. d >「1+「2?两圆外离; 2. d =「1+「2?两圆外切; 3. |r 1 — r 2|< d < r 1 + 「2(「1工 r 2)?两圆相交 4. d = |r 1— 「2|(「1工 r 2)?两圆内切; 解析几何基础知识 1.平行与垂直 (1)直线11 // 12的充要条件是: ⑵直线11丄12的充要条件是: k 1 = k 2 且 b 仟 b 2 k 1 k 2=— 1 2.三种距离 (1)两点间的距离平面上的两点 y)的距离|OP| =7x 耳亍. 点(0,0)与任意一点P(x , (2)点到直线的距离:点 (3)两条平行线的距离 两条平行线 Ax +By + C 1 3 、 ①. P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)间的距离公式 |P 1P 2|=寸(X 1— xz j +(y 1 — y 2 j .特别地,原 IAX 0+ By 0+C| P 0(X 0, y 0)到直线 I : Ax +By + C = 0 的距离 d = ■ 2 ^2 7 A + B =0 与 Ax + By + C 2 = 0间的距离 d =昙眉2 圆的方程的两种形式 圆的标准方程 若直线l i 和12有斜截式方程 ②. (1)当 D 2+ E 2— 4 F >0时,表示圆心为③ 卜2 — E ) 2丿,半径为 貝D 2+ E 2— 4F 的圆; ⑵当 D 2+ E 2— 4 F = 0时,表示一个点 卜2, - I 〕; ⑶当 D 2+ E 2 — 4F <0时,它不表示任何图形. 4、 直线与圆的位置关系 ①. 直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有: 几何法:禾U 用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系d < r?相交;d = r?相切;d >r?相离 ②. 直线与圆相交 直线与圆相交时,若I 为弦长,d 为弦心距,

最新高中数学必修二平面解析几何知识点梳理优秀名师资料

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 倾斜角,斜率不存在. (2)直线的斜率:.(、). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: (直线过点,且斜率为).注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为.(2)斜截式: (b为直线在y轴上的截距). (3)两点式: (,). 注:①不能表示与轴和轴垂直的直线; ②方程形式为:时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:(分别为轴轴上的截距,且). 注:不能表示与轴垂直的直线,也不能表示与轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式: (其中A、B不同时为0). 一般式化为斜截式:,即,直线的斜率:.注:(1)已知直线纵截距,常设其方程为或. 已知直线横截距,常设其方程为(直线斜率k存在时,为k的倒数)或. 已知直线过点,常设其方程为或.(2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合.

3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若, ①;②. (2)若,,有 ①.②.5.平面两点距离公式: (、),.轴上两点间距离: . 线段的中点是,则. 6.点到直线的距离公式: 点到直线的距离:. 7.两平行直线间的距离: 两条平行直线距离:. 8.直线系方程: (1)平行直线系方程: ①直线中当斜率一定而变动时,表示平行直线系方程.. ②与直线平行的直线可表示为. ③过点与直线平行的直线可表示为: .

《空间解析几何》学习指导

《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课,它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础,同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力,抽象的思维表达能力,空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系,学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习,使学生能够比较系统地掌握几何向量,n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力,逻辑推理能力,运算技能,并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下: 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法,矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律,矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念,掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念,掌握空间点和矢量坐标的定义,坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直;掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念,掌握矢积的计算;矢积坐标的公式;能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念,掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念,掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念,掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法,空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式:(1)点法式方程,(2)一般式方程,(3)参数式方程,(4)法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式

解析几何基础知识100题

解析几何基础100题 一、选择题: 1. 若双曲线22 221x y a b -=-的离心率为54 ,则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043 X Y ±= 解 答:C 易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。 2. 椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是 解 答:D 易错原因:短轴长误认为是b 3.过定点(1,2)作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切,则k 的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答:D 易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 2240D E F +-> 4.设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ,直线L 过(,0),(0,)a b 两点, 已知原点到直线L 的距离为 4 ,则双曲线的离心率为

A 2 B 2或 3 解答:D 易错原因:忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5.已知二面角β α- -l的平面角为θ,PAα ⊥,PBβ ⊥,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,,当θ变化时,点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答: D 易错原因:只注意寻找,x y的关系式,而未考虑实际问题中,x y的范围。 6.若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答:C 易错原因:将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7.P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱+︱RQ︱最小,则m=()

解析几何知识点总结

解析几何知识点总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围:(0,180) 2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α (1).倾斜角为90°的直线没有斜率。 (2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过A (x1,y1)和B (x2,y2)两点的直线的斜率为K , 则当X1≠X2时,k=tan α=Y1-Y2/X1-X2;当X1=X2时,α=90°;斜率不存在; 二、直线的方程 1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0) 注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x0; 2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:y=kx+b ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:y=kx 注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。 3.两点式:若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点,且(X1≠X2,y1≠y2)则直线的方程: 1 21 121x x x x y y y y --=--; 注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (a ≠0,b ≠0)则直线方程:1=+ b y a x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:Ax+By+C=0;(A,B 不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。 三、两条直线的位置关系

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