近世代数经典题与答案
1．设 为整数加群,
,求 ?]:[=H Z
解 在 Z 中的陪集有:
,
,
,
,
, 所以, 5]:[=H Z .
2、找出3S 的所有子群。
解：S 3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）} 若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S 3。同理，若是S 3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S 3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S 3。
7．试求高斯整环 的单位。
解 设
(
) 为
的单位, 则存在
, 使得
, 于是
因为
, 所以
. 从而
,
, 或
. 因此可能的单位只有
显然它们都是
的单位. 所以
恰有四个单位:
5． 在 12Z 中, 解下列线性方程组:
解: ???
?
??=???? ?????? ??----=???? ???
??
?
??-=???? ??-9111632511311612531
y x 即 , .
12. 试求 的所有理想.
解 设 为 的任意理想, 则 为
的子环， 则
,
, 且 .
对任意的
, , 有
,
从而由理想的定义知,
为
的理想. 由此知,
的全部理想为
且
.
13、数域F 上的多项式环[]F x 的理想2
5
3
(1,1)x x x +++是怎样的一个主理想。
解 由于()()
5332111x x x x ++-+=，所以()
253
11,1x x x ∈+++，于是得
()()2
531,11[]x
x x F x +++==。
14、在 中, 求 的全部根. 解
共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知
共有下列4个元素, , ,
为
的根.
20.设R 为偶数环.证明： {}.4R R r r N
∈=问：4
=N 是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？
解： R m n N m n ∈∈?,,4,4： R m n N m n m n ∈-∈-=- ,)(444 故,)44(N m n ∈-另外R r N r R n ∈∈?∈?,4,
,
,)(4)4()4()4(,)(4)4(R r n R n N r n r n r n r n R
rn N rn n r ∈'?∈'∈'='==∈∈=
故.)4(),4(N n r r n ∈总之有{}.4R R r r N
∈=另方面，由于
{}{},,16,8,0,8,16,4 --=∈=R r r N
且.4N ?而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想，即
{}{}{}Z n n Z n R r n r R r r N ∈=∈∈+==∈=8,8884，但是
{}{}{}
,8,4,0,4,8,4,444--=∈=∈∈+=Z n n Z n R r n r 因此，
4
≠N .实际上是
.48?=N
22、设{(1),(12)}H =,求3S 关于H 的所有左陪集以及右陪集.
解 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =, H 的所有左陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H H ===;
(13)(123){(13),(123)}H H ==;(23)(132){(23),(132)}H H ==． H 的所有右陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H ==;
13(132){(13),(132)}H H ==（）;(23)(123){(23),(123)}H H ==.
1．在群 中, 对任意 , 方程
与 都有唯一解.
证明 令
, 那么
, 故 为方程
的解。 又如 为
的任一解, 即
,则
.
这就证明了唯一性. 同理可证另一方程也有唯一解.
5． 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的
集合. 则
是
的子群.
证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 非空. 又对任一 阶方阵 , 如果
, 则 ,
所以 可逆, 故
是
的子集. 又对任意的 , 有
, 所以
.
这说明 . 从而由定理知, 是 的子群.
7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明 设 , 分别表示 在 中的左、
右陪集所组成的集合. 令
,
.
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果
, 那么
, 故
, 所以, . 于是, 为
到
的映射.
(2) 任给
, 有
, 因此, 为满射. (3) 如果
, 那么
, 因此
, 从而得
为双射.即在
中左陪集的个数与右
陪集的个数相同.
3．群
的任何两个正规子群的交还是
的正规子群. 证明 设
与
为
的两个正规子群, , 则
为
的子群. 又任给
, , 则因为
与
都是
的正规子群, 所以
所以,
. 故
.
24、设群G 的每个元素x 都适合方程x 2
= e ，这里e 是G 的单位元，求证：G 是交换群。
证明：任意x 、y ∈G ，由x 2
= e ，y 2
= e 有x -1
= x ，y -1
= y 。又由(xy)2
= e 有(xy)-1
= xy 。从而yx= y -1
x -1
= (xy)-1
= xy ．即G 是交换群．
39、证明：2Z i ????
是主理想环。
证明 令N 是2Z i ????
的任意一个理想，a 是N 中绝对值最小的一个非零元素，下证()N a =。
任取N β∈，显然{}
/[],,Q i a bi a b Q βα∈=+∈
令/(,).r si r s Q βα=+∈选取分别最接近,r s 的整数,m n ，即11
0,0.22
r m s n ≤-≤
≤-≤ （1）
令[].m niZ i γ=+并由（1）得
22111/()() 1.442
r m s n βαγ-=-+-≤
+=< （2） 现在令.θβαγ=-显然0.N ∈于是由（2）得 /θβαγαβαγα=-=-<
但α是N 中绝对值最小的非零元，故0.θ=从而().βαγα=∈，因此()N α=。 21. 令???? ?
?=123456
654321ρ， ???
?
??=465132654321σ， ?
??
?
??=453126654321τ，计算1,ρσσ-. 21. 解：123456546213ρσ??=
???，1
123456312645σ-??= ???
.
22. 设)}132(),123(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说明H 是否是3S 的正规子群.
解：H 的所有左陪集为 )}132(),123
(),1{(=H ， ()12{(12),(13),(23)}H =； H 的所有右陪集为 )}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =.
对3S σ?∈，有H H σσ=，即H 是正规子群.