12能得到直角三角形吗

1.2能得到直角三角形吗（一）

●教学目标

(一)教学知识点

1.掌握直角三角形的判别条件.

2.熟记一些勾股数.

3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.

(二)能力训练要求

1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.

2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.

(三)情感与价值观要求

1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.

2.通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.

●教学重点

直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。

●教学难点

用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.

●教学方法

引导启发法.

教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.

●教具准备

一根有13个等距的结的绳子.

投影片两张：

第一张：例题(记作§1.2 A)；

第二张：随堂练习(记作§1.2 B).

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.

［生］直角三角形有如下性质：①有一个内角为直角；②两个锐角互余；③两条直角边的平方和等于斜边的平方.

［生］在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.

［师］很好，反过来，一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢？

［生］如果有一个内角是直角，它就是直角三角形.

［生］如果有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.

［师］我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的.

前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否也可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？

Ⅱ.讲述新课

1.古代埃及人作直角

［师］其实，古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角.下面我们一同演示一下.

我这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段.下面我让一个同学同时握住绳子的第(1)个和第(13)个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4)个结和第(8)个结，(如下图所示)拉紧绳子，大家观察可以发现什么？

［生］得到一个直角三角形，在第(4)个结处的角是直角.

［师］我们再来看在第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因为32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？

我们不妨再找几组数试一试.

2.做一做

下面四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：

5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.

(1)这四组数都满足a2+b2=c2吗？

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

［师生共析］(1)52+122=169=132；

72+242=625=252；

82+152=289=172；

52+62=61≠72.

所以这四组数，前三组满足a2+b2=c2，而最后一组不满足.

［师］以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？

［生］作法：①作线段AB=5个单位长度；②分别以A、B为圆心，12个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段AB的同旁于一点C；③连结AC、BC.△ABC就是以5、12、13为边长的三角形.

［师］很好.下面同学们就以小组为单位来完成第(2)小题.

(让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件)

［生］我们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一组数不满足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.

［师］你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？

［生］前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.

［师］从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？

［生］如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

［师］刚才，我们只是从特例中猜想出来上面的结论.可能有的同学会产生疑虑，果真如此吗？下面我用前面的知识解释一下这个结论，大家就会知道，我们的猜想是正确的.

已知：在△ABC中AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.

求证：∠c=90°

证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(为什么？).

由已知条件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0)

在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，则△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90°.

现在大家没有疑虑了吧.同时也明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.

“三四五放线法”是一种古老的规范操作.所谓“归方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？

如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点；再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点.于是连结BC，就是MN的垂线.

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？

［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等.

［师］是的.如果三角形三条边满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整数组的方法.

下面我们来了解一下这方面的情况.

3.读一读

［师］同学们可以打开课本P11，阅读“读一读”——勾股数组与费马大定理.

(读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题——费马大定理)

现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性.即

求证：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长.

［师生共析］要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它们是否是一个直角三角形的三边长.

证明：m＞n，m、n是正整数.

(m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn.

即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn.

又因为(m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n)

而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知，这三条线段可组成三角形.

又因为(m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.

则(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.

由直角三角形的判定条件，

可知：这三条线段组成的三角形是直角三角形.

［师］你能用这个方法找到5组勾股数吗？

［生］可以，如下表

m＞n m、n是正整数

勾股数组

m2－n2 2mn m2+n2

m=2，n=1 3 4 5

m=3，n=2 5 12 13

m=4，n=3 7 24 25

m=5，n=4 9 40 41

m=3，n=1 8 6 10 …………

下面我们利用直角三角形判定的条件来看几个例题.

4.例题讲解

出示投影片(§1.2A)

［例1］一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？

分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.

解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.

因此这个零件符合要求.

Ⅲ.随堂练习

1.(课本P11)下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9，12，15； (2)15，36，39；

(3)12，35，36； (4)12，18，22.

解：根据直角三角形的判定条件.

(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)两组数可以作为直角三角形的三边；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)两组数不能作为直角三角形的三边.

2.(补充练习)出示投影片(§1.2 B)

(1)判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.

解：因为a2+b2=100+64=164≠c2

即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.

请问：上述解法对吗？为什么？

(2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.

(1)解：上述解法是不对的.因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b、c是两直角边.

评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边.往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.

(2)证明：根据题意，画出图形.AB=13 cm，BC=10 cm.

AD是BC边上的中线—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.

所以AB2=AD2+BD2.则∠ADB=90°.

∠ADC=180°－∠ADB=180°－90°=90°.

在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.

所以AC=AB=13 cm.

Ⅳ.课时小结

这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最后我们还介绍了求勾股数组的方法.

Ⅴ.课后作业

1.课本P12，习题6.3；

2.熟记几组常用的勾股数.

Ⅵ.活动与探究

给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262

(1)你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；

(2)请你证明你所发现的规律.

过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方.很显然，我们发现的规律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再观察每一项与序号的关系.如32，82，152，242与序号有何关系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我们可推想，第一项一定是(n2－1)2.(其n＞1，n为整数).同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2+1)2(其中n＞1，n为整数).

(1)解：上面的式子是有规律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n为大于1的整数).

第5个式子是n=6时，即(62－1)2+(2×6)2=(62+1)2化简，得352+122=372.

(2)证明：左边=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右边.证毕.

●板书设计

同步练习

(一)选择题

1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是

A.48 cm

B.4.8 cm

C.0.48 cm

D.5 cm

答案：B

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是

A.b2=c2－a2

B.a∶b∶c=3∶4∶5

C.∠C=∠A－∠B

D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

答案：D

3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是

A.5，6，7

B.1，4，9

C.5，12，13

D.5，11，12

答案：C

4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是

A.42

B.52

C.7

D.52或7

答案：D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)

5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么

A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1

B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为m

C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定

D.△ABC不是直角三角形

答案：A

(二)解答题

1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

解：由已知得

(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0

(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0

由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.

所以a－5=0，得a=5；

b－12=0，得b=12；

c－13=0，得c=13.

又因为132=52+122，即a2+b2=c2

所以△ABC是直角三角形.

2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①

∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②

∴c2=a2+b2 ③

∴△ABC是直角三角形

问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.

答案：③a2－b2可以为零△ABC为直角三角形或等腰三角形

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费尔马

费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭.由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明.费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学.

费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著.他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会.由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多.他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉.微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作.不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者.

说起数论，费尔马还是由于读了丢蕃图的《算术》一书，才开始产生兴趣.在这本书中，丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数(z2)，拆成两个平方数(x2与y2)之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程.费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数(z3)表示为两个立方数( x3与y3)之和；将一个四次方数(z4)表示为两个四次方数(x4与y4)之和；……这一连串问题归结起来就是：方程x n+y n=z n是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数.当n=2时，方程

z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程.十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，

即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论.显然这都是特殊情况.一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决.

费尔马在丢番图著作的空白处写道：“我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”.

费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注.他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它.1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜.