2019版新教材数学课外辅导讲义——第一册第1讲 集合的概念与运算

第1讲 集合的概念与运算

1.元素与集合的概念

(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系

(1)空集：不含任何元素的集合，记作?.

(2)非空集合：

①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法

(1)集合的特征性质

如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法

集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |

p (x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系

A B

(或B A)

8.集合的运算

(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?A＝{x|x∈U，且x?A}

[玩转典例]

题型一集合的基本概念

例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()

A.3

B.4

C.5

D.6

例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

[玩转跟踪]

1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()

A.3

B.6

C.8

D.10

2.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.

3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则

1

1－a∈A(a≠1).求证：

(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集.

题型二 集合的表示方法

例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？

例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .

[玩转跟踪]

1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝???

m |m ＝x |x |＋y |y |＋

???xy |xy |为( )

A.{0,3}

B.{1,3}

C.{－1,3}

D.{1，－3}

2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.

题型三 集合间的基本关系

例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集. 例6 设集合??????

∈+==Z k k x x M ，412|，?

??

???∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =

B ．N

M C ．M

N D ．=N M

例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ?A . 求实数m 的取值范围.

?

1.设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个

B ．5个

C ．4个

D ．3个

2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ?B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3

C.4

D.无数个

3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ?A ，求实数m 的集合.

题型四 集合的基本运算

例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.????－3，－32 B.????－3，32 C.????1，32 D.???

?3

2，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A ．{x |－3

B ．{x |－3

C ．{x |－1≤x ＜0}

D ．{x |x <－3}

(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝????

??x ??x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )

A.{x |－1≤x ＜0}

B.{x |0

C.{x |0≤x ≤2}

D.{x |0≤x ≤1}

例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝?，求实数a 的取值范围.

1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )

A.{0,1,2}

B.{1,2,3}

C.{1,2}

D.{0,1,2,3}

2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )

A.(M ∩P )∩S

B.(M ∩P )∪S

C.(M ∩P )∩(?I S )

D.(M ∩P )∪(?I S )

3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.

[玩转练习]

1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3?B C ．A ∩B ＝B

D ．A ∪B ＝B

2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝?

?????

x ??

1x

<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝?

D ．M ∪N ＝R

3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4

4.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )

A ．{x |x <3}

B ．{x |－3

C ．

{x

|x <2}

D ．{x |－2

5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝????

??

???

?x ??

x x －3≤0

，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2}

D ．{0,1,2,3}

6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}

7．已知集合A ＝{x |－1

D ．(0，＋∞)

8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.

9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.

11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，?I A ＝{5}，求实数a ，b .

12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .

13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(?R B )∪A ；

(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ?B ，求实数a 的取值构成的集合.

14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a

2＜x ≤6}.

(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围.