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鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 二中 荆州中学 高中 襄阳四中 襄阳五中
2018届高三第二次联考
理科数学试题
命题学校:鄂南高中 命题人:佳敏 审题人:吕 骥 审题学校:襄阳四中 审定人:王启冲 婷
本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的、号填写在试卷和答题卡上,并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。 1.设集合{|2,}x
A y y x R ==∈,{|1,}
B x y x x R ==-∈,则A
B =
A .{}1
B .(0,)+∞
C .(0,1)
D .(0,1]
2.若复数z 满足22zi z i +=-(i 为虚数单位),z 为z 的共轭复数,则1z +=
A .5
B .2
C .3
D .3
3.在矩形ABCD 中,4,3AB AD ==,若向该矩形随机投一点P ,那么使得ABP ?与ADP ?的面积都不小于2的概率为
A .
14 B .13 C .47 D .49
4.已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数,且在(0,)+∞单调递减,则(3)0f x -<的解集为
A .(2,4)
B .(,2)(4,)-∞+∞
C .(1,1)-
D .(,1)(1,)-∞-+∞
5.已知双曲线22
2
12x y a a
-=-的离心率为2,则a 的值为 A .1 B .2- C .1或2- D .-1 6.等比数列的前n 项和,前2n 项和,前3n 项和分别为,,A B C ,则
A .A
B
C += B .2B AC =
C .3A B C B +-=
D .2
2
()A B A B C +=+
7.执行如图所示的程序框图,若输入0,2m n ==,输出的 1.75x =,则空白判断框应填的条件为
A .1?m n -<
B .0.5?m n -<
C .0.2?m n -<
D .0.1?m n -< 8.将函数()2sin 23f x x π??
=+ ??
?
图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移12
π
个单位得到函数()g x 的图象,在()g x 图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为
A .24x π
=-
B .4x π
=
C .524x π=
D .12x π=
9.在23
9(1)(1)(1)x x x ++++
++的展开式中,含2x 项的系数是
A .119
B .120
C .121
D .720 10.我国古代数学名著《九章算术》记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无丈.刍,草也;甍,屋
盖也.”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图,为一刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形.则它的体积为
A .
1603 B .160 C .256
3 D .64
11.已知椭圆22:143
x y
C +=,直线:4l x =与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,点C 在直线l 上,则“BC //x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
12.下列命题为真命题的个数是
①ln 33ln 2<; ②ln e
π
π<
; ③15
215<; ④3ln 242e <
A .1
B .2
C .3
D .4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.平面向量a 与b 的夹角为045,(1,1),1a b =-=,则2a b +=__________.
14.已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥??
++≥??≤?
,且2z x y =+的最小值为3,则常
数k =__________.
15.考虑函数x
y e =与函数ln y x =的图像关系,计算:2
1
ln e xdx =?
__________. 16.如图所示,在平面四边形ABCD 中,2AD =,4CD =, ABC ?为正三角形,则BCD ?面积的最大值为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
若数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若0()n a n N *>∈,令1
(+2)
n n n b a a =
,求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.(12分)
如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,FA FC =,且60DAB DBF ∠=∠=?. (1)求证:AC ⊥平面BDEF ;
(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值.
19.(12分)
某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a ,用电量不超过a 的部分按平价收费,超出a 的部分按议价收费.为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,
[280,300)分组的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图的数据,求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值; (2)用频率估计概率,利用(1)的结果,假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()
2,N μσ (ⅰ)估计该市居民月平均用电量介于240μ~度之间的概率;
(ⅱ)利用(ⅰ)的结论,从该市..所有居民中随机抽取3户,记月平均用电量介于240μ~ 度之间的户数为Y ,求Y 的分布列及数学期望()E Y .
20.(12分)
如图,圆2
2
:4O x y +=,(2,0),(2,0)A B -,D 为圆O 上任意一点,过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点,连,AF BE 交于点G ,若点G 形成的轨迹为曲线C .
(1)记,AF BE 斜率分别为12,k k ,求12k k ?的值并求曲线C 的方程;
(2)设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ,与直线2x =交于点S ,
与直线1y =-交于点T ,求OPQ ?的面积与OST ?面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
21.(12分)
已知函数2
()(1+)1x
f x ax e =-.
(1)当0a ≥时,讨论函数()f x 的单调性; (2)求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
已知直线l 的参数方程为2
22
x t y a t ?=-
????=+??(t 为参数,a R ∈),曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
(1)分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线l 经过点(0,1),求直线l 被曲线C 截得线段的长.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数()241,f x x x x R =-++∈ (1)解不等式()9f x ≤;
(2)若方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解,数a 的取值围.
省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明
理科数学
【提示】
11.若//BC x 轴;不妨设AC 与x 轴交于点G ,过A 作//AD x
交直线l 于点D 则:
FD AG DE BC AC CD ==,EG CE AD CD =两次相除得:FG AD DE EG BC CE ?=
又由第二定义:AD AF DE BC BF CE ==1FG EG
∴=∴G 为EF 的中点
反之,直线AB
斜率为零,则BC 与x 轴重合 12.构造函数()
F x =
求导分析单调性可知①③④正确(注:构造函数ln ()x F x x =也可)
16.设,ADC ACD αβ∠=∠=,由余弦定理可知:2
2016cos AC α=-,
212cos 8AC AC β+=又由正弦定理:22sin sin sin sin AC AC
αββα=?=
1112sin sin()2(sin )2(2322BCD
S BC CD BC BC AC παβββ?∴=?+==4sin()3
πα=-+所以最大值为4+17.(1)1(1)n n a -=-或n a n =;(2)323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++. 解析:(1)当1n =时,2
1112S a a =+,则11a =
当2n ≥时,2
21
1
122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=
-, 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=?=-或11n n a a -
=+
1
(1)n n a -∴=-或n a n
= …………………………6分
(2)由0n a >,n a n ∴=,1111()(2)22
n b n n n n ==-++ 1111
111111323
[(1)()()][1]2324
222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-
+
+-=+--=-+++
………………12分
18.(1)见解析;(2
解析:(1)设AC 与BD 相交于点O ,连接FO ,
∵四边形ABCD 为菱形,∴AC BD ⊥,且O 为AC 中点,
∵FA FC =,∴AC FO ⊥,
又FO BD O =,∴AC ⊥平面BDEF .
…………………5分
(2)连接DF ,∵四边形BDEF 为菱形,且60DBF ∠=?,∴DBF ?为等边三角形,
∵O 为BD 中点,∴FO BD ⊥,又AC FO ⊥,∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直,∴建立空间直角坐标系O xyz -
,如图所示,
………7分
设2AB =,∵四边形ABCD 为菱形, 60DAB ∠=?,∴2,BD AC ==∵DBF ?为等边三角形,∴OF =.
∴()()())
3,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3A B D F -,
∴()()()
1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =--=-=-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则30
30
AF n x AB n x y ??=-=??
?=-+=??, 取1x =,得()
1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ,
………10分 则1sin co 5s ,AD n AD n AD n
θ?==
=
?.
…………………12分 注:用等体积法求线面角也可酌情给分
19.(1)0.0075,225.6x μ==;(2)(ⅰ)
15(ⅱ)分布列见解析,3
()5
E Y = 解析:(1)由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++?=得0.0075x =
………………2分
1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05225.6
μ=?+?+?+?+?+?+?=
…………………4分
(2)(ⅰ)()()11
225.62401224025
P X P X ??<<=->=?? ……………6分 (ⅱ)因为513,Y B ?? ?
??
~,()33
1455i
i
i P Y i C -????∴== ? ?
????
,0,1,2,3i =.
所以()355
E Y =?=.
…………………………12分 20.(1)1214k k ?=-,221(0)4x y y +=≠;
(2)5
3
m =- . 解析:(1)设000(,)(0)D x y y ≠,
易知过D 点的切线方程为004x x y y +=,其中22
004x y +=
则00004242(2,),(2,)x x E F y y -+-,00
2200001222004242164414416164
x x y y x y k k y y -+--∴?=?===---…………3分 设(,)G x y ,由2
212111(0)42244
y y x k k y y x x ?=-??=-?+=≠-+ 故曲线C 的方程为2
21(0)
4
x y y +=≠
…………………5分
(2)22
22
5844044
y x m
x mx m x y =+??++-=?
+=?,
设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2
1212844,55
m x x m x x -+=-?=, …………………7分
由22=6420(44)055m m m ?-->?-<<且0,2m m ≠≠± ……………8分
与直线2x =交于点S ,与直线1y =-交于点T (2,2),(1,1)S m T m ∴+---
∴
∴,令3+,(35,35)m t t =∈-+且1,3,5t ≠
则
……………10分
当,即45,33
t m ==-25
…………………12分
21.(1)见解析;(2)见解析. 解析:(1)
2
'()(
21)x f
x ax ax e =++
……………1分 当0a =时,'()0x
f x e =≥,此时()f x 在R 单调递增;
……………2分
当0a >时,2
=44a a ?-
①当01a <≤时,0?≤,2
210ax ax ++≥恒成立,'()0f x ∴≥,此时()f x 在R 单调递增;
(3)
分
②当1a >时,令1211
'()011,11f x x x a a
=?=---
=-+- x
1(,)x -∞
1x 12(,)x x 2
x 2(,)x +∞
'()f x
+ 0 - 0 + ()f x
即()f x 在1(,11)a
-∞---和1(11,)a
-+-+∞上单调递增;在11(11,11)a
a
----+-上单调递减;
……5分 综上:当01a ≤≤时,()f x 在R 单调递增;
当1a >时,()f x 在1
(,11)a -∞--和1(11,)a
--+∞上单调递增;在11(11,11)a a ----上
单调递减;
…………………
6分
(2)由(1)知,
当01a ≤≤时,()f x 在[0,1]单调递增,(0)=0f ,此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点;
当1a >时,1110a --且1110a
--,()f x ∴在[0,1]单调递增;(0)=0f ,此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点;
当0a <时,令1'()0110f x x a
=?=--(负值舍去)
①当1111a
--即1
03
a -
≤<时,()f x 在[0,1]单调递增,(0)=0f ,此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点;
②当1111a
--即13
a <-时
若(1)0f >即
11
13a e -<<-时,()f x 在1[0,11a -+-单调递增,在1[11a
--,单调递减,
(0)=0f ,此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点;
若(1)0f ≤即11a e ≤-时,()f x 在1[0,11)a
-+-单调递增,在1
[11a --,单调递减,(0)=0f ,
此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间1[11a
--,有一个零点共两个零点;
综上:当1
1a e ≤
-时,()f x 在区间[0,1]上有2个零点; 当1
1a e >-时,()f x 在区间[0,1]上有1个零点.
…………………12分
22.(1)0x y a +-=,2
4y x =;(2)8. 解析:(1)显然y x a =-+?0x y a +-= …………………2分
由可得,即, …………………5分
(2)
直线
2
2x y a ?=???
?=?
? 过(0,1),则1a =
将直线的参数方程代入得,121262
2
t t t t ?+=-??
?=??由直线参数方程的几何意义可知, .
…………………10分
注:直接用直角坐标方程联立计算也可
23.(1);(2)19
[,7]4
a ∈.
解析:(1)可化为
2339x x >??
-≤?或1259x x -≤≤??-≤?或1
339
x x <-??-+≤?; 或或;
不等式的解集为; …………………5分
(2)由题意:2
()f x x a =-+2
5,[0,2]a x x x ?=-+∈
故方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解?函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点 当[0,2]x ∈时,2195[,7]4
y x x =-+∈
19
[,7]4
a ∴∈ (10)
分