、等差等比数列基础知识点
(一)知识归
纳:
1 .概念与公
式:
①等差数列:1 .定义:若数列{a n}满足a n 1 a n d(常数),则{a.}称等差
数列;
.通项公式:a n a1 (n 1)d a k(n k)d;
?前n项和公式:公式:S
n(d
n
a n)
2
②等比数列: ?定义若数列{a n}满足■a■口(常数),则{a n}称等比数列;2 °?通项公式:
a n
n 1 n
a n a& a k q ?前n项和公式:S n
a〔a“q
1 q
a
1
(11),当 q=〔时S n na1
?
q
2 ?简单性质:
①首尾项性质:设数列{a n} : a i,a2,a3,,
a n ,
1 ° ?若{a n}是等差数列,则
a1
a n a2 a n 1 a3 a n 2。若{a n}是等比数列,则a1 a n a2 a n 1 a3 a n
②中项及性质:
1 ° ?设a, A, b成等差数列,
则
A称a、b的等差中项,且2。?设a,G,b成等比数列,则 G称a、b的等比中项,且
③设p、q、r、s为正整数,且p r s,
1 ° ?若{a n}是等差数列,则a p a q a r a s ;
2° ?若{a n}是等比数列,则a p a q a r a s;
④顺次n项和性质:
1°若{a n}是公差为d的等差数列,
n 2n
则a k, a k,
k 1 k n 1 k
3n
2n
a k
1
组成公差为n2d的等差数列;
2° ?若{a n}是公差为q的等比数列, n 2n
a k, a k,
1 k n 1 k 2n 1
3n
a k组成公差为q n的等比数列?(注意: 当q=— 1, n为
偶数时这个结论不成
立)
⑤若{a n}是等比数
列,
则顺次n项的乘积:a1a2 a n, a n 1a n 2 2
a2n, a2n 1a2n 2a3n组成公比这q n的等比数列.
128 2,求项数n.
②
⑥若{a n }是公差为d 的等差数列 1 ?右n 为奇数,则S n
na 中且S 奇 S 偶 a 中(注:a 中 指中项,即a 中a n ,,而S 奇、s 偶指所有奇数项、所有偶
数项的和);
2。若n 为偶数,则S 偶 S 奇 —.
2
(二)学习要点:
1 ?学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d 工0的等差数列的通项公式是项 n 的一
次函数a n =an+b;②公差0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数 S=an 2
+bn;③公比q 丰1的等比 数列的前n 项
公式可以写成“ S n =a(1-q n
)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的
2 ?解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证 明的性质解题.
3 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“
a,a+m,a+2m (或
a
a-m,a,a+m )”②三数成等比数列,可设三数为“ a,aq,aq 2
(或
,a,aq) ”③四数成等差数列,可设四数为
q
等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,
1024,所有偶数项的乘积为
a, a m, a 2m, a 3m(或a
3m, a m, a m,a 3m); ”
④四数成等比数列,可设四数为
2
a,aq, aq ,
a ,aq
, q
3 aq ), ”等等;类似的经验还很应在学习中总结经验
[例1]解答下述问题:
1 1 1
(I)已知一,一,-成等差数列,求证: a b c c a b ,c
(1) (2)
a b
a 2
[解析]该问题应该选择
1
b
成等差数列;
c
-成等比数列.
2 的知识解决, a 2(a c)2
b(a b c c)
c a ⑵(a 2)(c b b
a , ,c
2 2 a c 2
ac b b c
2(a bc c) 2ac b(a ①c),
一 ②
b(a c) a 2 c 2
ab
ac
ac
b 成等差数列;
c
-)ac b
(a c)
2 2
b
成等比数列. 2 [评析]判断
(或证明)一个数列成等差、 (H)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为
a i a 3a 5 a n [解析]设公比为q, 1 3 5 n
a n 1
1024
128、2
42 n 1
a i q 2
4 一
2
(1)
而a 1a 2a 3
n 35 2y
5
(a i 5n 2
(川
35
(n 1) 2
1 2 3
i q
35
2迈,
1024 128 .2
35
2T
, 将(1)代入得(22
)
a n
1
q 2
) 35
得
,得n 2
)等差数列{a n }中,公差 ,a kti 恰为
等比数列,其中k 1 1,k 2
7.
求数列{k n }的前n 项和.
[解析]a i ,a 5 ,a i7成等比数列,
(a i 4d)2 d 0, a 1
2d,
a
i
(a
i
16d) a i
5*3
17
,
2 a
5 a
i a
i7
,
d(a i 2d) 0
此数列中依次取出部分项组
成的数列
数列{a k n
}的公比q n 1
a k a i 3 n
而 a k n
a i (k n 由①,②得k n 2d a
5
a i 3n 1
a i a i
4d
3
,
1)d 2 3n
{k n }的前n 项和S n 2
2d (k n
1
1, 3n 1 n
3 1
i)d 3n
n 1. [评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、 [例3]解答下述问题:
(I)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去
求原来的三数? [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 公式及性质是解决问题的基本功 又成等比数列,
原三数为 a — d, a, a+d ,则有 32) a 2 d 2
d)(a d)
8a 64 0, d 8或d 一亠 2 26 338
9 公差为
8,得a 10或 26
, 3 9 (a d )(a d 2 (a 4) (a 32d 32a 0 16 d 2
2 3d 32d 9 9 (n)有四个正整数成等差数列, i0,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数
[解析]设此四数为a i5,a 5,a
5,a i5(a i5),
8、
(a 152) (a 5)2 (a 5) (a 15)
(2m)2 (m N )
4a 2
500 4m 2
(m a)(m a) 125,
125 1 125 5 25, m a 与m a 均为正整数,且m a m a,
m a 1 m a 2 m
a 125
m a
25
解得a 62或a 12(不合),所求四数为47, 57, 67, 77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法?
、等差等比数列练习题
一、选择题
1111 数列12,3
4,5
8,7
亦,
,前n
项和为
1、 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列
(A)为常数数列 (B)为非零的常数数列
(C)存在且唯一
(D)不存在
2.、 在等差数列 a n 中,
a 1 4,且a 1 ,a s ,a 13成等比数列,贝U a .的通项公式为
(A ) a n 3n 1
(B) a n n
(C )a n 3n 1 或 a n 4
(D)
a n n 3 或 a n 4
3、 已知a, b,c 成等比数列,且 x, y 分别为
a c
a 与
b 、b 与
c 的等差中项,则
的值为
x y
4、 (A)
2
(B)
2
(C)2
(D)不确定
互不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,
x 是a,b 的等比中项,y 是b,c 的等比中项,那么
2
, b 2
,
2
y 三个数(
(A ) (C ) 成等差数列不成等比数列
既成等差数列又成等比数列
(B)成等比数列不成等差数列
(D)既不成等差数列,又不成等比数列
5、 已知数列
a n 的前n 项和为S n , S 2n 1
4n 2
2n ,则此数列的通项公式为 6、 7、 (A)
已知(z
a
n
2n 2
(B
)a
n
8n
(C )a n 2n 1
(D
)a
n
n 2
2
x) 4(x y)(y z),则
(A) x, y, z 成等差数列
(B) x, y, z 成等比数列
(C )丄,丄,丄成等差
数列
x ' y ' z
(D)
丄成等比数列
x y z
数列a n 的前n 项和S n
a n
1,则关于数列 a n
的下列说法中,正确的个数有
①一定是等比数列,但不可能是等差数列
④ 可能既不是等差数列,又不是等比数
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤ 可能既是等差数列,又是等比数列 ③ 可能是等比数列,也可能是等差数列
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
1
填空题
a 2 a 6 a 18
21、数列 a n 的前n 项和记为Sn,a 1 1,a n 1
7
8 19 7
(A) —
(B)
(C)
(D) —
9
7
20
8
10、已知数列 a n 的前n 项和为 S n n 2 5n 2,则数列 a n 的前 10项和为
()
(A) 56
(B) 58
(C) 62 (D) 60
11、已知数列
a n 的通项公式a n n
5为,从 a n 中依次取出第3,
9, 27,…3 n
,…项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列
的前 n 项和为
()
n(3 n
13)
3n 10
n 3
-n 1
丄八 -
3 10n 3
(A)
(B) 3n 5
(C)
(D) -----------------
2
2
2
下列命题中是真命题的是 12、
(A) n 2
(B) n 2
十
(C ) n 2
(D)
1
2* 1
9、若两个等差数列 a n
b n 的前n 项和分别为 A n 、B n ,且满足 A n
4n a
5 a
13
5n 5
,则
b 5
b
13
的值为
A.数列a n 是等差数列的充要条件是 a n pn q ( p 0)
B .已知一个数列
a n 的前n 项和为S n an 2
bn a ,如果此数列是等差数列 ,那么此数列也是等比数列
c.数列a n 是等比数列的充要条件 a n
ab n
D .如果一个数列
a n 的前n 项和S n
ab n c (a 0,b
0,b 1),则此数列是等比数列的充要条件是 a
13、 各项都是正数的等比数列
a n ,公比q 1 a 5,a 7,a 8,成等差数列,则公比 q =.
14、 已知等差数列 a n ,公差d 0, a 1,a 5, a 仃成等比数列,则 a 1 a 5 a 17
15、 16、
1 m
匚 a
n ,则 a
n = ----------
4
在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为
解答题
已知数列a n 满足S n 1
17、 已知数列 a n 是公差d 不为零的等差数列,数列 a b n
是公比为q 的等比数列,
bi 1,b 2 10,b 3 46 ,求公比q 及b n 。
18、 已知等差数列 a n 的公差与等比数列 b n 的公比相等,且都等于d (d 0, d
1) ,a 1 d , a 3
3b 3,a 5 5b 5,求a ., b n 。
19、 有四个数, 其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36, 求这四个数。
20、 已知a n
为等比数列,a 3 2,a 2 a 4 a n 的通项式。
2S n 1 n 1
(i)求a n的通项公式;
(u)等差数列b n的各项为正,其前n项和为T n,且T315,又a1d,a2b2, a3b3成等比数列,求T n
22、已知数列满足a i 1,a n 1 2a n 1(n N ).
(i)求数列的通项公式;
(II)若数列满足4b l 1.4b2 1...4bn 1(a n 1)bn(n N ),证明:是等差数列;
答案
、填空题
1 、.5
26 4 1 n
13.
14.
15. ( )
16.
6、. 3
2
29
3 3
三、解答题
b 1
=a 1,a b 2
=a 10=a 1+9d,ag =a 46=a 1+45d 由{a bn }为等比数例,得(a 1+9d) 2
=a 1(a 1+45d)得 a 1=3d,即 a b1=3d,a b 2=12d,a b3=48d.
???q=4 又由{a bn }是{a n }中的第 b n a 项,及 a bn =a b1 ? n-1=3d 4 n-1,a 1+(b n -1)d=3d 4n-1
?- b n =3 4n-1-2
18. ? a 3=3b 3 ,
a 1+2d=3a 1d 2
,
a1(1-3d 2
)=-2d
a 5=5
b 5,
a 1+4d=5a 1d 4 , ? a 1(1-5d 4
)=-4d
.i'5 5 5
% ,a 1=r'5 o ? a n =a 1+(n-1)d= —(n-6) b n =a 1d n-1=-T 5 ( —)n-1
5 5
③代入②,得3aq=36,q=2
?这四个数为3 ,
a 3
20.解:设等比数列{a n }的公比为q,则q 丰0a 2=_
q
2 20 1 所以 q + 2q=
3 ,解得 q 1=3 , q 2= 3, 1 1 18
当 q 1=§, a 1=18.所以 a n =18 x ^)
n
=2 x 33n
2 2 — 当 q=
3 时,a 1= 9 ,所以 a n =9 X3 —仁2
卍 3.
故可设b 1
5 d,b 3
5 d
1
=2,二 d 2
=1 或 d 2
=,由题意,
5
d=- 5 19.设这四个数为
a
, a, aq,2aq a q
a a 则q
a aq (3aq a) 36
②
aq 216
由①,得 a 3
=216,a=6
6, 12, 18
2
q , a 4=a 3q=2q
21.解:(l)由 a n 1
2S n 1 可得 a n
2& 1 1 n 2 ,两式相减得
a
n 1
a
n 2a
n
, a
n 1 3a
n
又a 2 2S | 1 3 ??? a 2 3a 1
故a n
是首项为1, 公比为 3得等比数列
??? a n 3n 1
(n)设
b n 的公差为 由T 3
15得,可得 b 1 b 2
R 15,可得 b 2
5
一、高中数列基本公式:1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn= Sn=当d≠0时,Sn是关于n 的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式:an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1
为首项、ak为已知的第k项, an≠0)5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时, Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-
S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法: a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时,n a 是关于n 的一次式;当0=d 时,n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122,, 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S (0≠d 时,n S 是关于n 的二次函数)进行配方(注意n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式: 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n = 当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ,且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ,则 四、求数列}{n a 的最大的方法: 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法: 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例:已知数列}{n a 的通项公式为:32922-+-=n n a n ,求数列}{n a 的最大项。 例:已知数列}{n a 的通项公式为:n n n n a 10) 1(9+=,求数列}{n a 的最大项。
针对练习A1:等差数列 一、填空题 1. 等差数列8,5,2,…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-,a 7=8,则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10,-6,-2,2,…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -=,则n a =___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n -50,则当n=___时,S n 的值最小,S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 一架飞机起飞时,第一秒滑跑 2.3米,以后每秒比前一秒多滑跑4.6米,离地的前一秒滑跑66.7米, 则滑跑的时间一共是( ) A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=,则45678910a a a a a a a -+++-+的值为( c ) A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中,前15项的和1590S = ,8a 为(A ) A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列,则x 的值等于( ) A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和,且2n S n =,则{}n a 是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3,7,13,21,31,…的通项公式是( ) A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在
等差等比数列的证明 在数列的解答题中,有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,既考察了学生证明数列的能力,同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识: 1、如何判断一个数列是等差(或等比)数列 (1)定义法(递推公式):1n n a a d +-=(等差), 1 n n a q a +=(等比) (2)通项公式:n a kn m =+(等差),()0n n a k q q =?≠(等比) (3)前n 项和:2n S An Bn =+(等差),n n S k q k =-(等比) (4)等差(等比)中项:数列从第二项开始,每一项均为前后两项的等差(等比)中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列: (1)通常利用定义法,寻找到公差(公比) (2)也可利用等差等比中项来进行证明,即n N * ?∈,均有: 122n n n a a a ++=+(等差) 2 12n n n a a a ++=?(等比) 二、典型例题: 例1:已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+. 求证:数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一:构造法,按照所给的形式对已知递推公式进行构造,观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数,所以考虑递推公式两边同取倒数:113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ,在考虑构造“1-”:112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列; 2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列:1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 (常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列,则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质: 1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质: 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列;
高中数学数列公式大全 很齐全哟 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)
一、数列基本公式: 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系:a n = 2、等差数列的通项公式:a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时,a n 是关于n的一次式;当d=0时,a n 是 一个常数。 3、等差数列的前n项和公式:S n =S n = S n = 当d≠0时,S n 是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a 1 ≠0), S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式:a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项,a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,S n =n a 1 (是关于n的正比例 式); 当q≠1时,S n =S n =
三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{a n }中,若m+n=p+q,则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,a q;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,a q,a q3(为什么?)
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1,,若数列{a n}的前n项和为S n,则S2013的值为() A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系:a n+1=,a1=,则a2017=() A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2n-1(n∈N+),则a2017的值为() A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足,若a1=1,则a10=() A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足:a1=2,a n+1=,则a7等于() A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a6=a3+6,则S7=() A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中,若a1,a2013为方程x2-10x+16=0两根,则 a2+a1007+a2012=() A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和,若它的第k项满足2<a k<5,则k=() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a1+a2+a3+…+a10,则k=() A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,则2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=() A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n,则该数列的通项公式 a n=______. 2.正项数列{a n}中,满足a1=1,a2=,=(n∈N*),那么 a n=______. 3.若数列{a n}满足a1=-2,且对于任意的m,n∈N*,都有a m+n=a m+a n,则a3=______;数列{a n}前10项的和S10=______. 4.数列{a n}中,已知a1=1,若,则a n=______,若,则a n=______. 5.已知数列{a n}满足a1=-1,a n+1=a n+,n∈N*,则通项公式a n= ______ . 6.数列{a n}满足a1=5,-=5(n∈N+),则a n= ______ . 7.等差数列{a n}中,a1+a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列{a n}前9项的和S9等于______.
证明或判断等差(等比)数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢且听笔者一一道来. 一、利用等差(等比)数列的定义 在数列 {} n a 中,若 1n n a a d --=(d 为常数)或 1 n n a q a -=(q 为常数),则数列{}n a 为等差(等比)数列.这是证明数列{}n a 为等差(等比)数更最主要的方法.如: 例1.(2005北京卷)设数列{}n a 的首项114a a =≠,且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 , 记211 1234 n n b a n -=-=,,,,…. (Ⅰ)求23a a ,;(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)213211111 44228a a a a a a =+=+==+,; (Ⅱ)43113428a a a =+=+,所以54113 2416 a a a ==+, 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ,,, 猜想:{}n b 是公比为 1 2 的等比数列. 证明如下:因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N , 所以{}n b 是首项为14a - ,公比为1 2 的等比数列. 评析:此题并不知道数列{}n b 的通项,先写出几项然后猜测出结论,再用定义证明,这是常规做法。
等差数列练习题 一、选择题 1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为() A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2.等差数列{a n}中,a15=33, a45=153,则217是这个数列的() A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为() A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n}中,a1+a7=42, a10-a3=21,则前10项的S10等于() A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a :b 等于() A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数 列{C n},其通项公式为() A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10,则这个数列共有() A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1=25, b1=75,且a100+b100=100,则数列{a n+b n}的前100项和为() A、 0 B、 100 C、10000 D、505000
二、填空题 9、在等差数列{a n}中,a n=m,a n+m=0,则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中,a4+a7+a10+a13=20,则S16= ______ 。 11.在等差数列{a n}中,a1+a2+a3+a4=68,a6+a7+a8+a9+a10=30,则从a15到 a30的和是 ______ 。 12.已知等差数列 110, 116, 122,……,则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。 三、解答题 13.已知等差数列{a n}的公差d=,前100项的和S100=145 求: a1+a3+a5+……+a99的值。 14.已知等差数列{a n}的首项为a,记 (1)求证:{b n}是等差数列 (2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 :2,求{b n}的公差。
一、高中数列基本公式: 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系:a n= 2、等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时,a n是关于n的一次式;当d=0时, a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式:S n= S n= S n= 当d≠0时,S n是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式: a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项,a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,S n=n a1 (是关于n的正比例式); 当q≠1时,S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{a n}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{a n}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}(b n>0)是等比数列,则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中: (1)若项数为,则 (2)若数为则,, 14. 在等比数列中:
等差、等比数列 一、选择题: 1.已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d = A.-2 B.-12 C.12 D.2 2、在等比数列{n a }中,44a =,则26a a ?等于( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3、在等比数列{n a }中,333S a =,则其公比q 的值为( ) A. 12- B. 12 C. 1或12- D.1-或12 4.已知为等差数列,,则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 5、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 6、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{}n a 的前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3S =6,1a =4, 则公差d 等于 A .1 B 53 C.- 2 D 3 8、设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于( ) A.2 B.4 C.215 D.2 17 9、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知各项均为正数的等比数列{}n a ,123a a a =5,789a a a =10,则456a a a =( ) A. 52 B. 7 C. 6 D. 42 二、填空题: 11、已知{}n a 是等比数列,22=a ,434=-a a ,则此数列的公比=q _________; 12、设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则=k _________; 13、若数列{}n a 的前n 项和n S a n -=3,数列{}n a 为等比数列,则实数a 的值是_________;
数列公式汇总
人教版数学必修五 第二章数列重难点解析 第二章课文目录 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前n项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前n项和 【重点】 1、数列及其有关概念,通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念,等差数列的通项公式;等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用,熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式,等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n项和公式推导,进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 【难点】 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质,灵活应用等差数列的定义及性质 10
10 解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题,灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. ⒊数列的一般形式: ,,,,,3 2 1 n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1, ,若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2013 ) ,则 S 的值为( A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列 { a n } 满足递推关系: a n+1= , a 1= ,则 a 2017=( ) A. B. C. D. 3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S n =2n-1(n ∈N +),则 a 2017 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4. 已知正项数列 { a n } 满足 ,若 a 1=1,则 a 10= ( ) A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5. 若数列 {a n } 满足: a 1=2 ,a n+1= ,则 a 7 等于( ) A. 2 B. C. -1 D. 2018 6. 已知等差数列 { a n n 6 3 7 ) } 的前 n 项和为 S ,若 2a =a +6,则 S =( A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7. 等差数列 { a n } 中,若 a 1,a 2013 为方程 x 2 -10x+16=0 两根,则 a 2+a 1007+a 2012=( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ,若它的第 k 项满足 2<a k <5, 则 k=() A.2 B.3 C.4 D.5
9.在等差数列 { a n} 中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 a k=a1+a2+a3+ +a10,则 k=() A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和,则 2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则 S11=() A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n,则该数列的通项公式 a n=______. 2.正项数列 { a n} 中,满足 a1=1,a2= , = (n∈N*),那么 a n=______. 3.若数列 {a n} 满足 a1=-2,且对于任意的 m,n∈N*,都有 a m+n=a m+a n,则 a3=______;数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______. 4. 数列 { a n} 中,已知 a1=1,若,则 a n=______,若,则 a n =______. 5.已知数列{ a n 1 n+1 n *,则通项公式a n = } 满足 a =-1 ,a =a + ,n∈N ______ . 6. 数列 { a n} 满足 a1=5,- =5(n∈N+),则 a n= ______ . 7. 等差数列 { a n} 中, a1+a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______.
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )
人教版数学必修五 第二章 数列 重难点解析 第二章 课文目录 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前n 项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前n 项和 【重点】 1、数列及其有关概念,通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念,等差数列的通项公式;等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用,熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式,等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n 项和公式推导,进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 【难点】 1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质,灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题,灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 5.数列与函数的关系: 数列可以看成以正整数集N * (或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数()n a f n =,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
高考数列知识点 等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式:* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --= ; 3.等差中项(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . (3) 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4) 数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数) 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. (4)若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}{}12n n n a b a b λλλ++,都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列 (6)求n S 的最值 法一:因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要 注意数列的特殊性 *n N ∈。 法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当,,001<>d a 由?? ?≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值. (2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当,,001>