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导数的应用(教师版)

第九讲导数的应用（三）

【要点】不等式恒成立问题

一、直接应用最值

1. （转换变量，作差）已知函数. ⑴若，求的单调区间；

⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b 的取值范围。

解：⑴，或1 令，解得令，解得，

的增区间为；减区间为，

⑵，即

由题意两根为，，又且△，.

设，或

又，，，. 二、分离变量

2. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）

已知函数,（其中R ,为自然对数的底数）. (1)当时,求曲线在处的切线方程；

(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.

2()()x f x x a e =-3a =()f x 12,x x ()f x 1212||||x x x x +≥3

233()32

f a a a a b

<+-+23,()(3)x a f x x e =∴=- 2()(23)0x f x x x e '=+-=3x ?=-()0f x '>(,3)(1,)x ∈-∞-+∞ ()0f x '<(3,1)x ∈-()f x ∴(,3),(1,)-∞-+∞(3,1)-2()(2)0x f x x x a e '=+-=220x x a +-=12,x x 12122,x x x x a ∴+=-?=-1212||||x x x x +≥ 22a ∴-≤≤440a =+>12a ∴-<≤3

223233

()3()33()322

a g a f a a a a a a e a a a =--

+=---+2()3(1)(1)0a g a a a e a '=+--=?=

0a =(0)0g =2(2)68g e =-2

max ()68g a e =-268b e ∴>-12

)(2

---=ax x e x f x

∈a e 0=a )(x f y =))0(,0(f x x )(x f a

（改x ≥0时，≥0恒成立.a ≤1）解：（1）当时，,,,切线方程为．

（2）[方法一]

121,()102x

x x e x x f x e ax a x

--≥∴=---≥?≤ 22211)1

22()()=x x

x x e x e g x g x x x

-----'=（设，则

设,则,

在上为增函数,≥,

,在上为增函数, ≥,≤．

[方法二],

设,,

≥0,≥0,在上为增函数,

≥.（如何判断其符号？由已知()0f x ≥ 恒成立有

(1)0f ≥）

又≥0恒成立,≥0,≤,

≥,,

在上为增函数, 此时≥

≥0恒成立,

≤．（改x ≥0时，≥0恒成立.a ≤1）

解：先证明()g x 在(0,)+∞上是增函数，再由洛比达法则2

001

2lim lim 1

x x x x e e x x →→---==，∴()1g x >，∴a ≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上2

()12

x a f x e x x =-

--，分两种情况讨论可得a ≤1）

3. （两边取对数的技巧）设函数且）

)(x f 0=a 12

)(2

--=x e x f x x e x f x -=∴)('1)0(',0)0(==∴f f ∴x y =12

)1()(2

+--=x e x x x

?0)1()('>-=x e x x ?)(x ?∴),1[+∞)(x ?∴02

1)1(>=?0

12)1()('2

2>+--=∴x x e x x g x

x x e x g x

2)(2--=∴),1[+∞)(x g ∴2

3)1(-

=e g a ∴23-e 12

)(2

---=ax x e x f x

a x e x f x --=∴)('a x e x h x --=)(1)('-=x e x h x 1)('-=∴x e x h a x e x h x --=∴)(),1[+∞)(x h ∴a e h --=1)1(12

)(2

---=ax x e x f x

23)1(--=∴a e f a ∴23-e )(x h ∴01)1(>--=a e h 0)('>--=∴a x e x f x 12

)(2

---=ax x e x f x

),1[+∞)(x f 2

)1(--=a e f a ∴2

e )(x

f 1

()(1(1)ln(1)

f x x x x =

>-++0x ≠

（1）求的单调区间；（2）求的取值范围；

（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。解：（1） ,

当时，即.

当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. （2）由时，即，

由（1）可知在上递增，在递减，所以在区间（－1，0）上，

当时，取得极大值，即最大值为. 在区间上，.

函数的取值范围为.分（3），两边取自然对数得

（两边取对数的技巧、换元构造函数） 4. +（2008湖南理22

，分离常数）

已知函数 ⑴求函数的单调区间;

⑵若不等式对任意的都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.

解: ⑴函数的定义域是，

()f x ()f x 1

12(1)m x x +>+(1,0)x ∈-m 22ln(1)1

'()(1)ln (1)

x f x x x ++=-

++ ∴'()0f x >1ln(1)10,11x x e -++<-<<-'()0f x >11e ->-0x >()f x 1(1,1)e ---()f x 1(1,0),(0,)e --+∞'()0f x =1ln(1)10,1x x e -++==-()f x 1(1,1)e ---1

(1,0)e --11x e -=-()f x 1(1)f e w --=-(0,)+∞()0f x >∴()f x (,)(0,)e -∞-+∞ 11

(1)0,(1,0)m

x x x +>+>∈- 1

ln 2ln(1)1m x x >++2

()ln (1).1x f x x x

=+-+()f x 1(1)n a

e n

++≤N*n ∈()f x (1,)-+∞2222

2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)

x x x x x x x

f x x x x ++++--'=-=+++

设则令则当时，在（－1，0）上为增函数，当x ＞0时，在上为减函数.

所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以，函数g (x )在上为减函数.

于是当时，当x ＞0时，所以，当时，在（－1，0）上为增函数. 当x ＞0时，在上为减函数.

故函数的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.

⑵不等式等价于不等式

由知，＞0，∴上式变形得

设，则则由⑴结论知，（≤）即

所以于是G (x )在上为减函数. 故函数在上的最小值为所以a 的最大值为

5. （分离常数，转换变量，有技巧）

设函数.

2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--()2ln(1)2.g x x x '=+-()2ln(1)2,h x x x =+-22()2.11x h x x x

-'=

-=++10x -<<()0,h x '>()h x ()0,h x '<()h x (0,)+∞()0(0)g x x '<≠(1,)-+∞10x -<<()(0)0,g x g >=()(0)0.g x g <=10x -<<()0,f x '>()f x ()0,f x '<()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞1(1)n a e n

++≤1

()ln(1) 1.n a n ++≤111n +>1

ln(1)n +1

.1ln(1)a n n

-+≤1

x n

(]11(),0,1,ln(1)G x x x x =

-∈+22

2222

11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)

x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++22

ln (1)0,1x x x

+-≤+()f x (0)0f =22

(1)ln (1)0.x x x ++-≤()0,G x '<(]0,1,x ∈(]0,1()G x (]0,11

(1) 1.ln 2

G =-1

1.ln 2

-2

()ln f x a x bx =-

⑴若函数在处与直线相切：

①求实数的值；②求函数在上的最大值；

⑵当时，若不等式≥对所有的都成立，求实数的取

值范围.

解：（1）①。 ∵函数在处与直线相切解得 . ② 当时，令得；令，得，上单调

递增，在[1，e]上单调递减，. （2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，

即对所有的都成立，

令为一次函数， .

上单调递增，，对所有的都成立.

（注：也可令所有的都成立，分类讨论得

对所有的都成立，，请根据过程

酌情给分）

三、讨论字母范围

6. （用到二阶导数，二次）

设函数.

⑴若，求的最小值；

⑵若当时，求实数的取值范围.

()f x 1x =12

y =-,a b ()f x 1

[,]e e

0b =()f x m x +2

3[0,],[1,]2

a x e ∈∈m '()2a

f x bx x

-()f x 1x =12y =-'(1)20,1(1)2

f a b f b =-=??∴?=-=-??1

12a b =??

=??2

2111()ln ,'()2x f x x x f x x x x

-=-=-=

1x e e ≤≤'()0f x >11

<≤x e '()0f x

????∴1,1)(e x f 在max 1

()(1)2

f x f ∴==-

()ln f x a x =()f x m x ≥+(2

30,,1,2a x e ???∈∈?????

ln a x m x ≥+(

230,,1,2a x e ???∈∈?????

,ln x x a m -≤(]

,1],2

3,0[e x a ∈∈)(,ln )(a h x x a a h 则-=min ()m h a ≤(21,,ln 0,x e x ?∈∴>? 3

()[0,]2

h a a ∴∈在min ()(0)h a h x ∴==-m x ∴≤-(21,x e ?∈?221,1,x e e x <<∴-≤-<- 2min ()m x e ∴≤-=-()ln ,()h x a x x m h x =-≤则(

21,x e ?∈?2min ()2m h x a e ≤=-3

[0,]2

a ∈22min (2)m a e e ∴≤-=-2()2

k f x e x x =--0k =()f x 0x ≥()1f x ≥k

解：（1）时，，.

当时，；当时，. 所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为

（2），

当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，而，于是当时， . 当时，由得

当时，，所以在上递减，

而，于是当时，，所以在上递减，而，所以当时，. 综上得的取值范围为.

7. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论）

设函数.

⑴若，求的单调区间；

⑵若当时，求的取值范围.

解：⑴时，，.

当时，；当时，.故在单调减少，在

单调增加.

⑵①当≤

时，，由⑴结论知≥，则，

0k =()x

f x e x =-'()1x f x e =-(,0)x ∈-∞'()0f x <(0,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,0)-∞(0,)+∞()f x (0)1f ='()1x f x e kx =--()x f x e k ''=-1k ≤()0 (0)f x x ''≥≥()f x '[)0,+∞(0)0f '='()0 (0)f x x ≥≥()f x [)0,+∞(0)1f =0x ≥()1f x ≥1k >()0f x ''=ln x k =(0,ln )x k ∈()0f x ''<()f x '(0,ln )k (0)0f '=(0,ln )x k ∈'()0f x <()f x (0,ln )k (0)1f =(0,ln )x k ∈()1f x

f x e =-(,0)x ∈-∞'()0f x <(0,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,0)-∞(0,)+∞a 1

()12x f x e ax '=--()1x

f x e x =--(0)0f =1x e x +≥

故，从而当，即时，，而，于是当时，，符合题意. ②时，由可得.（太难想，法二），

故当时,，而，于是当时,. 综合得的取值范围为.

法二：设,则, 令，得.

当，，在此区间上是减函数，∴≤， ∴在此区间上递增，∴≤，不合题意. 8. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数（Ⅰ）求函数f (x )的定义域

（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x >0时恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）定义域（2）单调递减。

当，令，

故在（－1，0）上是减函数，即，故此时在（－1，0）和（0，+）上都是减函数

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-120a -≥1

a ≤'()0 (0)f x x ≥≥(0)0f =0x ≥()0f x ≥1