数列求和7种方法(方法全_例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知2
1=
x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当 n
n 8=，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
[例4] 求数列??????,2
2,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+???+++=…………………………………①
14322
226242221++???+++=n n n
S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+???++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习题1 已知，求数列｛a n｝的前n项和S n.答案：
练习题的前n项和为____
答案：
三、逆序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n n
n n n n
n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n
n n S 2)1(?+=
题1已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：
所以
.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2
)13(n n n S n -+=＝2)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n
-+---
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=
n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(23
1
k k k
n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n k n
k ∑∑∑
===++1
2
1
3
132
（分组）
＝)21()21(3)21(22
2
2
3
3
3
n n n +???++++???++++???++
＝2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 （7）)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
（8
）n a =
= [例9] 求数列???++???++,1
1,,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111 （裂项）
则 1
13
212
11+++???+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++
???++++=
n n
n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=
∴ )11
1(82
122+-=+?=n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
11(
)4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝
1
8+n n
（2009年广东文）20.（本小题满分14分）
已知点（1，3
1
）是函数,0()(>=a a x f x
且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （n ≥2）. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{
}1
1
+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >
20091000的最小正整数n 是多少 0.【解析】（1）
()113f a ==,()13x
f x ??
∴= ???
()11
13
a f c c =-=
- ,()()221a f c f c =---????????29=-, ()()32
3227
a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列，2213421
81233
27
a a c a ===-=-- ，所以 1c =；
又公比2113a q a ==，所以1
2112333n n
n a -??
??
=-=- ?
???
??
*n N ∈ ；
1n n S S --=
= ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1=；
数列
构成一个首相为1公差为1
()111n n =+-?= ， 2n S n =
当2n ≥， ()2
2
1121n n n b S S n n n -=-=--=- ；
21n b n ∴=-(*n N ∈)；
（2）122334
1
1111n n n T b b b b b b b b +=
++++
()
1111
133557(21)21n n =++++
???-?+
1111111111112323525722121n n ????????=
-+-+-++- ? ? ? ?-+???????? 11122121
n n n ??=-= ?++??； 由1000212009n n T n =>
+得10009n >，满足1000
2009
n T >的最小正整数为112.
练习题1.
.
练习题2。 =
答案：
求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
［练习］数列{}n a 满足1115
43
n n n S S a a +++==，，求n a
注意到11n n n a S S ++=-，代入得
1
4n n
S S +=；
又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，113
4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法
如：数列{}n a 中，1131
n n a n
a a n +==+，，求n a
解 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11
n a a n
=又13a =，∴3n a n =
. （3）等差型递推公式
由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法
2n ≥时，21321(2)
(3)()n n a a f a a f a a f n --=?
?-=?
???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……
∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1
1113
2n n n a a a n --==+≥，，求n a （
()1312n
n a =
-）
已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211
，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(112
1+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
（4）等比型递推公式
1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）
可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =
-，∴1n d a c ?
?+??-?
?是首项为11d a c c +
-，为公比的等比数列
∴1111n n d d a a c c c -??+
=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -??=+- ?--??
（5）倒数法
如：11212
n
n n a a a a +==
+，，求n a 由已知得：
121
1122n n n n
a a a a ++==+，∴
11112n n a a +-= ∴1n a ??????
为等差数列，11
1a =，公差为12，∴()
()11111122n n n a =+-=+·， ∴2
1n a n =
+