2020年高二数学知识点总结(最新最全)

高二数学知识点及方法总结

必修5知识点及方法

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④

sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．

4、余 定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222

cos 2a c b ac

+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．

6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =为直角三角形；

②若222a b c +>，则90C <为锐角三角形；③若222a b c +<，则90C >为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这

个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与

b 的等差中项．若2

a c

b +=

，则称b 为a 与c 的等差中项． 13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．

通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1

1

n a a d n -=

-；④11n a a n d -=

+；⑤n

m

a a d n m

-=-． 14、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若

{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ）

，则2n p q a a a =+；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=

；②()

112

n n n S na d -=+

． 16、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且

S S nd -=偶奇，

1

n n S a

S a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，

1

S n

S n =

-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个

数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比

中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 19、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 20、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③11n n a q a -=

；④n m n m

a

q a -=． 21、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}

n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2

n p q a a a =?；下角标成等差数列

的项仍是等比数列；连续m 项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()

()()11111111n n n na q S a q a a q q q

q =??

=-?-=≠?

--?．

1q ≠时，1111n n a a

S q q q

=

---，即常数项与n q 项系数互为相反数。 23、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则

S q S =偶奇

．

②n n m n m S S q S +=+?． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．

24、n a 与n S 的关系：()()11

21n n n S S n a S n --≥??=?=??

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为b kn a n +=，列两个方程求解； ②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为c bn an a n ++=2，列三个方程求解； ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为b aq a n n +=，q 为相除后的常数，

列两个方程求解； 2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为d a a n n =-+1形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为),(1n f a a n n =-+形式，可用叠加法求解；

③若化简后为q a a n n =÷+1形式，可用等比数列的通项公式代入求解； ④若化简后为b ka a n n +=+1形式，则可化为)()(1x a k x a n n +=++，从而新数列}{x a n +是等比数列，用等比数列求解}{x a n +的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x 是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：

①11S a = ② 1--=n n n S S a ③检验n a a 是否满足1，若满足则为n a ，不满足用分段函数写。

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若???<>0

1d a ，则n S 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≤≥+001k k a a

②若??

?><0

1d a ，则n S 有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≥≤+001k k a a

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值； ②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：

()213n n a n =-?；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：()11111n a n n n n =

=-++，()()1111212122121n a n n n n ??

==-

?-+-+??

等； ④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：21n n a n =+-等； 四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为d a d a -+和类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为q

a

aq 和类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。 2、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>>∈N >．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式24b ac ?=-

0?> 0?= 0?<

二次函数2y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程

20ax bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根

有两个相等实数根

122b x x a

==-

没有实数根

1,22b x a

-=

()12x x < 一元二次不等式的解集

20ax bx c ++> ()0a > {}

1

2

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

?

R 20ax bx c ++< ()0a >

{}1

2x x

x x <<

?

?

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．

①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．

②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．

10、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

11、设a 、b 是两个正数，则

2

a b

+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．

12、均值不等式定理： 若

0a >，0b >，则a b +≥，即2

a b

+≥． 13、常用的基本不等式：

①()222,a b ab a b R +≥∈；

②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???． 14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．

选修2－1知识点及方法

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和

条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们

有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，

q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件．

8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．

用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定（否定结论），得

到一个新命题，记作p ?．

若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假

假

假

假

特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．

10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．

11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()22

2210x y a b a b +=>>

()22

2210y x a b a b +=>>

范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()

10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A

()

1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()

1,0F c -、()2,0F c

()

10,F c -、()20,F c

焦距 ()

222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率

)01c e e a ==<<

准线方程

2a x c =±

2

a y c =±

13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的

距离为2d，则

12

12

F F

e

d d

M M

==

．

14、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12

F F）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：（类比椭圆写出双曲线的性质，并参看课本）

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设M是双曲线上任一点，点M到1F对应准线的距离为1d，点M到2F对应准线

的距离为2d，则

12

12

F F

e

d d

M M

==

．

18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，即2p

AB=．

20、焦半径公式：

若点

()

00

,x y

P在抛物线()

220

y px p

=>上，焦点为F，则02

p

F x

P=+

；

若点

()

00

,x y

P在抛物线()

220

y px p

=->上，焦点为F，则02

p

F x

P=-+

；

若点

()

00

,x y

P在抛物线()

220

x py p

=>上，焦点为F，则02

p

F y

P=+

；

若点

()

00

,x y

P在抛物线()

220

x py p

=->上，焦点为F，则02

p

F y

P=-+

．

21、抛物线的几何性质：

标准方程

22y px = ()0p >

22y px =-

()0p >

22x py

=

()0p >

22x py =-

()0p >

图形

顶点 ()0,0

对称轴 x 轴

y 轴

焦点

,02p F ??

???

,02p F ??- ???

0,2p F ?

? ?

?

? 0,2p F ?

?- ?

?

? 准线方程 2p

x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

离心率 1e =

范围

0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤

22、空间向量的概念： ()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． ()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表

示向量的方向． ()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB

． ()4模（或

长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．

()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

()1求两个向量和的运算称为向量的加

法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行

四边形

C O A B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b

的和，这种求向量和的方法，称为向量

加法的平行四边形法则．

()2求两个向量差的运算称为向量的减法，

它遵循三

a OA =，

角形法则．即：在空间任取一点O ，作

b OB =，则a b BA =-．

24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，

a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．

a λ的长度是a 的长度的λ倍．

25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：

()

a b a b

λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，(

)0

b b ≠，//a b 的充要条件

是存在实数λ，使a b λ=．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，

y ，使x

y C A P =A B+A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A+A B+A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．

30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b ??．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π??∈． 31、对于两个非零向量a 和b ，若

,2a b π

??=

，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．

32、已知两个非零向量a 和b ，则

cos ,a b a b ??

称为a ，b 的数量积，记作a b ?．即

cos ,a b a b a b ?=??

．零向量与任何向量的数量积为0．

33、a b ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影

cos ,b a b ??

的乘积．

34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ?=?=??；

()20a b a b ⊥??=；()3()

()

a b a b a b a b a b ???=?

-??与同向与反向，2

a a a ?=，a a a =?；

()

4cos ,a b a b a b

???=

；()

5a b a b

?≤．

35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ?=?；()

2()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；

()3()a b c a c b c +?=?+?．

36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量． 37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．

38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是

{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，

{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量

都可以构成空间的一个基底．

39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，

z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把

它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ． 40、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．

()2()121212,,a b x x y y z z -=---．

()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ?=++．

()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===． ()721a a a x =?=+

()

821cos ,a b a b a b

x ???=

=

+．

()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则

(d x AB =AB =

41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．

42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有

ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上

的任意一点．

43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ??

()

a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥?⊥??=．

46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α?，则////a a αα?

0a n a n ?⊥??=，//a a a n a n ααλ⊥?⊥??=．

47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ??

a b λ=，0a b a b αβ⊥?⊥??=．

48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为?，则有

cos cos a b a b

θ??==

．

49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的

夹角为?，则有

sin cos l n l n

θ??==

．

50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则

1212

cos n n n n θ?=

．

51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模

AB

计算．

52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的

距离为cos ,n d n n

PA?=PA ?PA ?=

．

53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则

点P 到平面α的距离为cos ,n d n n

PA?=PA ?PA ?=

．