武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案
武汉理工大学高数B 期末试卷B卷及答案
Revised on November 25, 2020
武汉理工大学
2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（B 卷）
考生姓名： 班级： 学号：
一、选择题（本题共6小题, 每小题424分） 分，满分1、二元函
数)
,(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数都存在，是),(y x f 在该点可微的（ ）． （A ）充分而非必要条件 （B ）既非充分又非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）必要而非充分条件 2、设),(y x f 是连续函数，则0
(,)(0)a
x
I dx f x y dy a =>??=（ ）．
（A ）00
(,)a y dy f x y dx ?? （B ）0
(,)a a
y
dy f x y dx ??
（C ）0
(,)a y a
dy f x y dx ?? （D ）0
(,)a a
dy f x y dx ??
3、下列级数条件收敛的是（ ）．
（A ）n n n
1
)
1(1∑∞
=- （B ）211)1(n n n
∑∞
=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n
（D ）)1(1)1(1
+-∑∞
=n n n n
4、若级数∑∞
=1
n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。
（A ）)001.0(1
+∑∞=n n u （B ）∑∞=1n n u （C ） ∑∞
=+1
1000n n u （D ）∑
∞
=11000
n n
u
5、以12cos ,sin y x y x ==为特解的二阶线性齐次微分方程是（ ） （A ）''0y y -= （B ）'''0y y += （C ）''0y y += （D ）'''0y y -=
6、设{}222:),(a y x y x D ≤+=，则当=a （ ）时，??=--D
dxdy y x a π2222
（A ）1 （B ）2 （C ）33 （D ）3
2
3 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、设sin xy z e =，则dz = 。
2、设{}(,):01,1D x y x x y =≤≤≤≤，则=??-D
y dxdy e 2
。
3、曲线族x e x c c y 221)(+=中满足条件001
0,'2
x x y
y ====
的曲线是 ． 4、微分方程x e y y y x cos 422=+'-''的特解形式设为y *= 。
5、已知级数22116n n π∞
==∑，则级数2
11
(21)
n n ∞
=-∑的和等于 。 三 计算题（本题共5小题, 每小题7分，满分35分）
1、设 23
3
2
3,,z z
z x y xy x x y
??=+-???求。
2、判别级数21
(0)1n
n
n a a a ∞
=>+∑的敛散性。 3．求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解。 4、求幂级数11n n nx ∞
-=∑的收敛域及和函数。
5、计算积分)6
6(),06(),00(cos π
ππ，，，为以点，其中B A O D dxdy x x D
??
为顶点的三角形区域。 四、应用题（本题共2小题, 每小题8分，满分16分）
1、1、用钢板做一个容积为a 的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。
2、利用二重积分的几何意义计算球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积。
五、证明题（本题满分5分）设常数0β>，级数2
1n n a ∞
=∑
收敛，证明：级数n ∞
=
一．DBACCD 二．1、sin cos ()xy
e
xy ydx xdy + 2、1
1(1)2e -- 3、212
x xe 4、)cos sin (x b x a xe y x += 5、28π
三．1. .6,332
22y y
x z y x x z -=???-=?? 2. 解：当1a =时，原级数为11
2
n ∞
=∑发散--------------------------1分
当01a <<时，
21n
n n
a a a
≤+------------------------------2分 而1
n
n a ∞
=∑为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，211n
n
n a a ∞
=+∑收敛--------4分
当1a >时，
2211n n n n n a a a a a ≤=+ 又1a >时，级数1
1
n
n a ∞
=∑收敛 由正项级数的比较判别法，21
1n
n
n a a ∞
=+∑收敛------------------------------------5分 当1a =时，级数211n n n a a ∞
=+∑发散，当01a a >≠且时，级数211n
n
n a a
∞
=+∑收敛---------7分 3．对应的齐次方程的特征方程为0452=++r r ，……--------------2分
特征根为4,1-=-=r r -----------------------（3分）
对应的齐次方程的通解为x x e c e c y 421--+=………(4分)，
特解为x y 2
1
811-=
*………(5分)， 原方程的通解为 =y
x e c e c x x 2
1
811421-++--………(7分)
4. 解：11
lim
lim 1n n n n a n a n
ρ+→∞
→∞+===，1R ∴=收敛半径-------------------------------2分 当1x =±时级数1
1
n n n ∞
-=±∑（1）发散，所以收敛域为（-1,1）
。---------------------3分 设11
(),(1,1)n n s x nx x ∞
-==∈-∑ -------（*）
两边从0到x 积分得：11
00111()1x
x
x n n n n n n x s t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===??====
?-??
∑∑∑?
??------------6分 两边对x 求导得 2
1
()(0),(1,1)(1)s x s x x -=
∈--，且由（*）式知，(0)0s =
2
1
(),(1,1)(1)s x x x ∴=
∈----------------------------------------------------------7分 5. dy x x dx dxdy x x
x D
????=060cos cos π
…………………….4分
=?60
cos π
xdx …………………………5分
=1/2…………………………………..7分
四、 1. 解：设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，则长方体的体积为V xyz a ==，表面积为
2()S xy yz zx =++，
问题即求2()S xy yz zx =++在xyz a =之下的极值，------------------------------2分 令(,,,)2()()F x y z xy yz zx xyz a λλ=+++-，-----------------------------------------3分
由''''2()02()02()00
x y z F y z yz F x z xz x y z F x y xy F xyz a λ
λλλ?=++=?=++=??===?
=++=??=-=?分
-----------------------------------------7分
2、解：222222
918x y z z x y z
?++=??=±?+=?? 所求立体在xoy 面上的投影区域为：22
:8D x y +≤-------- --2分
由二重积分的几何意义所求立体的体积为
2D
V d σ=?? ----------------------------------5分
用极坐标计算得
20
2)4
V d r rdr πθ=??
---------------------------------------7分
24π=------------------------------------------------------------------------------------8分
五、证明：因为级数2
1n n a ∞
=∑和211
n n β∞
=+∑
2
2()2n a n β++≤
可知
级数1
n ∞
=
n ∞
=--------------------------5分