一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系

一、目标认知

学习目标

1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；

3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；

4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．

重点

对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．

难点

一元二次方程的根与系数的关系的运用．

二、知识要点梳理

一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么

.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

三、规律方法指导

一元二次方程根与系数的关系的用法：

①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；

②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；

③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；

④已知方程的两根，求这个一元二次方程；

⑤已知两个数的和与积，求这两数；

⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；

⑦讨论方程根的性质。

四、经典例题透析

1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.

1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.

思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.

解：法一：把x=2代入原方程，得

22-6×2+m2-2m+5=0

即m2-2m-3=0

解得m1=3，m2=-1

当m1=3，m2=-1时，原方程都化为

x2-6x+8=0

∴x1=2，x2=4

∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.

法二：设方程的另一个根为x.

则

2.判别一元二次方程两根的符号.

2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.

思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.

解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0

∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，

∵

∴原方程有两个异号的实数根.

总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.

举一反三：

【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.

思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.

解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，

则有

由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：

∵m≠0，∴m＞0或m＜0，

∴上面不等式组化为：

由⑴得m＞1；⑵不等式组无解.∴m＞1

∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.

总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.

【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0

（1）两根互为相反数；

（2）两根互为倒数；

（3）有一根为零，另一根不为零.

思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取

值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即

x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.

解：设方程的两根为x1，x2，

则x1+x2=

x1x2=

（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，

即x1+x2=，∴k=0，

当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0

∴当k=0时，方程两根互为相反数.

（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即

x1x2==1，解得k=4

当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0

∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.

（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，

即x1x2==0，解得k=

又当k=时，x1+x2=，

当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，

∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.

总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△

=b2-4ac不得小于零.

3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.

3.关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.

解：设方程两根分别为x1，x2，

x1+x2=3，x1·x2=k+1

∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)＜5

∴k＞1①

又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0

∴k≤②

由①②得：1＜k≤.

总结升华：应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.

举一反三：

【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.

思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.

解：∵方程有两个实数根，

∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0

解这个不等式，得m≤0

设方程两根为x1，x2，

∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4

∵x12+x22-x1x2=21

∴(x1+x2)2-3x1x2=21

∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21

整理得：m2-16m-17=0

解得：m1=17，m2=-1

又∵m≤0，∴m=-1.

总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.

【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．

思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．

解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有

所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．

所以，得方程4m2-7m-2=0．

解这个方程，或m=2．

经检验，或m=2都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，

所以，m=2都符合题意．

总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．

4．求简单的关于根的对称式的值．

在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用

x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．

如+，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，

如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，

+=(x1+x2)2-2x1x2，

……

等等．

4.如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．

思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以

代数式是关于与的对称式.

解：∵Δ=b2-4ac=8＞0，

∴方程有实根．

∵

∴

举一反三：

【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．

思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算．

解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是

==．

把=与=-代入，得

==

==

总结升华：这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与

的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会．

5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．

事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与x2使得x1+x2=-p，且

x1x2=q，那么x1与x2是方程

x2+px+q=0的两个根．证明如下：

由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程

x2+px+q=0

可以化为

x2-(x1+x2)x+x1x2=0，

x2-x1x-x2x+x1x2=0，

x(x-x1)-x2(x-x1)=0，

(x-x1)(x-x2)=0，

∴x=x1或x=x2．

这就是说，x1和x2是方程x2+px+q=0的两个根．

5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：

(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；

(2)6y2+19y+10=0，；

(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．

解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，

∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；

(2) ∵，，

∴-与-是方程6y2+19y+10=0的两个根；

(3) 虽然有(+)(-+)=+3，

但是(+)+(-+)=+2≠-(-2)；

所以+与-+不是方程a2+2a-3=0的根．

6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；

(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．

思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．

解：(1) 由于-+=-2+=-，

-·=-=-4，

所以所求方程是

x2+x-4=0．

(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有

x1+x2=，

x1x2=-4．

所以

，

．

于是所求方程是

x2-x-=0．

也就是

8x2-5x-2=0．