(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数第9节函数模型及其应用学案

第9节函数模型及其应用

考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.

知识梳理

1.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

与对数函数相关的模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)

函数

性质

y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)

上的增减性

单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大逐渐表现

为与y轴平行

随x的增大逐渐表现

为与x轴平行

随n值变化

而各有不同

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )

(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2

的函数值大.( ) (3)不存在x 0，使ax 0

0

(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a

(a >0)的增长速度.( )

解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×9

10＝99(元).

∴每件赔1元，(1)错.

(2)中，当x ＝2时，2x

＝x 2

＝4.不正确.

(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝1

4，不等式成立，因此(3)错.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(教材必修1P104练习T1改编)在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：

x 0.50 0.99 2.01 3.98 y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则对x ，y A.y ＝2x B.y ＝x 2

－1 C.y ＝2x －2

D.y ＝log 2x

解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意. 答案 D

3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A.8

B.9

C.10

D.11

解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为? ????12n

，由

? ??

??12n

<11 000，得n ≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半

衰期”. 答案 C

4.(2020·临沂一中月考)已知f (x )＝x 2

，g (x )＝2x

，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A.f (x )>g (x )>h (x ) B.g (x )>f (x )>h (x ) C.g (x )>h (x )>f (x )

D.f (x )>h (x )>g (x )

解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为

g (x )>f (x )>h (x ).

答案 B

5.(多填题)(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几

何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则?

???

?x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋1

3z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.

解析 把z ＝81代入方程组，化简得????

?x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，

解得x ＝8，y ＝11. 答案 8 11

6.(多填题)(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________.

解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x ＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x )元，所以(120－

x )×80%≥120×0.7，所以x ≤15.即x 的最大值为15.

答案 ①130 ②15

考点一利用函数的图象刻画实际问题

【例1】(2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.

答案 A

规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.

2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

【训练1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了

一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v

＝f(h)的大致图象是( )

解析由题意知，水深h越大，水的体积v就越大.

当h＝0时，v＝0，故可排除A，C；

当h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”.

每当h增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故v＝f(h)的图象是先凹后凸的，故选B.

答案 B

考点二已知函数模型求解实际问题

【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的

隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k

3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，

每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝40

3x ＋5

(0≤x ≤10)，

∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋800

3x ＋5(0≤x ≤10).

(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋800

3x ＋5－10.

令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800

t

－10≥2

2t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800

t

，即t ＝20时等号成立)，

此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.

∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【训练2】 (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：

M 1

（R ＋r ）

2

＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R

3.

设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5

（1＋α）

2

≈3α3

，则r 的近似值为( ) A.

M 2

M 1

R B.

M 2

2M 1

R C.

3

3M 2

M 1

R D.

3

M 2

3M 1

R

解析 由α＝r

R

，得r ＝αR ， 代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1

R 3，

整理得3α3

＋3α4

＋α5

（1＋α）2

＝M 2

M 1

. 又3α3

＋3α4

＋α5

（1＋α）2

≈3α3，即3α3

≈M 2M 1

，所以α≈3

M 2

3M 1

， 故r ＝αR ≈3

M 2

3M 1

R . 答案 D

考点三 构建函数模型的实际问题 多维探究

角度1 构建二次函数、分段函数模型

【例3－1】 (2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋2x .在年产量不小于8万件时，W (x )＝7x ＋100x －37.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.

(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元.依题意得 当0

P (x )＝6x －? ??

??1

3

x 2＋2x －2＝－13

x 2＋4x －2，

当x ≥8时，

P (x )＝6x －?

????7x ＋

100x

－37－2＝35－? ??

??x ＋100x .

故P (x )＝?????－1

3

x 2

＋4x －2，0

x ，x ≥8.

(2)当0

(x －6)2

＋10.

此时，当x ＝6时，P (x )取最大值，最大值为10万元.

当x ≥8时，P (x )＝35－

? ??

??x ＋100x ≤35－2x ·

100

x

＝

15?

??

??当且仅当x ＝100x

，即x ＝10时，取等号.

此时，当x ＝10时，P (x )取得最大值，最大值为15万元.

因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

角度2 构建指数(对数)型函数模型

【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

2. (1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0

＝12

，

解得x ＝1－? ??

??121

10. 故每年砍伐面积的百分比为1－? ????121

10. (2)设经过m 年剩余面积为原来的

22

， 则a (1－x )m

＝

22a ，把x ＝1－? ??

??121

10

代入， 整理得? ????12m

10＝? ????121

2，即m 10＝12，解得m ＝5.

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.

规律方法 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.

2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.

【训练3】 (1)(角度1)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2

，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元

D.43.025万元

(2)(角度2)已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010

，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数.现有以下几种说法： ①P A ≥1；

②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5

(3)(角度2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据： lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2020年 B.2021年 C.2022年

D.2023年

解析 (1)设在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润

y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32

＝－0.1(x －10.5)2

＋0.1×10.52

＋32.

因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元. (2)当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误.

若P A ＝1，则n A ＝10；若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误. 设B 菌的个数为n B ＝5×104

，

∴n A ＝1010

5×104＝2×105

，则P A ＝lg(n A )＝5＋lg 2.

又lg 2≈0.3，因此5

>200.

两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3， 所以n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝19

5

，

又n ∈N *

，所以n ≥4，

所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 (1)C (2)③ (3)D

A 级 基础巩固

一、选择题

1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )

解析 由题意得关系式为h ＝20－5t (0≤t ≤4).图象应为B 项. 答案 B

2.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361

，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080

.则下列各数中与M N

最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

解析 由题意，lg M N ＝lg 3361

10

80＝lg 3361－lg 1080

＝361lg 3－80lg 10≈93.

所以M

N

≈1093

，故与M N

最接近的是1093

. 答案 D

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列斜述中正确的是( )

A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 km

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80 km/h 的速度行驶1小时，消耗10 L 汽油

D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析 对于A ，消耗1 L 汽油，乙车行驶的最大距离大于5 km ，故A 错；对于B ，以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B 错；对于C ，甲车以80 km/h 行驶1小时，里程为80 km ，燃油效率为10 km/L ，消耗8 L 汽油，故C 错；对于D ，因为在速度低于80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车，故D 正确. 答案 D

4.(2020·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )

(参考数据：1.022 54

≈1.093，1.022 55

≈1.118，1.040 15

≈1.217) A.176元

B.99元

C.77元

D.88元

解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5

≈1 217(元)，故共得利息1 217－

1 000＝217(元).将 1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为 1 000×(1＋2.25%)5

≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元). 答案 B

5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg I I 0

(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( ) A.76

倍 B.1076

倍

C.10倍

D.ln 76

倍

解析 由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107

，I 2＝I 0106

，所以I 1

I 2

＝10，所以70 dB 的声

音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍. 答案 C 二、填空题

6.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×

600

x

＋4x ＝

3 600

x

＋4x ≥2

3 600

x

×4x ＝

240，当且仅当3 600

x

＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.

答案 30

7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________.(用常数a 表示) 解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2

，

∴D ＝at －t 2

＝－? ????t －12a 2

＋14

a 2，

∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2

时，D 取得最大值.

答案 14

a 2

8.一个容器装有细沙a cm 3

，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，

t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过

________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 当t ＝8时，y ＝a e

－8b

＝12a ，所以e －8b

＝12

. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e

－bt

＝18a ，e －bt ＝18

＝(e －8b )3＝e －24b

，则t ＝24. 所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 三、解答题

9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q

10(其中a ，b 是实数).据统

计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a ，b 的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 330

10＝0，即a ＋b ＝0.

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故有a ＋b log 390

10＝1，即a ＋2b ＝1.

解方程组???

?

?a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得?

???

?a ＝－1，b ＝1.

(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q

10

.

所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 即－1＋log 3Q

10

≥2，解得Q ≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s 时，其耗氧量至少要270个单位. 10.某医药机构测定，某种药品服用后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服用药品后y 与t 之间的函数关系式；

(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.50微克时治疗有效，求服用药品后的有效时间.

解 (1)由题中图象，设y ＝?????kt ，0≤t ≤1，? ??

??12t －a

，t >1.

当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；

当? ????121－a

＝4，得a ＝3.所以y ＝?????4t ，0≤t ≤1，? ??

??12t －3，t >1.

(2)由y ≥0.50，得?????0≤t ≤1，4t ≥0.50或?????t >1，? ??

??12t －3≥0.50，

解得1

8≤t ≤4，因此服用药品后的有效时间为

4－18＝31

8

(小时). B 级 能力提升

11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝

a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a

4

L ，则m 的值为

( ) A.5

B.8

C.9

D.10

解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n

＝12

a ，

可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·? ????12t

5

，

因此，当k min 后甲桶中的水只有a

4

L 时，

f (k )＝a ·? ????12k

5＝14a ，即? ????12

k

5＝14

，

∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A

12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利

B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损

D.无法判断盈亏情况

解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n

＝a ×1.1

n

元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n

×(1－10%)n

＝a ×1.1n

×0.9n

＝a ×(1.1×0.9)n

＝0.99n

·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损. 答案 B

13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定

时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )? ??

??12t

h

，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰

期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min. 解析 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，

得37－21＝(85－21)·? ??

??1216

h

，解得h ＝8.

令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，

则29－21＝(37－21)·? ??

??12t

8

，解得t ＝8.

答案 8

14.(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝?????14a ＋2，80≤a ≤120，

32，120

设甲城市的投入为

x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元).

(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解 (1)当x ＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f (128)＝4×2×128－6＋1

4×112＋2＝88(万元).

因此，此时公司的总收益为88万元.

(2)由题意知，甲城市投资x 万元，则乙城市投资(240－x )万元，

依题意得?

????x ≥80，

240－x ≥80，解得80≤x ≤160，

当80≤x <120，即120<240－x ≤160时，

f (x )＝42x －6＋32＝42x ＋26<26＋1615.

当120≤x ≤160，即80≤240－x ≤120时，

f (x )＝42x －6＋1

4

(240－x )＋2

＝－1

4

x ＋42x ＋56.

令t ＝x ，则t ∈[230，410]，

所以y ＝－14t 2＋42t ＋56＝－14(t －82)2

＋88.

当t ＝82，即x ＝128时，y 取最大值88. 因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0， 故f (x )的最大值为88.

因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.

C 级 创新猜想

15.(多选题)(2020·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运

动，它们的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x

－1，

f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝lo

g 2(x ＋1)，则下列结论正确的是( )

A.当x >1时，甲走在最前面

B.当x >1时，乙走在最前面

C.当01时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

解析 甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为

f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝lo

g 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型

函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确； 当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确；

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C 正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确. 答案 CD

16.(多选题)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝?????－7

20

x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.

则下列说法正确的是( )

A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

解析 由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1＜

x ≤30时，f (x )＝1

5＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12

＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保

持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12＞1

5，故D 错误.

答案 ABC

【高考数学专题】函数的零点练习题

函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121，内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21<x f x f C ()()0,0. 21>>x f x f D 7、已知a 是()x x f x 2 1log 2-=的零点，若a x <<00，则()0x f 的值满足（ ） ()0. 0=x f A ()0.0x f C ()符号不确定 0.x f D 8、若函数()a x x x f -+=2 log 3 在区间()21， 内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） ()2log 1. 3--，A ()2l o g 0.3，B ()12l o g .3， C ()4l o g 1.3，D 9、若432<<<

高考必记数学公式汇总

高考必记数学公式汇总 1、函数的单调性 1设x1、x2[a,b],x1x2那么 fx1fx20fx在[a,b]上是增函数; fx1fx20fx在[a,b]上是减函数. 2设函数yfx在某个区间内可导，若fx0，则fx为增函数;若fx0，则fx为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x，都有f-x=fx，则fx是偶函数; 对于定义域内任意的x，都有fxfx，则fx是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 3、解三角形公式 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径 余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosA sinA+B=sinC sinA+B=sinAcosB+sinBcosA sinA-B=sinAcosB+sinBcosA sin2A=2sinAcosA cos2A=2cosA2-1=cosA2-sinA2=1-2sinA2 tan2A=2tanA/[1-tanA2] sinA2+cosA2=1 4、常用的诱导公式有以下几组： 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin2kπ+α=sinαk∈Zcos2kπ+α=cosαk∈Ztan2kπ+α=tanαk∈Zcot2kπ+α=cotαk ∈Z 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sinπ+α=-sinαcosπ+α=-cosαtanπ+α=tanαcotπ+α=cotα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin-α=-sinαcos- α=cosαtan-α=-tanαcot-α=-cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sinπ-α=sinαcosπ-α=-cosαtanπ-α=-tanαcotπ-α=-cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin2π-α=-sinαcos2π-α=cosαtan2π-α=-tanαcot2π-α=-cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sinπ/2+α=cosαcosπ/2+α=-sinαtanπ/2+α=-cotαcotπ/2+α=-tanαsinπ/2- α=cosαcosπ/2-α=sinαtanπ/2-α=cotαcotπ/2-α=tanαsin3π/2+α=- cosαcos3π/2+α=sinα 椭圆 1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x2/a2+y2/b2=1,其中 a>b>0,c2=a2-b2 2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y2/a2+x2/b2=1,其中a>b>0,c2=a2-b2 参数方程：x=acosθ;y=bsinθθ为参数，0≤θ≤2π 双曲线 1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x2/a-y2/b2=1,其中a>0，b>0，c2=a2+b2. 2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y2/a2-x2/b2=1,其中a>0，b>0，c2=a2+b2. 参数方程：x=asecθ;y=btanθθ为参数 抛物线 参数方程:x=2pt2;y=2ptt为参数t=1/tanθtanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率特别地，t可等于0 直角坐标:y=ax2+bx+c开口方向为y轴，a≠0x=ay2+by+c开口方向为x轴，a≠0 离心率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。

江苏高考三角函数真题版

高考三角函数真题 2018： 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3 x π=对称，则?的值是 ▲ ． 16．（本小题满分14分） 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚， 大棚Ⅰ的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ的地块形状 为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧 上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确 定sin θ的取值围；

（2）若大棚Ⅰ种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 2017：5.若tan 1- =46 πα?? ???,则tan α= 16. （本小题满分14分） 已知向量a =（cos x ,sin x ）,,. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x 的值 18. （本小题满分16分） 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为

高考数学专题练习--函数图像

高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析：作函数()y f x =及(1)y k x =+图像，(11), (1,0)A B -，，由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈=

3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】 32 【解析】 试题分析：由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ，则 1 ()4 f 的值为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：设()y f x x α ==，则11422α α=?=-，因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

2017年高考三角函数真题集

2017年高考三角函数真题集 1701、（17全国Ⅰ理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x + 2π 3 )，则下面结论正确的是（ D ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度， 得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线C 2 1702、（17全国Ⅰ理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 解：（1）3 2 sin sin = C B （2）ABC ?的周长333+ 1703、（17全国Ⅰ文8）函数sin21cos x y x =-的部分图像大致为（ C ） A B C C 1704、（17全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=， a =2，c ，则C =（ B ） A ． π12 B ． π6 C ． π4 D ． π3 1705、（17全国Ⅰ文14）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=______ 10 10 3____。 1706、（17全国Ⅱ理14）函数()23sin 4f x x x =+- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 1 ． 1707、（17全国Ⅱ理17）ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin 2 B A C +=， （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC ?的面积为2，求b ． 解：（1）15 cosB=cosB 17 1（舍去），=（2）∴2=b

近五年高考数学函数及其图像真题及其答案

1. 已知函数()f x =32 31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 2. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A ．()f x ()g x 是偶函数 B ．|()f x |()g x 是奇函数 C ．()f x |()g x |是奇函数 D ．|()f x ()g x |是奇函数 4. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是 A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 5. 已知函数f （x ）＝????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0 ，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是 A ．（－∞，0] B ．（－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] 6. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是

A ．0x R ?∈，0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 7. 设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．a b c >> 8. 若函数()2 11=,2f x x ax a x ?? ++ +∞ ??? 在是增函数，则的取值范围是 A ．[]-1，0 B ．[)+∞-,1 C ．[]0，3 D ．[)+∞,3 9. 函数()()21=log 10f x x x ??+> ? ?? 的反函数()1 =f x - A ．()1021x x >- B ．()1021 x x ≠-C ．()21x x R -∈D ．()210x x -> 10. 已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为 A ．()1,1-B ．11,2? ?-- ??? C ．()-1,0 D ．1,12?? ??? 11. 已知函数()()x x x f -+= 1ln 1 ，则y=f （x ）的图像大致为 A ． B ．

高考数学专题04 函数的零点(第六篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值； （2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 （1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值. （2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -??> ??? ，再由()00f <，可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 （1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-． 当x 变化时，() f x '，()f x 的变化情况如下表：

故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+''，()1 002 f b -'=-<， 所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=， 当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点． 当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+． 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? ． 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???． 因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点． 综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】

高考数学必考必背公式全集

__________________________________________________ log log m n a a n b b m =log log log a a a M M N N -=一、 对数运算公式。 1. log 10a = 2. log 1 a a = 3. log log log a a a M N MN += 4. 5.log log n a a M n M = 6. 7. log a M a M = 8. 9. 10. 二、 三角函数运算公式。 1. 同角关系: 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+πππ x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- x x x x x x tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=-=--=-πππ x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππ x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ 3. 两角和差公式:sin()sin cos sin cos αβαβαα±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= 二倍角公式:sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 4. 辅助角公式：)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a ，其中，2||,tan ,0π ??<=>a b a 5. 降幂公式（二倍角余弦变形）: sin tan cos α αα =22sin cos 1 αα+=21cos 2cos 2 α α+=21cos 2sin 2 α α-= log log log a b a N N b =1log log b a a b =1 log log a a M n =tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= 22tan tan 21tan α αα =-

历年高考三角函数真题

第三讲 历年高考三角函数真题 典型题型真题突破 【例1】(2007年江西)若πtan 34α?? -= ??? ，则cot α等于（ ） A ．2- B ．1 2 - C ． 12 D ．2 【例2】(2007年陕西)已知sin 5 α=，则44 sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ． 15 D ． 35 【例3】(2005年湖北) 若)2 0(tan cos sin π αααα< <=+，则∈α( ) A ．（0， 6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2 π ） 【例4】(2007年浙江)已知11sin 225θ+=，且324θππ ≤≤，则cos2θ的值是____． 【例5】(2007年江苏)若1cos()5αβ+=，3 cos()5 αβ-=，则tan tan αβ?=_____ 【例6】(2006年重庆)已知()33,,,sin ,45παβπαβ?? ∈+=- ??? 12sin()413πβ-=，则 cos()4 π α+=____. 【例7】（2005年重庆）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= 【例8】(1996年全国)tan 20tan 4020tan 40++?。。。。 的值是_______ 【例9】(2007年四川)已知0,14 13 )cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β. 【例10】(2005年浙江)已知函数f(x)＝－3sin 2 x ＋sinxcosx ． (Ⅰ) 求f( 256 π )的 值;(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f( 2 α)＝41 －2，求sin α的值．

高中数学常见函数图像

高中数学常见函数图像1. 2.对数函数：

3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴

高考数学必背公式总结

高考公式大总结 根式 当n 为奇数时,a a n n =； 当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: １．n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ，且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ，且）． 整数指数幂的运算性质： (1）();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2）() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3）()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. （4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1）对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ； ③ a N N b b a log log log = (换底公式); （2）对数的运算法则： ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =； 错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以１０为底的对数叫做常用对 数，并把log 10N 记作_lg １0; ② 自然对数：以_e_为底的对数称为自然对 数，并把ｌｏｇe N 记作ｌn N ． 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α） 2.诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变,符号看 象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的 奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号． 二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±； 解三角形 1.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式:

《三角函数》高考真题理科大题总结及答案

《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的 2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：2 2cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c .

（1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12 A f a ?? == ??? ,求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.

(word完整版)高中数学函数图象高考题.doc

B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2

O x

A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D

专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一

类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值

文科高考数学必背公式

文科高考数学必背公式

文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集： 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα

高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破 考点一 函数的零点判断 例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．1 2 - B ．13 C ．12 D ．1 【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋1 2 x －2的零点所在的区间是( ) A. )2 1 ,0( B.)1,2 1( C ．(1,2) D ．(2,3) (2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝????? log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且

2010-2018江苏高考三角函数汇编(文)

2010~2018高考三角函数汇编 1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及应用B 2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力. 三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值 见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合. 通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。一、三角公式 ★7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为． ★★11．（5分）（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为． （2015?江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．★8． （5分） ★5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=． ★★★15．（14分）（2013?江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|=，求证：⊥； （2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．