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第一章极限与连续

第一节 数列的极限 一、数列极限的概念

按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列

,,,,21n x x x

称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。例如:

,1,

,43,

32,21+n n

,2,,8,4,2n

,21,

,81,

41,

21n

,)1(,,1,1,11

+--n ,)

1(,,5

6,

43,3

4,

2

1,21

n

n n --+

一般项分别为

1

+n n

,n

2,

n

2

1,1

)1(+-n ,

n

n n 1

)

1(--+

数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n 设数列n n x n n 1

)

1(--+=

,来说明数列}{n x 以1为极限。

为使1001

11)

1(|1|1<

=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001

|1|<

-n x , 为使1000001

11)1(|1|1

<

=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001

|1|<

-n x , 为使ε<=--+=--n

n n x n n 11)1(|1|1

(ε是任意给定的小正数)

,只需要ε1>n ,即当ε1

>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。

令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,

因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1

=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则

定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式

ε<-||a x n

则说常数a 是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为

a x n n =∞

→lim 或 a x n →)(∞→n

如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。

数列}{n x 以a 为极限的几何意义:任意给定的正数ε,总存在正整数N ,当N n >时的一切n x ,有 ε<-||a x n

即 εε+<<-a x a n 或 ),(εε+-∈a a x n

也就是当N n >的一切n x 都落在a 的ε邻域),(εa U 内,在),(εa U 的外边至多有N 项(图) 1x N x ε-a 1+N x a 2+N x ε+a

例1 证明数列

,1

,

,43,32,21+n n

的极限为1。

证明:①分析:为使ε<-+=

-11||n n a x n ,只需要

ε<+1

1n ,或ε

1

1>

+n ,即11

->

ε

n

②证明:任意给定小正数ε,取]11

[-=εN ,当N n >时的一切n x 满足

ε<+=

-+=-1

111

|1|n n n x n

因此,11

lim

=+∞

→n n n

例2 已知2

)

1()

1(+-=

n x n n ,证明数列}{n x 的极限是0。 分析:为使ε<-+-=

-0)1()

1(||2n a x n

n ,只需要ε<+2)1(1n ,由于11

)1(1)1(12

2+<+=+n n n ,故ε<+11n 时,即 ε11>+n ,或11

->εn 时 ε<+2

)

1(1

n 。 证明:任意给定小正数ε,取]11

[-=εN ,当N n >时的一切n x 满足

ε11

)1(10)1()1(|0|2

+<+=-+-=-n n n x n

n 因此,0)1()

1(lim 2

=+-∞→n n

n

例3 设1||

,,,,,11

2-n q q q

的极限是0。

证明:任给0>ε(设0<ε),由于 1

1

|

||0||0|--=-=-n n n q q

x

为使ε<-|0|n x ,只需 ε<=---1

1|

||0|n n q q ,解得 εln ||ln )1(<-q n ,或|

|ln ln 1q n ε+>。故取

]|

|ln ln 1[q N ε

+=,当N n >时,有

ε<=-=---1

1

|

||0||0|n n n q q

x

因此,0lim 1

=-∞

→n n q

二、收敛数列的性质

定理1(极限的唯一性)如果数列}{n x 收敛,则它的极限是唯一的。 证明:反证法:如果a x n →,b x n →,不妨设b a <。取2

a b -=ε。

由于a x n →,存在1N ,当1N n >时,2||a b a x n -<- ;

又由于b x n →,存在2N ,当2N n >时,2

||a b b x n -<- 。取},max{21N N N =,则当N n >时,2||a b a x n -<

-,2||a

b b x n -<-,

由2

||a b a x n -<

-得2

b a x n +<

,由2

||a b b x n -<-得2

b a x n +>

,矛盾,故必须b a =。

例4 证明数列1

)

1(--=n n x ( ,2,1=n )是发散的。

对于数列}{n x ,如果存在正数M ,使得对于一切n x ,有M x n ≤||,则说数列}{n x 是有界的;否则,则说数列}{n x 是无界的。

定理2(收敛数列的有界性)如果数列}{n x 有极限,则数列}{n x 一定有界。 证明:注意到||||||||a a x a a x x n n n +-≤+-=,可证明定理2。

定理3(收敛数列的保号性)如果a x n n =∞

→lim ,且0>a (或0

的一切n x ,有0>n x (或0

证明:取2

a =

ε即可证明定理。

推论 如果数列}{n x 从某项起有0≥n x (或0≤n x ),且a x n n =∞

→lim ,则0≥a (或0≤a )。 对于数列}{n x ,从中抽取 1

n x ,2

n x , ,k

n x ,

称为数列}{n x 的一个子数列。

定理4 如果数列}{n x 收敛于a ,则数列}{n x 的任何子数列都收敛,且收敛于a 。 第二节 函数的极限 一、函数极限的定义

1.自变量趋向于无穷大时函数的极限

数列是特殊的函数,如1

)(+==n n

n f x n , ,2,1=n ,且∞→n 时,1→n x ,考虑函数

1

)(+=

=x x x f y ,是否有∞→x 时,1)(→x f ?

任意给定小正数ε,为使ε<-+=-|11

||1)(|x x x f ,只要ε<+|1

1|x ,即ε

1

|1|>

+x 。由于

1|||1|->+x x ,即11

||+>

ε

x 即可。 任给0>ε,存在正数11

+=εX ,当X x >||时,对应的函数值)(x f 满足

ε<-+=-|11

||1)(|x x

x f

即当∞→x 时,)(x f 以1为极限。

定义1设函数)(x f 当||x 大于某一正数时有定义。如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论

它多么小),总存在正数X ,使得x 满足不等式X x >||时,对应函数值)(x f 满足

ε<-|)(|A x f

则说常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限,记为

A x f x =∞

→)(lim 或 A x f →)((当∞→x )

A x f x =∞

→)(lim :0>?ε,0>?X ,当X x >||时,ε<-|)(|A x f 。

例1 证明 03lim =∞

→x

x 。

分析:为使ε<-|03|

x

,只要ε<|3|

x

,即

ε<|

|3

x ,或ε3

||>

x 。

证明:0>?ε,ε

3

=X ,当X x >||时,ε<<-||3

|03|x x ,因此

03lim =∞→x

x 。 A x f x =∞

→)(l i m 的几何解释:0>?ε,0>?X ,当X x >||时,

ε<-|)(|A x f

即 εε<-<-A x f )( 或 εε+<<-A x f A )( 如图所示:

如果0>?ε,0>?X ,当X x >时,ε<-|)(|A x f ,则说+∞→x 时,A x f →)(,记为

A x f x =+∞

→)(lim ;

如果0>?ε,0>?X ,当X x -<时,ε<-|)(|A x f ,则说-∞→x 时,A x f →)(,记为

A x f x =-∞

→)(lim

显然,A x f x =∞

→)(lim ?A x f x =+∞

→)(lim ,A x f x =-∞

→)(lim

例如:x

x x f ||)(=

,有1)(lim =+∞

→x f x ,1)(lim -=-∞

→x f x 。

2.自变量趋向于有限值时函数的极限

例1,12)(+=x x f ,2→x 时,5)(→x f ; 例2:1

1)(2

--=

x x x f ,定义域为1≠x ,但1→x 时,2)(→x f ;

任意给定小正数ε,为使ε<-=-+=-|42||512||)(|x x A x f ,只要ε<-|2|2x ,即

δε

=>-2

|2|x 即可。

任意给定小正数ε,为使

ε<---+=---=-|21

)

1)(1(|

|21

1|

|)(|2

x x x x x A x f

只要ε<-|1|x ,即δε=>-<|1|0x 即可。

定义2 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得x 满足不等式δ<-<||00x x 时,对应函数值)(x f 满足

ε<-|)(|A x f

则说常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记为

A x f x x =→)(lim 0

或 A x f →)((当0x x →)

A x f x x =→)(lim 0

:0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f 。

例2 证明 8)13(lim 3

=-→x x 。

分析:为使 ε<-=--|93||8)13(|x x ,只要ε<-|3|3x ,即3

|3|ε<-x 。

证明:0

>?ε,取3

ε

δ=

,当δ<-<|3|0x 时,对应函数值满足

ε<-=--=-|3|3|8)13(||8)(|x x x f 因此,8)13(lim 3

=-→x x 。

A x f x x =→)(lim 0

的几何解释:0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,

ε<-|)(|A x f

即 εε<-<-A x f )( 或 εε+<<-A x f A )(

即 ),(00

δx U x ∈时,),()(εA U x f ∈ 如图所示:

如果0>?ε,0>?δ,当δ<-0x x 时,ε<-|)(|A x f ,则说x 从0x 的右侧趋向于0x (记为

+

→0x x )时,A x f →)(,记为A x f x x =+→)(lim 0

,或A x f =+

)(0;

如果0>?ε,0>?δ,当δ<-x x 0时,ε<-|)(|A x f ,则说x 从0x 的左侧趋向于0x (记为

-

→0x x )时,A x f →)(,记为A x f x x =-→)(lim 0

,或A x f =-

)(0;

显然,A x f x x =→)(lim 0

?A x f x x =+

→)(lim 0

,A x f x x =-

→)(lim 0

例3 设函数

???

??>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f

当0→x 时,)(x f 的极限不存在。

例4 证明 c c x x =→0

lim

例5 证明 00

lim x x x x =→

例6 证明 424lim

2

2

-=+--→x x x

例7 证明 0sin lim

=+∞

→x

x x

二、函数极限的性质

定理1 (函数极限的唯一性)如果)(lim 0

x f x x →存在,则极限是唯一的。

定理2 (函数极限的局部有界性)如果A x f x x =→)(lim 0

,则存在正数M 和δ,使得当δ

<-<||00x x 时,有M x f ≤|)(|。

证明: |||||)(||)(||)(|A A A x f A A x f x f +<+-≤+-=ε

定理3 (函数极限的局部保号性)如果A x f x x =→)(lim 0

,且0>A (或0δ,

使得当δ<-<||00x x 时,有0)(>x f (或0)(

推论 如果在0x 的某去心邻域),(00

δx U 内,0)(≥x f (或0)(≤x f ),且A x f x x =→)(lim 0

,则0≥A (或

0≤A )

。 定理4 (函数极限与数列极限的关系)如果极限A x f x x =→)(lim 0

,}{n x 为函数)(x f 定义域内一收敛0

x 的数列,且0x x n ≠(+

∈N n ),则对应的函数值数列)}({n x f 也收敛,且A x f x f x x n n ==→∞

→)(lim )(lim 0

证明:由于A x f x x =→)(lim 0

,则0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,有ε<-|)(|A x f ;

又由于0lim x x n n =∞

→,故对于上面的0>δ,N ?,

当N n >时,有δ<-||0x x n ,当然有||00x x n -<; 因此,0>?ε,N ?,当N n >时,有δ<-<||00x x n ,故ε<-|)(|A x f n ,即A x f n n =∞

→)(l i m 。

第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小

定义 1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零,则函数)(x f 称为当0x x →(或∞→x )时的无穷小。

例如:0)1(lim 1

=-→x n ,因此)1(-x 为1→x 时的无穷小;01lim

=∞

→x

n ,因此x

1为∞→x 时的无穷小。

)(x f 为0x x →时的无穷小?0)(lim 0

=→x f x n ?0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,

ε<|)(|x f ;

)(x f 为∞→x 时的无穷小?0)(lim =∞

→x f n ?0>?ε,0>?X ,当X x >||时,ε<|)(|x f ;

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →(或∞→x )中,函数)(x f 以A 为极限的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小。

证明:必要性:设A x f x n =→)(lim 0

,则0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f 。

令A x f -=)(α,则α是0x x →时的无穷小,且α+=A x f )(。

充分性:设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是0x x →时的无穷小。于是,0>?ε,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,εα<||,即ε<-|)(|A x f ,因此,A 为)(x f 当0x x →时的极限,或

A x f x n =→)(lim 0

二、无穷大

如果当0x x →(或∞→x )时,对应的函数值的绝对值|)(|x f 无限增大,则称函数)(x f 为0

x x →(或∞→x )时的无穷大。

定义2 设函数)(x f 在0x 的某一去心邻域内有定义(或||x 大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数M (不论它多么大),总存在正数δ(或正数X ),当x 满足δ<-<||00x x (或X x >||)时,对应函数值)(x f 满足

M x f >|)(|

则说函数)(x f 为0x x →(或∞→x )时的无穷大。

如果函数)(x f 为0x x →(或∞→x )时的无穷大,也可记为 ∞=→)(lim 0

x f x n (或∞=∞

→)(lim x f n )

例如:

1

1

-x 为1→x 时的无穷大;12+x 为∞→x 时的无穷大。

+∞=→)(lim 0

x f x n :0>?M ,0>?δ,当δ<-<||00x x 时,M x f >)(;

-∞=∞

→)(lim x f n :0>?M ,0>?X ,当X x >||时,M x f -<)(。

如果∞=→)(lim 0

x f x n ,则直线0x x =是函数)(x f y =的图形的铅直渐近线;

如果A x f n =∞

→)(lim ,则直线A y =是函数)(x f y =的图形的水平渐近线。

定理2 在自变量的同一变化过程中,如果)(x f 为无穷大,则)

(1x f 为无穷小;反之,如果)(x f 为无

穷小,且0)(≠x f ,则)

(1x f 为无穷大。

第四节 极限运算法则

定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 证明:以两个无穷小的和为例:

设α及β是0x x →时的两个无穷小,令βαγ+=。

由于α是0x x →时无穷小:0>?ε,01>?δ,当10||0δ<-

||εα<

又由于β是0x x →时无穷小:对于0>ε,02>?δ,当20||0δ<-

||εβ<

取},min{21δδδ=,则当δ<-<||00x x 时,10||0δ<-

故2||ε

α<与2

||ε

β<同时满足,因此

εε

εβαβαγ=+<+<+=2

2

||||||||

即βα+为0x x →时的无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理3 如果A x f =)(lim ,B x g =)(lim ,则 (1) B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[ (2) B A x g x f x g x f ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[ (3) B

A x g x f x g x f ==

)

(lim )(lim )

()(lim

(0≠B )

证明:以(2)为例,由于A x f =)(lim ,得α+=A x f )(,α为无穷小;又由于B x g =)(lim ,得β+=B x g )(,β也为无穷小,因此

αβαββα+++=+?+=?B A AB B A x g x f )()()()(

由定理与推论,得αβαβ++B A 为无穷小,故B A ?为)()(x g x f ?的极限。

定理3中的(1)和(2)可推广到有限个的情况,即

)(lim )(lim )(lim )]()()(lim[x h x g x f x h x g x f -+=-+ )(lim )(lim )(lim )]()()(lim[x h x g x f x h x g x f ??=??

推论1 如果)(lim x f 存在,c 为常数,则 )(lim )](lim[x f c x f c = 推论2 如果)(lim x f 存在,n 为正整数,则 n n x f x f )]([lim )](lim[= 将定理3应用于数列的情况,得

定理4 如果A x n n =∞

→lim ,B y n n =∞

→lim ,则

(1) B A y x n n n ±=±∞

→)(lim

(2) B A y x n n n ?=?∞

→)(lim

(3) B

A y x n

n n =

→lim

(0≠n y , ,2,1=n , 且0≠B )

例1 求 )232(lim 2

2

+-→x x x

例2 求 3

51lim

2

3

2

+--→x x x x

对于多项式函数

n n n n

a x a x a x a x f ++++=--11

10)(

)

( lim )

lim ()lim ( )

(lim )(lim 0011

10011

1011

100

000

x f a x a x a x a a x a x a x a a x a x

a x a x f n

n n n

n

x x n n x x n

x x n n n n

x x x x =++++=++++=++++=--→--→→--→→

对于有理分式函数

)

()

()(x Q x P x F =

其中)(x P ,)(x Q 都是多项式,于是有

)()(lim 00

x P x P x x =→,)()(lim 00

x Q x Q x x =→

因此,当0)(0≠x Q 时

)()

()()

(lim )

(lim )

()(lim

)(lim 0000

x F x Q x P x Q x P x Q x P x F x x x x x x x x ==

=

=→→→→

例3 求 453

2lim 2

1

+--→x x x x 例4 求 458

6lim

2

24

+-+-→x x x x x

例5 求 863lim

2

3

23+-∞

→x x x

一般情况为 ????

?

????<∞>==++++++++----∞

→.,.,0.,lim

00

11

101110m n m n m n b a b x b x b x b a x a x

a x

a n

n n n

m m m m x 当当当 例6 求 x

x

x sin lim ∞→

例7 求 x

x x 1

sin lim 20→

定理6(复合函数的极限运算法则)设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成,)]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义,若0)(lim 0

u x g x x =→,A u f u u =→)(lim 0

,且存在00>δ,当

),(000

δx U x ∈,有0)(u x g ≠,则

A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0

证明:按照极限定义,需要证明0>?ε,0>?δ,使得当δ<-<||00x x 时,有 ε<-|)]([|A x g f

由于A u f u u =→)(lim 0

,故0>?ε,0>?η,使得当η<-<||00u u 时,有

ε<-|)(|A u f

又由于0)(lim 0

u x g x x =→,故对于上面的0>η,01>?δ,使得当10||0δ<-

η<-|)(|0u x g

取},min{10δδδ=,当δ<-<||00x x 时,η<-<|)(|00u x g ,故 ε<-|)]([|A x g f 即A x g f x x =→)]([lim 0

由定理6可得,当∞=→)(lim 0

x g x x ,A u f u =∞

→)(lim ,有

A u f x g f u x x ==∞

→→)(lim )]([lim 0

或当∞=∞

→)(lim x g x ,A u f u =∞

→)(lim ,有

A u f x g f u x ==∞

→∞

→)(lim )]([lim

第五节 极限存在准则,两个重要极限

准则Ⅰ如果数列}{n x 、}{n y 与}{n z 满足下列条件: (1) n n n z x y ≤≤ ( ,2,1=n ), (2) a y n n =∞

→lim ,a z n n =∞

→lim ,

则数列}{n x 的极限存在,且 a x n n =∞

→lim 。

准则Ⅰ如果

(1) 当),(00

r x U x ∈(或M x >||)时

)()()(x h x f x g ≤≤,

(2) A x g x x x =∞→→)(lim )

(0,A x h x x x =∞→→)(lim )

(0,

则)(lim

)

(0x f x x x ∞→→存在,切A x f x x x =∞→→)(lim

)

(0。

利用准则1'证明重要极限1sin lim 0

=→x

x x 。

由图6-1可以看出:

的面积的面积圆扇形的面积AOD AOB AOB ?<

所以

x x x tan 2

12

1sin 2

1<

<

即 x x x tan sin << 由于2

0π<

x x

cos 1

sin 1<

<

或 1sin cos <

x

x

由于x

x

sin 为偶函数,故在)0,2(π-内,也有1sin cos <

由于当2

||0π

<

2

)2(22

s i n

2c o s 1|1c o s |02

2

2

x

x

x x x =

?<=-=-< 由夹逼准则,得 1cos lim 0

=→x x ,由夹逼准则,得 1sin lim

=→x x

x

例1 求 1sin lim

=→x

x

x

例2 求 x x x cos 1lim 0

-→

例3 求 x

x

x arcsin lim

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。

如果数列}{n x 满足 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ,数列}{n x 称为单调增加数列; 如果数列}{n x 满足 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ,数列}{n x 称为单调减少数列。 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 利用准则Ⅱ,来证明另一个重要极限x

x x

)11(lim +

→存在。

设n

n n x )1

1(+

=,可证明数列}{n x 单调有界。由于

)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111 1!)1()1(1!3)2(1(1!2)1(1!11 )1

1(32n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n n

n ----++--+-++=?+--++?--+?-+?+=+

= 类似

)

11)(111()121)(111(!)1(1 )1

1

1()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!2111 )111(11+-+--+-+-+++--+-+-+++-+-++-++=+=++n n

n n n n n n n n n n n n n n x n n 由此看

1

+

又由于

321321121

11 2

12

12

111!

1!

31!21111

1

2

<-=--

+=+

++

+

+<+

++

+

+<--n n

n n n x

即数列}{n x 也是有界的,由准则Ⅱ,知道数列}{n x 有极限,即n n n

)11(lim +∞→存在,设 e n

n

n =+∞→)11(lim 对于任何1>x ,存在正整数n 使得1+≤≤n x n ,因此有 1

)

11()11()1

11(++

<+

<++n x

n

n

x

n

由于

e n

n n n n

n =+

=++

+∞

→∞

→1

)

11(lim )111(lim

e x

x

x =++∞

→)11(lim

令)1(+-=t x ,可证明 e x

x

x =+

-∞

→)11(lim ,因此

e x

x

x =+

→)1

1(lim

例1 求 x

x x )11(lim -∞→

例2 求 x x x 1

)1(lim +→

例3 求 x

x x

x 2)

1(

lim +∞

例4 证明 1)1211(

lim 2

2

2

=++

+++

+∞

→π

π

π

n n n n n n

第六节 无穷小的比较

当0→x 时,2x ,x 3,x sin 及x 都是无穷小,但是

03lim

2

=→x

x

x ,∞=→2

3lim

x

x x ,1sin lim

=→x

x x

定义 设α,β为无穷小 如果 0lim =αβ,则说β是比α高阶的无穷小,记作)(αβo =; 如果 ∞=αβ

lim ,则说β是比α低阶的无穷小;

如果 0lim ≠=c αβ

,则说β与α是同阶无穷小; 如果 1lim =αβ,则说β与α是等价无穷小,记作αβ~;

如果 0lim

≠=c k

α

β

,0>k ,则说β是关于α的k 阶无穷小。 因此,当0→x 时,2x 是比x 3高阶的无穷小)3(2

x o x =;x 3是比2x 低阶的无穷小;x sin 与x 是等

价无穷小,x x ~sin 。

由于 639

lim

2

3

=--→x x x ,故当3→x 时,92

-x 与3-x 是同阶无穷小;

又由于2

1cos 1lim

2

=

-→x

x

x ,故当0→x 时,x cos 1-是关于x 的二阶无穷小;

又由于∞=∞→2

11

lim

n n

n ,故当∞→n ,n 1是比21n

低阶的无穷小。

定理2 设αα'~,ββ'~,且α

β''lim

存在,则 αβαβ'

'

=lim

lim 证明:αβαααβββαβ''

='?''?'=lim

lim lim 例1 求 x

x

x 5sin 2tan lim 0→

例2 求 x

x x

x 3sin lim 30+→

例3 求 x

x

x x 30sin sin tan lim -→ 第七节 函数的连续与间断点 一、 函数的连续性

设变量u 从初值1u 变化到终值2u ,则12u u u -=?称为变量u 的增量。

设函数)(x f y =在0x 的某一邻域内有定义,当自变量x 从0x 变化到x x ?+0时,函数y 从)(0x f 变化到)(0x x f ?+,函数y 的增量为(图8-1)

)()(00x f x x f y -?+=? 如果0→?x 时,0→?y ,即

0lim 0

=?→?y x

或 0)]()([lim 000

=-?+→?x f x x f x

则说函数)(x f y =在0x 处是连续的。

定义 设函数)(x f y =在0x

0)]()([lim lim 000

=-?+=?→?→?x f x x f y x x

则说函数)(x f y =在点0x 连续。

记x x x ?+=0,则0→?x 就是0x x →;又由于

)()()()(000x f x f x f x x f y -=-?+=?

或 y x f x f ?+=)()(0

因此 0→?y 等价于)()(0x f x f →,即 )()(lim 00

x f x f x x =→。由此可得连续的另一等价定义

定义 设函数)(x f y =在0x 的某一邻域内有定义,如果 )()(lim 00

x f x f x x =→

则说函数)(x f y =在点0x 连续。

用极限定义描述为:)(x f y =在点0x 连续?0>?ε,0>?δ,当δ<-||0x x 时,ε<-|)()(|0x f x f 。

简单说:如果)(x f 在0x 处有定义;当0x x →时,)(x f 有极限;且)()(lim 00

x f x f x x =→,则)(x f 在

点0x 连续。

例如,对于多项式函数)(x P ,对任何的R x ∈0,都有 )()(lim 00

x P x P x x =→

因此,对于多项式函数)(x P 在任何点处都连续。

对于有理函数)

()

()(x Q x P x R =

,如果0)(0≠x Q ,则有 )()

()()()

(lim )(lim 00000x R x Q x P x Q x P x R x x x x ===→→

因此,有理函数)

()

()(x Q x P x R =在定义域内的每一点都连续。

如果函数)(x f y =在某区间上每一点都连续,则说函数)(x f y =在该区间上连续,或者说函数)(x f y =为该区间上的连续函数。

例1 证明函数x y sin =在),(∞+-∞内是连续的。 证明:设0x 为),(∞+-∞内任意一点,由于 )2

c o s (2

s i n 2s i n )s i n (000x x x x x x y ?+

?=-?+=?

又由于

1|)2

cos(|0≤?+x x

|||2

sin |2|sin )sin(|||00x x x x x y ?≤?≤-?+=?

又夹逼准则,得

0lim 0

=?→?y x

因此,x y sin =在0x 处连续,由于0x 为),(∞+-∞内任意一点,得x y sin =在),(∞+-∞内连续。

如果)()(lim 00

x f x f x x =+

→,或)()(00x f x f =+

,则说函数)(x f 在0x 右连续;

如果)()(lim 00

x f x f x x =-

→,或)()(00x f x f =-

,则说函数)(x f 在0x 左连续。

如果函数)(x f 在0x 处连续,则)(x f 在0x 右连续且函数)(x f 在0x 左连续;反之,当)(x f 在0x 右连续且)(x f 在0x 左连续时,函数)(x f 在0x 处连续。例如

???<-≥+=0

,10,1)(x x x x x f

)(x f 在00=x 处右连续,但)(x f 在00=x 处不是左连续的,因此,)(x f 在00=x 处不连续。

二、 函数的间断点

如果函数)(x f 在0x 处不连续,则0x 称为函数)(x f 的一个间断点。

(1) 如果)(x f 在0x 处没有定义,则)(x f 在0x 处不连续,0x 为)(x f 的一个间断点;

(2) 如果)(x f 在0x 处没有极限,则)(x f 在0x 处不连续,0x 为)(x f 的一个间断点; (3) 如果)()(lim 00

x f x f x x ≠→,则)(x f 在0x 处不连续,0x 为)(x f 的一个间断点。

由于x

y 1

=

在0=x 处没有定义,得0=x 为x

y 1=

的一个间断点。

由于x

x x y cos sin tan ==在2

π=

x 处无定义,得2π

=

x 为x y tan =的一个间断点。 由于1

1

2

--=

x x y 在1=x 处无定义,得1=x 为1

12

--=

x x y 的一个间断点。

由于??

?<-≥+=0,

10

,

1)(x x x x x f 当0→x 时没有极限,因此,0=x 为???<-≥+=0

,

10,

1)(x x x x x f 的一个间断

点。

由于x

y 1sin

=在0=x 处没有定义,得0=x 为x

y 1sin =的一个间断点。

由于∞=→

x x tan lim 2

π

,说2

π=

x 称为x y tan =的一个无穷间断点。

如果A x f x x =+

→)(lim

0,B x f x x =-→)(lim 0,

但B A ≠,说0x 为)(x f y =的一个跳跃间断点。例如,0=x 为??

?<-≥+=0

,10

,1)(x x x x

x f 的一个跳跃间断点。

如果)()(lim

00

x f A x f x x ≠=→,则0x 称为)(x f y =的一个可去间断点。例如,1=x 为1

12

--=

x x y 的

一个可去间断点。

0=x 称为x

y 1sin

=的一个振荡间断点。

如果0x 为)(x f y =的一个间断点,但)(0+

x f 与)(0-

x f 都存在,则0x 称为)(x f 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点。 第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 三、 连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1 设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续,则)()(x g x f ±、)()(x g x f ?、)0)(()

()(0≠x g x g x f 在0x 点

连续。

例 1 由于x sin ,x cos 在),(∞+-∞内连续,得x

x x cos sin tan =,x

x x sin cos cot =

在定义域内连续。即

三角函数在定义域内是连续的。 四、 反函数与复合函数的连续性

定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调且连续,则它的反函数)(1

y f

x -=在对应区间

}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调且连续。

例2 由于x y sin =在]2

,

2[π

π

-

上单调增加且连续,

因此,其反函数x y arcsin =在对应区间]1,1[-上单调增加且连续。同样,x y cos =在],0[π上单调减少且连续,因此,其反函数x y arccos =在对应区间

]1,1[-上单调减少且连续。

同理可证:x y arctan =在区间),(∞+-∞内单调增加且连续;x arc y cot =在区间),(∞+-∞内单调减少且连续。

综上所述,反三角函数x arcsin ,x arccos ,x arctan ,x arc cot 在定义域内是连续的。

定理3 设函数)]([x g f y =是有)(u f y =与)(x g u =复合而成,g f D x U ?)(00

。若0)(lim 0

u x g x x =→,

而函数)(u f y =在0u u =处连续,则

)()(lim )]([lim 00

u f u f x g f u u x x ==→→

)()](lim [)]([lim 00

u f x g f x g f x x x x ==→→

若0)(lim u x g x =∞

→,而函数)(u f y =在0u u =处连续,则

)()](lim [)]([lim 0u f x g f x g f x x ==∞

→∞

例3 求 9

3

lim 2

3

--→x x x

解:9

3

2

--=

x x y 可看成u y =

与932

--=

x x u 的复合,由于6

19

3lim

2

3

=

--→x x x ,而且u y =在6

1=

u 处连续,由定理3,得

6

19

3lim

9

3lim

2

3

2

3

=

--=--→→x x x x x x

定理4设函数)]([x g f y =是有)(u f y =与)(x g u =复合而成。若)(x g u =在0x x =处连续,且00)(u x g =,而函数)(u f y =在0u u =处连续,则复合函数)]([x g f y =在0x x =处连续。

例4 讨论函数x

y 1sin =的连续性。

五、 初等函数的连续性

三角函数与反三角函数在其定义域内是连续的

指数函数x

a y =(1,0≠>a a )在定义域),(∞+-∞内是连续的。 由反函数的连续性,得对数函数x y a

log =(1,0≠>a a )在定义域),0(∞+内是连续的。

由于幂函数μx y =可以写成x

a a

x y log μμ

==,由复合函数连续性定理,得μx y =在定义域)

,0(∞+内是连续的。

综上所述:五种基本初等函数在它们的定义域内是连续的。

由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合且可由一个算式表达的函数,由定理1和定理4知道:一切初等函数在定义区间内是连续的。

定义区间:包含在定义域内的区间。如u y arcsin =与12+=x u 复合得)1arcsin(2

+=x y 的定义域为0=x ,没有定义区间。

如果知道)(x f 为初等函数,0x 为)(x f 定义区间内的一点,则 )()(lim 00

x f x f x x =→

例1 02

sin

ln sin ln lim 2

==→

ππ

x x

例2 求x

x

x 1

1lim 2

-+→ 例3 求x

x a x )

1(log lim

+→

例4 求x

a x

x 1lim

-→

例5 求x x x sin 3

)21(lim +→

解:因为 x

x x

x x

x x

x

e

x x 21

)21ln(sin 66

sin 21

sin

3)21()21(+??

??

=+=+

因此

6

lim

)21ln(sin 60

sin 3

21

)21ln(sin 60

21

lim )

21(lim e e

e

x x

x x

x x x

x x

x x x

x ===++??

→+??

→→

一般地,对于)()(x v x u y =(1)(,0)(≠>x u x u ),如果0)(lim >=a x u ,b x v =)(lim ,则 b x v a x u =)()(lim 第九节 闭区间上连续函数的性质

如果函数)(x f 在开区间),(b a 内连续,在右端点b x =处左连续,在左端点a x =处右连续,则说函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,或者说)(x f 为闭区间],[b a 上的连续函数。 一、有界性与最大值最小值定理

设函数)(x f 在区间I 上有定义,如果有I x ∈0,使得对于任一I x ∈都有 )()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥) 则称)(0x f 是函数)(x f 在区间I 的最大值(最小值)。

定理 1 (有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界并取得它的最大值和最小值。

例1 x y =,区间为)1,0(

例2 ???

??≤<+-=<≤+-=2

1,31,110,

1)(x x x x x x f

)(x f 在闭区间[0,2]

上有间断点1=x ,而且)(x f 在[0,2]上无最大值和最小值。 二、零点定理与介值定理

如果0x 使得0)(0=x f ,则0x 称为函数)(x f 的零点。

定理2(零点定理)设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(

定理3(介值定理)设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值,即A a f =)(,B b f =)(,且B A ≠,则对于介于A 与B 之间的任意一个数C ,在开区间),(b a 内至少有

一点ξ,使得C f =)(ξ。

证明:令C x f x -=)()(?,对)(x ?应用零点定理,得存在),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ?即 0)(=-C f ξ 或 C f =)(ξ )(b a <<ξ

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

例3 证明方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根。

高数课本课后必做习题

《高等数学》(同济六版)基础复习教材基础练习题范围完整版(数学二) 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5(P49) 1(1)~((14) 习题1—6(P56) 1(1)~(6)、2(1)~(4)、4(1)~(5) 习题1—7(P59) 4(1)~(4) 习题1—8(P64) 3(1)~(4)、4 习题1—9(P69) 3(1)~(7)、4(1)~(6) 习题1—10(P74) 1、2、3、5 总习题一(P74) 2、3(1)(2)、9(1)~(6)、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9(1)~(6)、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2(1)~(10)、3(1)~(3)、5、6(1)~(10)、7(1)~(10)、8(1)~(10)、10(1)~(2)、11(1)~(10)、13、14 习题2—3 1(1)~(12)、3(1)~(2)、4、10(1)~(2) 习题2—4 1(1)~(4)、2、3(1)~(4)、4(1)~(4)、5(1)~(2)、6、7(1)~(2)、8(1)~(4) 习题2—5 2、3(1)~(10)、4(1)~(8) 总习题二 1、2、3、6、7、8(1)~(5)、9(1)~(2)、11、12(1)~(2)、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1(1)~(16)、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10(1)~(3) 习题3—4 1、2、3(1)~(7)、5(1)~(5)、6、8(1)~(4)、9(1)~(6)、10(1)~(3)、12、13、14 习题3—5 1(1)~(10)、2、4(1)~(3)、8、9、10、16

(完整word版)同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的 关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷 小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点 的概念,并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。

高数课本_同济六版

第一章函数与极限(考研必考章节,其中求极限是本章最重 要的内容,要掌握求极限的集中方法) 第一节映射与函数(一般章节) 一、集合(不用看)二、映射(不用看)三、函数(了解) 注:P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做(3)(5)(7)(8) 5--9 均做 10大题只需做(4)(5)(6) 11大题只需做(3)(4)(5) 12大题只需做(2)(4)(6) 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限(一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看) 一、数列极限的定义(了解)二、收敛极限的性质(了解) P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做(4)(6)(8) 2--6均不用做 第三节(一般章节)(标题不再写了对应同济六版教材标题) 一、(了解)二、(了解) P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节(重要) 一、无穷小(重要)二、无穷大(了解)

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做,其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要) p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节(基本必考小题) p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集:

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

考研高等数学教材

高等数学:同济大学编写的高等数学第6版高等教育出版社(绿色)最好别用第5版的,因为第6版的总复习题和考研题很接近,有的就是考研的真题,所以对你的前期复习有帮助。 线性代数:同济大学编写的线性代数第4版或第5版高等教育出版社(紫色) 或清华大学居于马编写的线性代数第2版清华大学出版社(黄色) 这两本都是教育部推荐的,同济的比较薄,内容紧凑;清华的比较厚,内容完整。建议你水平高的选同济的,水平一般的选清华的。另外线代的书,同济4版和5版都无所谓。 概率论与数理统计:浙江大学盛骤编写的概率论与数理统计第4版浙江大学出版社(蓝色) 还有一本是经济数学吴传生的概率论,虽说是经济数学但内容也不错,你可以实地考察一下,一般的书店都有。主要是吴传生这本书的习题,曾经有考题根据它改编过。 另外复习中还需要全书和题目,这个建议你去一些考研论坛看看别人的经验贴,我这里帮你把所有的辅导书列出来也没意思是吧,你根据自身的情况选一些适合自己的就可以了。 数学主要用李永乐的书,陈文灯的可以辅助一下。 高等数学:同济五版 线性代数:同济六版 概率论与数理统计:浙大三版 推荐资料: 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析(数学三)真题》 考研数学规划: 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO

复习资料来说:李永乐的不错,注重基础;陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的(经济类数学重基础不重难度),基础好的话可以考虑下陈文灯的书。 李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 文都考研 《高等数学》(上下册)第六版,同济大学数学系编,高等教育出版社出版;《高等数学过关与提高》(上下册),原子能出版社出版,适合理工类考生使用。 《微积分》吴传生主编,高等教育出版社出版;《微积分过关与提高》(上下册),原子能出版社出版,适合经济类考生使用。 《线性代数》第四版,同济大学数学系编,高等教育出版社出版;《线性代数过关与提高》,原子能出版社出版,适合所有考生使用。 《概率论与数理统计》第三版,盛骤等主编,高等教育出版社出版;《概率论与数理统计过关与提高》,原子能出版社出版;适合除数学二之外的其他考生使用。 数学复习必须打好第一步的基础,因为每年考研数学试题中有60%以上的题目都在考查考生对基础知识的理解与掌握,所以基础牢则数学赢,数学赢则考研胜! 考研, 用书, 英语: 1、《考研英语词汇词根+联想记忆法》作者 :俞敏洪出版社:群言出版社出

(完整word版)大一高数学习总结

大一高数学习总结 ——姓名:刘禹尧学号:13145222 转眼之间大一已经过去了一半,高数的学习也有了一学期,仔细一想,高数也不是传说中的那么可怕,当然也没有那么容易,前提是自己真的用心了。 有人戏称高数是一棵高树,很多人就挂在了上面。但是,只要努力,就能爬上那棵高树,凭借它的高度,便能看到更远的风景。 首先,不能有畏难情绪。一进大学,就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学,有很多人挂科了,这基本上是事实,但是或多或少有些夸张了吧。事实上,当我们抛掉那些畏难的情绪,心无旁骛地去学习高数时,它并不是那么难,至少不是那种难到学不下去的。所以,我们要有信心去学好它时,就走好了第一步。 其次,课前预习很重要。每个人的学习习惯可能不同,有些人习惯预习,有些人觉得预习不适合自己。每次上新课前,把课本上的内容仔细地预习一下,或者说先自学一下,把知识点先过一遍,能理解的先自己理解好,到课堂上时就会觉得有方向感,不会觉得茫然,并且自己预习时没有理解的地方在课堂上听老师讲后就能解决了,比较有针对性。 然后,要把握课堂。课堂上老师讲的每一句话都有可能是很有用的,如果错过了就可能会使自己以后做某些题时要走很多弯路,甚至是死路。我们主要应该在课堂上认真听讲,理解解题方法,我们现在所需要的是方法,是思维,而不仅仅是例题本身的答案,我们学习高数不是为了将来能计算算术,而是为了获得一种思想,为了提高我们的思维能力,为了能够用于解决现实问题。 此外,要以教材为中心。虽然说“尽信书不如无书”,但是,就算教材不是完美的,但是教材上包含了我们所要掌握的知识点,而那些知识点是便是我们解题的基础。书上的一些基本公式、定理,是我们必须掌握的。 最后,坚持做好习题。做题是必要的,但像高中那样搞题海战术就不必要了。做好教材上的课后题和习题册就足够了,当然,前提是认真地做好了。对于每一道题,有疑问的地方就要解决,不能不求甚解,尽量把每一个细节都理解好,这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。 下面是我对这学期学习重点的一些总结: 1、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定,因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同,且要判断函数表达式是否统一即可。 2、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性,主要的方法就是利用定义,其次是利用奇偶的性质,即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数;两个奇函数之积是偶函数;两个偶函数之积仍是偶函数;一奇一偶之积是奇函数。 3、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。 (1)若数列分子分母同时含n,则同除n的最高次项。 (2)若通项中含有根式,一般采用先分子或分母有理化,再求极限的方法。 (3)所求数列是无穷项和,通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出,再求 极限。

高等数学教材《极限》

一、数列的极限 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 ⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数a1,第二个数a2,…,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a n,那末,我们称这列有次序的数a1,a2,…,a n,…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项a n叫做数列的一般项或通项. 注:我们也可以把数列a n看作自变量为正整数n的函数,即:a n=,它的定义域是 全体正整数 ⑵、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。 例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。 设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为A1;再作圆的内接正十二边形,其面积记为A2;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为A3;依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n)可得一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,…,An,…,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An也无限接近某一确定的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列A1,A2,A3,…,An,…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。 注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。 ⑶、数列的极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切不等式都成立,那末就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a. 记作:或 注:此定义中的正数ε只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的,它是随着ε的给定而选定的。 ⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列 在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε,a+ε),如下图所示: 因不等式与不等式等价,故当n>N时,所有的点都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。 注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。 ⑸、数列的有界性:对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式│

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学(同济大学教材第五版)复习提 纲 第一章函数与极限:正确理解、熟练掌握本章内容,求各类函数的极限,尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分:正确理解、熟练掌握本章内容,各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用:熟练掌握本章的实际应用,研究函数的性态,证明相关不等式 第四章不定积分:正确理解概念,会多种积分方法,尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分:正确理解概念,会多种积分方法,有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用:掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数:熟练掌握本章的实际应用 高等数学(1)期末复习要求

第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念,了解分段函数,熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2.函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性,掌握判断函数奇偶性的方法。 3.初等函数 了解复合函数、初等函数的概念;掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4.建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5.极限:数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6.极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7.无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系,无穷小量的性质。 8.两个重要极限 了解两个重要极限,会用两个重要极

限求函数极限。 9.函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念; 会求函数的连续区间和间断点,并判别函数间断点的类型; 知道初等函数的连续性,知道闭区间上的连续函数的几个性质 (最大值、最小值定理和介值定理)。 第二章导数与微分 1.导数概念:导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念; 了解导数的几何意义,会求曲线的切线和法线方程;知道可导与连续的关系,会求高阶导数概念。 2.导数运算 熟记导数基本公式,熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

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第一章极限与连续 第一节 数列的极限 一、数列极限的概念 按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列 ,,,,21n x x x 称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。例如: ,1, ,43, 32,21+n n ,2,,8,4,2n ,21, ,81, 41, 21n ,)1(,,1,1,11 +--n ,) 1(,,5 6, 43,3 4, 2 1,21 n n n --+ 一般项分别为 1 +n n ,n 2, n 2 1,1 )1(+-n , n n n 1 ) 1(--+ 数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n 设数列n n x n n 1 ) 1(--+= ,来说明数列}{n x 以1为极限。 为使1001 11) 1(|1|1< =--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001 |1|< -n x , 为使1000001 11)1(|1|1 < =--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001 |1|< -n x , 为使ε<=--+=--n n n x n n 11)1(|1|1 (ε是任意给定的小正数) ,只需要ε1>n ,即当ε1 >n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。 令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n , 因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1 [ε =N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则 定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式 ε<-||a x n 则说常数a 是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为 a x n n =∞ →lim 或 a x n →)(∞→n 如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。

高等数学教材资料

高等数学教材完整 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。

国内高等数学课程教材的比较

国内高等数学课程教材的比较 摘要:通过对高等数学课程教学现状的分析,指出了教材编写的重要性,并基于经管专业应用视角,比较分析了同济版《高等数学》和吴传生版《经济数学——微积分》的特点。最后与国外教材做了对比。 关键词:高等数学;教材;同济版《高等数学》;吴传生版《经济数学——微积分》;经管专业 一、高等数学课程的教学现状 “高等数学”是一门重要的基础课程,几乎各个专业的学生都要求掌握其方法和相应的应用。然而每个学科有自己的学科特色,培养要求各有不同。而各个学校、各个专业对“高等数学”的重视程度不一致,每个专业的师资力量各有不同,导致此课程有的由院系自己开设,有的由本校的理工学院老师担任教学,教师本身知识的系统性与连续性参差不齐。 另外,高考的文理分科导致文理科学生的数学基础有较大的差别。而经管专业一般属于文理兼收,导致同一专业的学生的数学基础有很大差异,部分文科学生对数学存在畏难情绪。加之某些教材内容陈旧,过于强调数学的严谨和证明,使得学生丧失兴趣和信心。而继续深入学习经管等知识又发现自己的数学基础太差学不下去。经济学中的许多研究方法都依赖于数学的思维方法和推导。历届诺贝尔经济学奖的获得者中许多都有深厚的数学背景,比如纳什将冯•诺依曼的“合作博弈”发展为“纳什均衡”,既推动了经济学,也推动了数学的发展。种种实例体现了数学在经济学中的重要作用。 改变高等数学教学现状刻不容缓,一批专家在经济数学的教学方面作了许多有益的尝试,国内涌现出一批高质量的教材,力求符合自己的实际情况。为此我们曾调查了50余所学校的经管专业,涉及的《高等数学》教材就有20余种。其中同济大学编写、高等教育出版社出版的《高等数学》,目前已出第六版,是大家广为使用的,部分经管专业也借用为教材或参考书。吴传生所编《经济数学——微积分》也多次被提及。而一些理科较强的重点院校,如北大、清华等,其经管院系多采用本校自编教材。事实上,因国内经管专业数学课程内容特色并不非常突出,还是有不少学校在借用理工类的一些经典教材,但这种比例在减小,学校对教材的个性化要求会越来越高。 二、教材作者与出版情况简介 同济版《高等数学》首版为1978年,至今已经历6个版本,第六版是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。本书最初的目标是作为高等学校工科数学课程的试用教材或教学参考书。从第四版开始,目标调整为符合大多数院系的需要,

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