模糊数学
模糊分类的方法及其应用
摘要本文总结了模糊传递闭包法、直接聚类法、最大树法以及编网法四种分类方法的基本步骤及其应用。并且通过用不同的方法对同一示例进行求解，说明并得到不同的分类方法分类结果是完全一样的。同时使读者对模糊分类的方法有一定的了解.
关键字模糊数学；模糊分类；方法；应用
The method of fuzzy classification and its application
Abstract This paper summarizes the basic steps of classification and its application of four classification such as the fuzzy transitive closure method, the direct classification method, the maximum tree cluster method and the netting method. And by using different methods to solve the same example to illustrate and get the different classification getting exactly the same results. At the same time ,it making the readers have some knowledge of the methods.
Key words Fuzzy mathematics; The fuzzy classification; Methods; application
有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……；另一方面，所有人都同意，一粒种子肯定不叫一堆.那么，适当的界限到底在哪里呢？我们可不可以说123585粒种子不叫一堆，而123586粒种子就是一堆种子？”很显然，一粒与一堆之间是有很大的差别的.但是，它们之间的差别是逐渐的，而不是突变的，二者之间并不存在明确的界限.换句话说，“一堆”这个概念是具有一定的模糊性的.类似的概念多不胜数，如：年老、高个子、很冷、有点辣、智者、便宜……，很显然，这些概念是不能用经典集合来进行归类的.经典集合描述的是一种非此即彼的现象.而这些模糊概念却是一种亦此亦彼的现象，为此，只能寻找一种新的集合来描述这种现象，这就是模糊集合.1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，模糊数学这门学科从此诞生（详细资料可查询https://www.sodocs.net/doc/d014342675.html,/ view/24364.htm）.
模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的.模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性的方法，使模糊对象加以确切化，从而使研究确定性对象与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学中描述有不到之处就可以通过模糊数学来弥补.
伴随着数学这一学科的发展，做为数学的一个分支，模糊数学也在渐渐的发展着.目前模糊数学已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支.作为一门新兴学科，模糊数学已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.在气象、机构力学、控制、心理学等方面也有具体的研究成果[1].
在本文中，我将就模糊数学的一个重要应用，即模糊聚类分析的一些模糊分类方法及其应用进行简单的探讨.
1预备知识
1.1模糊聚类分析的定义及其方法
“物以类聚”，分类是各个学科领域中的重要内容.从其原意上讲，分类就是把所需要研究的对象的全体一步步细分为互不相交的子集合，而聚类是指把各个对象的单点集合一步步聚合成不同的类.即：分类是从粗到细，而聚类是从细到粗.在实际应用的过程中，通常情况下是不加以区分的，在此我们将对模糊分类的方法进行简单的探讨.
所谓聚类分析[2]，就是根据事物间的不同特征、亲疏程度和相似性性等关系，对它们进行分类的一种数学方法.它产生于地质学的若干领域，其数学基础是数理统计中的多元分析.由于在实际生活中，事物间的关系其界限往往是不明显的，即为模糊关系，所以用模糊数学方法进行聚类分析会显得更容易，更符合实际情况，这就是模糊聚类分析具有很强生命力所在.
模糊聚类分析方法一般分为三大类：第一种是分类数不确定，依据不同要求对事物进行动态聚类，这种方法是基于模糊等价矩阵聚类的，称之为模糊等价矩阵动态聚类分析方法；第二种是分类数确定，寻找出对事物的最佳分类方案，这种方法是基于目标函数聚类的.称之为C 均值（FCM ）聚类算法或称之为模糊ISODATA 聚类分析方法；第三种是在摄动有意义的情况下，根据模糊相似矩阵聚类的，此类方法称之为基于摄动的模糊聚类分析方法[2].
1.2模糊分类的基本步骤
在本文中我们主要介绍模糊等价矩阵动态聚类分析方法，也即当分类数不确定时的各种分类方法.首先，我们来看一下模糊聚类的基本原理和步骤：
事实上，我们已经知道，对于一个合适的分类来说，应满足三个条件：自反性、对称性、传递性.而且等价关系也是满足上述三个条件的，因此，我们将模糊聚类分析按照模糊等价关系来进行.其主要步骤如下：
（1）建立模糊相似关系.
设12n U u u u =?｛，，，｝为待分类的全体.其中每一待分类对象由一组数据表征
如下：
()i i1i2im u x ,x , x =?,
现在的问题就在于如何建立i u 与j u 之间的相似关系：
[]()i j ij R(u u ) r 0,1i,j 1,2,,n ==?，.
通常用的方法有：①数量积法，②相关系数法③最大最小法，④算术平均最小法，⑤几何平均最小法，⑥绝对值指数法，⑦绝对值减数法.
其中每种方法有固定的公式来计算得到相似关系i j i j
R (u u ) r =，，在此就不一一列出，具体参见参考文献[3][4].
除上述方法之外，也可请专家或者由多人打分再取平均值.在实际情况中，具体选取哪一种方法，应根据情况而定，最好选用多种方法，选取分类最符合实
际的结果.
（2）改造相似关系为等价关系.
由第一步得到的矩阵R 一般是满足自反性和对称性的，即R 是相似矩阵，但它不一定具有传递性，从而未必是模糊等价矩阵，因此，需要将它改造成模糊等价矩阵.为此，采用平方法求出R 的传递闭包R ，R 便是所求出的模糊等价矩阵.通过R 便可对U 进行分类.
下面我们根据上述步骤来介绍一些模糊等价矩阵动态聚类分析方法中常用的模糊分类方法：模糊传递闭包法，直接聚类法，最大树法，编网法.（注：在本文中为了形成对照，各种方法的应用只选用一个例子.）
2模糊传递闭包法的基本步骤及其应用
2.1模糊传递闭包法的基本步骤
为了说明传递闭包法，我们来看一个有关于模糊相似关系和模糊等价关系之间联系的定理[2]：
设()R F U U ∈?，则
(1)R 为等价的当且仅当R 为传递的模糊似关系；
(2)若R 为模糊相似关系，则()()t R e R =.
其中()t R 为R 的传递闭包，()e R 为关系R 的等价闭包.
根据上述定理可知，模糊相似矩阵R 的传递闭包()t R 就是一个模糊等价矩阵，因此，可以以()t R 为基础而进行分类，这种聚类方法称为模糊传递闭包法，具体步骤如下：
(1)利用平方自合成方法求出模糊相似矩阵R 的传递闭包()t R ，即
242()k R R R t R ????=
其中2[log ]1k n ≤+.
(2)适当选取置信水平值[0,1]λ∈，求出()t R 的λ截矩阵()t R λ，则可知()t R λ为
U 上的一个等价的Boolean 矩阵.然后按()t R λ进行分类，
得到的分类就是在 λ水平上的等价分类.具体聚类原则如下：
设()()ij n n t R r ?=，()(())ij n n t R r λλ?=，则()1ij r λ=，当ij r λ≥；()0ij r λ= ，当ij r λ<.
对于,i j u u U ∈，若()1ij r λ=则在λ水平上将对象i u 和对象j u 归为同一类.
当λ在[0,1]中取不同的值时，相应的分类随之改变，从而得到的模糊分类具有动态性，人们可以根据不同的要求进行分类.因此，模糊聚类分析能使事物之间的内在联系得到反映.
(3)画动态聚类图.
为了能够直观地看到被分类对象之间的相关程度，通常将()t R 中所有互不相同的元素ij r 按从小到大的顺序排列：
121m λλλ=>>> 让λ依次取遍(1,2,,)i i m λ=，得到()i t R λ的一系列分类.将这一系列分类画在
同一个图上，即得到动态聚类图.
2.2模糊传递闭包法的应用
例 设12345U u u u u u =｛，，，，｝表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人按相貌相像程度进行打分得到模糊相似矩阵为：
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ???， 请用模糊传递闭包法对其进行模糊分类.
解 ①求相似关系.
由题可知，模糊相似矩阵为
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ??? 自己与自己的相貌完全相像，所以对角线上的元素都为1；
12210.8r r ==， 表示父子相貌相像程度为80%；
13310.6r r ==，表示父女相貌相像程度为60%；
14410.1r r ==，表示父亲与邻居的相貌相像程度为10%；
15510.2r r ==，表示父亲与母亲相貌相像程度为20%；
23320.8r r ==，表示子与女的相貌相像程度为80%；
24420.2r r ==，表示子与邻居相貌相像程度为20%；
25520.85r r ==，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
34430r r ==，表示女与邻居之间的相貌无相像之处；
35530.9r r ==，表示母女相貌相像程度为90%；
45540.1r r ==，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
由于
210.80.80.20.80.810.850.20.850.80.8510.20.90.20.20.210.20.80.850.90.21R R ?? ? ? ?=? ? ? ???
即R 不具有传递性，所以不是模糊等价矩阵.
②求传递闭包.
由于
4210.80.80.20.80.810.850.20.850.80.8510.20.90.20.20.210.20.80.850.90.21R R ?? ? ? ?== ? ? ???
, 因此2?R
R =，是U 上的模糊等价矩阵，用它对U 进行聚类. ③聚类：
当00.2λ≤≤时，U 分为一类：12345u u u u u ｛，，，，｝；
当0.20.8λ<≤时，U 分为两类：12354u u u u u ｛，，，｝，｛｝；
当0.80.85λ<≤时，U 分为三类：12354u u u u u ｛｝，｛，，｝，｛｝；
当0.850.9λ<≤时，U 分为四类：12354u u u u u ｛｝，｛｝，｛，｝，｛｝；
当0.91λ<≤时，U 分为五类：12354u u u u u ｛｝，｛｝，｛｝，｛｝，｛｝.
④画出聚类图，见下图.
当0.2λ>时，4u （邻居）就不属于他们（一家）一类，这是符合实际情况的. 上述分类对象较少，用模糊传递闭包法分类还可以进行.但是，当被分类的对象很多时，计算模糊相似矩阵R 的传递闭包的工作量将非常大，为了减少工作，可以通过用计算机语言程序来实现，在此就不做介绍.下面我们将介绍另外一种由我国学者总结出来的直接用模糊相似矩阵R 进行聚类的几种方法.
3直接聚类法的基本步骤及其应用
3.1直接聚类法的基本步骤
(1)将模糊相似矩阵R 中的所有不同的元素ij r 按照从大到小的顺序编排，设为
121m λλλ=>>>.
(2)(选取(1,2,,)k k m λλ==，直接在模糊相似矩阵R 上找出k λ水平上的相似类，并进行归类，即可得到k λ水平上的等价分类.
寻找相似类和归并的原则：若ij k r λ≥，则将i u 与j u 分为一类.设12B B ，是k λ水平上的两个分类，若12B B ?≠?，则称它们为相似的（相连的）.将所有相似的类合并成一类，最终得到的分类就是k λ水平上的等价分类.
(3)画动态聚类图.
可以知道直接聚类法是一种简捷的聚类方法，我国学者罗承忠已经证明了直接聚类法与传递闭包法的分类结果是完全一致的.
3.2直接聚类法的应用
例 设12345U u u u u u =｛，，，，｝表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人按相貌相像程度进行打分得到模糊相似矩阵为：
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ???， 请用直接聚类法对U 进行模糊分类.
解 ①求相似关系.
由题可知，相似关系为
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ???. 自己与自己的相貌完全相像，所以对角线上的元素都为1；
12210.8r r ==， 表示父子相貌相像程度为80%；
13310.6r r ==，表示父女相貌相像程度为60%；
14410.1r r ==，表示父亲与邻居的相貌相像程度为10%；
15510.2r r ==，表示父亲与母亲相貌相像程度为20%；
23320.8r r ==，表示子与女的相貌相像程度为80%；
24420.2r r ==，表示子与邻居相貌相像程度为20%；
25520.85r r ==，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
34430r r ==，表示女与邻居之间的相貌无相像之处；
35530.9r r ==，表示母女相貌相像程度为90%；
45540.1r r ==，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
②动态聚类.
将R 中的元素进行排序为：
10.90.850.80.60.20.1>>>>>>，
取1λ=，因为相似程度为1的元素只有自己，所以U 被分为5类：
12345u u u u u ｛｝，｛｝，｛｝，｛｝，｛｝.
取0.9λ=，因为在R 中：35530.9r r ==，所以得到相似类为：
3512345u ,u u u u u u ｛｝，｛｝，｛｝，｛｝,｛｝,｛｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
35124u ,u u u u ｛｝，｛｝，｛｝，｛｝
取0.85λ=，因为在R 中：25520.85r r ==，所以得到相似类为：
2535134u u u ,u u u u ｛,｝,｛｝，｛｝，｛｝,｛｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
23514u u ,u u u ｛,｝，｛｝，｛｝.
取0.8λ=，因为在R 中：12210.8r r ==，所以得到相似类为：
1223514u ,u u u ,u u u ｛｝,｛,｝,｛｝,｛｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
12354u ,u ,u ,u u ｛｝,｛｝.
取0.6λ=，因为在R 中：13310.6r r ==，所以得到相似类为：
13122354u u u ,u u u ,u u ｛,｝,｛｝,｛,｝,｛｝
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
12354u ,u ,u ,u u ｛｝,｛｝.
由此可见，在0.8水平上的等价分类与在0.6水平上的等价分类是完全一样的.事实上，在0.20.8λ<≤水平上的等价分类是完全相同的.
取0.2λ=，因为在R 中：24420.2r r ==，所以得到相似类为：
123524u ,u ,u ,u u ,u ｛｝,｛｝.
将所有相似的类合并成一类，即得等价类：
12345u ,u ,u ,u u ｛,｝.
③画动态聚类图.
4最大树法（最大生成树法）的基本步骤及其应用.
4.1最大树法的基本步骤.
最大树法是由我国学者吴望名[5]给出的，其具体步骤如下：
(1)以所有被分类的对象为顶点；
(2)当0ij r ≠时，将顶点i u 与顶点j u 用一条线连接起来，并在线段上注明相关程度ij r ，具体画法如下：
首先画出顶点集中处的某个顶点i u ，然后按ij r 从大到小的顺序依次用直线将元素连接起来，并在线段上注明相关程度ij r .若在连边时出现回路，便不画这一步，且不出现相交线，直到所有对象连通为止.这样，就得到一棵所谓的最大树（根据选取顶点的不同，最大树可以不唯一）.
(1)适当选取[0,1]λ∈，砍去线段上值小于λ的连线，剩下互相连通的对象归为同一类.这样，就得到在λ水平上的一种等价分类.
(2)画出动态聚类图.
4.2最大树法的应用.
例 设12345U u u u u u =｛，，，，｝表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人按相貌相像程度进行打分得到模糊相似矩阵为：
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ??
?， 请用最大树法对U 进行模糊分类. 解 ①由题知，模糊相似矩阵为：
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ???. 自己与自己的相貌完全相像，所以对角线上的元素都为1；
12210.8r r ==， 表示父子相貌相像程度为80%；
13310.6r r ==，表示父女相貌相像程度为60%；
14410.1r r ==，表示父亲与邻居的相貌相像程度为10%；
15510.2r r ==，表示父亲与母亲相貌相像程度为20%；
23320.8r r ==，表示子与女的相貌相像程度为80%；
24420.2r r ==，表示子与邻居相貌相像程度为20%；
25520.85r r ==，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
34430r r ==，表示女与邻居之间的相貌无相像之处；
35530.9r r ==，表示母女相貌相像程度为90%；
45540.1r r ==，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
②动态聚类.
将R 中的元素进行排序为：
10.90.850.80.60.20.1>>>>>>，
由于0.85、0.8与0.2都与2u 有关，所以选取顶点2u ，依次连接5u ，并注明相
关程度250.85r =；连接顶点1u ，并注明120.8r =；连接顶点4u ，并注明240.2r =；然后由顶点5u 连接3u ，并注明350.9r =（在此要注意连接时要避免出现回路，出现相交线）.这样就得到一棵连通5个顶点的最大树，如图2.3.2-1所示.
图4.2-1 最大树
取1
λ=，切掉线段上值小于1 的连线，得到图2.3.2-2，这时U被分为5类：
12345
u u u u u
｛｝，｛｝，｛｝，｛｝，｛｝.
图4.2-2 1
λ=的切割子树
取0.9
λ=，切掉线段上值小于0.9的连线，得到图2.3.2-3，这时U被分为4类：
35124
u,u u u u
｛｝，｛｝，｛｝，｛｝.
图4.2-3 0.9
λ=的切割子树
取0.85λ=，切掉线段上值小于0.85的连线，得到图2.3.2-4，这时U 被分为3类：
12354u u u ,u u ｛｝，｛,｝，｛｝.
图4.2-4 0.85λ=的切割子树
取0.8λ=，切掉线段上值小于0.8的连线，得到图2.3.2-5，这时U 被分为2类：
12354u ,u ,u ,u u ｛｝,｛｝
图4.2-5 0.8λ=的切割子树
取0.6λ=，切掉线段上值小于0.6的连线，得到图2.3.2-5，这时U 被分为2类：
12354u ,u ,u ,u u ｛｝,｛｝.
取0.2λ=，切掉线段上值小于0.2的连线，得到图2.3.2-6，这时U 被分为1类：
12345u ,u ,u ,u u ｛,｝.
图4.2-6 0.2λ=的切割子树
③画动态聚类图.
5编网法的基本步骤及其应用.
编网法是由我国学者赵汝怀[6]提出的，其特点是在模糊相似矩阵R 的λ截矩阵R λ上直接进行聚类.因此，使用起来更为直观、方便、简单.
5.1编网法的基本步骤
编网法的具体步骤如下：
（1）适当选取[0,1]λ∈，求出λ截矩阵R λ，且去掉R λ的主对角线右上半部分的所有元素；
（2）将主对角线上的“1”对应地用其对象i u 的标号i 来代替；
（3）将主对角线左下方的“0”去掉，而用“*”替代“1”，称*所在的位置为结点；
（4）用竖直线与横直线将结点与对角线上的序号连接，即编网.通过这样打结而连接的对象归为一类，从而实现了等价分类；
（5）画动态聚类图.
5.2编网法的应用
例 设12345U u u u u u =｛，，，，｝表示由父、子、女、邻居、母五人组成的集合，
请陌生人对这五个人用编网法按相貌相像程度进行模糊分类.
解 ①首先，求相似关系.
对五个人中任意两个人按相貌相像程度打分，用[0,1]上的数表示.于是可得到模糊相似矩阵
10.80.6
0.10.20.8
10.80.20.850.60.8100.90.1
0.2010.10.20.850.90.11R ?? ? ? ?= ? ? ??? 自己与自己的相貌完全相像，所以对角线上的元素都为1；
12210.8r r ==， 表示父子相貌相像程度为80%；
13310.6r r ==，表示父女相貌相像程度为60%；
14410.1r r ==，表示父亲与邻居的相貌相像程度为10%；
15510.2r r ==，表示父亲与母亲相貌相像程度为20%；
23320.8r r ==，表示子与女的相貌相像程度为80%；
24420.2r r ==，表示子与邻居相貌相像程度为20%；
25520.85r r ==，表示子与母之间相貌相像程度为85%；
34430r r ==，表示女与邻居之间的相貌无相像之处；
35530.9r r ==，表示母女相貌相像程度为90%；
45540.1r r ==，表示邻居与母亲之间相貌相像程度为10%.
②动态聚类.
将R 中的元素进行排序为：
10.90.850.80.60.20.1>>>>>>
取1λ=，得
11110
1020010030
00100040000100005R R ???? ? ? ? ? ? ?=?= ? ? ? ? ? ?????
由于每个对象没有连接，所以U 被分为5类：
12345u u u u u ｛｝，｛｝，｛｝，｛｝，｛｝.
取0.9λ=，得
0.90.91101200130
001|400101*5R R ???? ? ? ? ? ? ?=?= ? ? ? ? ? ?-????
由于只有3u 和5u 相连接，所以U 可分为4类：
12354u u u u u ｛｝，｛｝，｛，｝，｛｝.
取0.85λ=，得
0.850.8511012001|30
001||401101**5R R ???? ? ? ? ? ? ?=?= ? ? ? ? ? ?--????
由于只有2u ，3u 和5u 相连接，所以U 被分为3类：
12354u u u u u ｛｝，｛，，｝，｛｝ .
取 0.8λ=，得
0.8
0.811|1
1*2011||0
001|*301101||4|**5R R ?? ??? ? ? ? ? ? ?=?= ? ? ?-- ? ? ? ??? ?---?? 由于1235u u u u ，，，相连接，所以U 被分为2类：
12354{u u u u u ，，，｝，｛｝.
取0.6λ=，得
0.60.611|1
1*2111||0001**301101|||4**5R R ?
?
?
??
?
? ?
? ? ?=?= ? ?
?
--
? ?
? ?
?? ?---??
由于1235u u u u ，，，相连接，所以U 被分为2类：
12354u u u u u ｛，，，｝，｛｝.
取0.2λ=，得
0.20.21
|
1*2
1
1||
111*|3
0101|*|4
11101|||
***5R R ?? ? ???
?- ? ? ? ? ?=?=
?-- ? ? ?-- ? ??? ? ? ?-----
?? 由于12345u u u u u ，，，，五个对象全部被连接，所以U 被分为1类：
12345u u u u u ｛，，，，｝.
③动态聚类图见下图
.
从上述内容我们很明显可以看出，由传递闭包法、直接法、最大树法、编网法四种方法对某一对象进行分类时，分类结果是完全一样的.但是我们可以看出，在具体分类过程中难易程度是不一样的.所以我们在用以上各种方法分类时，需要注意：(1)要选择合适的算子来计算相关程度，一般来说，算子不同，相关程
进度也不同，因此，得到的模糊分类结果也就不同；(2)选取最佳的置信水平
i
行等价分类.具体评价方法参见参考文献[2][7].
对于另外两类模糊聚类方法读者若有兴趣可参见参考文献[8][9]自己进行探究总结，在此就不做详细介绍了.
6总结
本文通过对在分类数不确定的情况下对对象分类的几种方法的简单介绍，进行了简单的探讨.其实际情况中，分类方法不仅限于上述几种，还有很多别的方法.限于个人水品，文中只谈到几种，有不足之处，恳请批评指正.
参考文献
[1]罗承忠.模糊集引论[M].北京：北京师范大学出版社，2005.
[2]陈水利，李敬功，王向公. 模糊集理论及其应用[M] .北京：科学出版社，2009.
[3]韩立岩，汪培庄. 应用模糊数学（修订版）[M]. 北京：首都经济贸易大学出版社，1998.
[4]杨纶标，高英仪. 模糊数学原理及应用（第三版） [M] .广州：华南理工大学出版社，2003.
[5]谢季坚等.模糊数学方法及其应用（第二版）[M] .武汉：华中科技大学出版社，2000.
[6]赵汝怀.弗晰聚类的编网法 [J].西安：西安交通大学学报，1980(4):43~47.
[7]陈贻源.模糊数学 [M]. 武昌：华中工学院出版社，1984.
[8]高新波.模糊聚类分析及其应用 [M] .西安：西安电子科技大学出版社.
[9]Wang G J.On the Logic Foundation of Fuzzy https://www.sodocs.net/doc/d014342675.html,rmation Sciences[J].1997，117(1): 47~88.
谢辞
首先，我谨向我的导师惠小静老师致以衷心的谢意.在惠老师的悉心指导，我才能顺利地完成本科生毕业论文工作.本文的选题和研究工作倾注了惠老师的大量心血和谆谆教诲.在学术上，惠老师具有高瞻远瞩的目光，又具有坚实广博的知识.在工作上，惠老师既具旺盛持久的工作热情，又具严谨认真的治学态度.在我写论文期间，无论学习科研，工作态度，以及为人处事，都受益匪浅并将影响我终身.
感谢与我同期毕业的同学们.在我的论文准备和写作期间，他们给予我巨大的帮助和指导.
最后，我要感谢评审本论文的老师、教授和专家，感谢他们抽出宝贵的时间来阅读本文，并提出宝贵的意见和建议.
感谢所有关心和帮助过我的人.
(全文共7958个字)
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识 1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。 普通集合A，对，有或。 如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为）称为集合的隶属函数。即对于每一个元素，有[0,1]内的一个数与之对应。 （1）模糊子集的定义：射给定论域U，U到[0，1]上的任一映射： 都确定了U上的一个模糊集合，简称为模糊子集。称为元素属于模糊集的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。 例如：设论域U=[0，100]，U上的老年人这个集合就是模糊集合： 若在集合U上定义了一个隶属函数，则称为模糊集。 （2）模糊集合的表示：，称为元素属于模糊集的隶 属度；则模糊集可以表示为：。 或，， （3）模糊集合的运算： ，， 并集： ， 交集： ， 补集：， 包含：， 2．模糊集的截集
已知U上模糊子集 对，则称为模糊集的-截集； 称为模糊集的-强截集；称为、的置信水平或阀值。 二．模糊数学的基本定理 1．模糊截积： 已知U上模糊子集 对，也是U上模糊集，其隶属函数为： ； 称为为与的模糊截积。 2．分解定理1：已知模糊子集，则 推论1：对 3．分解定理2：已知模糊子集，则 推论2：对 三．模糊关系与模糊聚类 1．模糊关系与模糊关系的合成 （1）模糊关系 普通集合的经典关系， 模糊关系：从U到V 上的一个模糊关系：，表示具有的关系程度，。（满足01）称为U 到V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。 （2）．设＝和=为两个模糊矩阵，令
＝，＝1，2，…,,=1,2,…,。 则称矩阵=为模糊矩阵与的褶积，记为 ＝, 其中“”和“”的含义为 显然，两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵 2. 模糊等价矩阵及其矩阵 设方阵为以模糊矩阵，若满足 = 则称为模糊等价矩阵。 模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。 设＝为一个模糊等价阵，01为一个给定的数，令 则称矩阵为的截阵 例如， ＝ 为一个模糊等价阵，取0.4<,则 = 若取，则 =
模糊数学试题07
东北大学考试试卷（A B 卷） 2007 — 2008学年 第2学期 课程名称：模糊数学 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 2分 共计10分） 1. 设论域12345{,,,,}U u u u u u =，F 模糊集(0.5,0.1,0,1,0.8)A =，(0.1,0.4,0.9,0.7,0.2)B =，(0.8,0.2,1,0.4,0.3)C =。则_________A B ?=___________A B ?= ()____________A B C ??=_________c A = 2. 设论 域{,,,,}U a b c d e =， 有{}0.70.8{,}0.50.7{,,}0.30.5{,,,}0.10.3{,,,,}00.1d c d A c d e b c d e a b c d e λλλλλλ<≤??<≤?? =<≤??<≤? ≤≤?? F 集A ＝_________________ 二、 计算题（共5小题，每题12分） 1. 设[0,10]U =为论域，对[0,1]λ∈，若F 集A 的λ截集分别为 [0,10]0[3,10]00.6[5,10]0.61[5,10] 1A λλλλλλ=??<≤?=?<
浅谈模糊数学在浦南金山区河流水质评价中的应用
浅谈模糊数学在浦南金山区河流水质评价中的应用摘要:随着浦南金山地区的水资源评价与保护的重要性日渐突出，对金山区河流水质评价要求也随之提高,以往的一般统计方法难以满足要求。针对浦南金山区水资源状况与河流的特点，选择模糊数学综合评判法对金山区河流面杖港近期水质进行评价，说明模糊数学评价法在金山区河流水质评价中的适用性。 关键词:模糊数学；综合评判；水资源状况；评价因子；隶属函数；金山地区；面杖港 abstract: with the punan kingsoft region water resources assessment of the importance of protecting and becomes more and more serious, and to jinshan river water quality assessment requirements increases, the former general statistical methods are hard to meet the requirements. according to punan jinshan river water resources situation and features and choose a fuzzy mathematic comprehensive evaluation method of jinshan river port of rod surface water recent evaluation, shows that fuzzy mathematical evaluation method in jinshan river water quality assessment of applicability. keywords: fuzzy mathematics; comprehensive evaluation; water resources situation; evaluation factors; membership functions; kingsoft region; rod surface port
模糊数学考试试题
精品文档 . 华北电力大学模糊数学考试试题 科目名称：模糊数学 开课学期：2011—2012学年第二学期 ■闭卷 班级： 学号： 姓名： 一、填空 1、传统数学的基础是 。 2、模糊模式识别主要是指用 表示标准模式，进而进行识别的理论和方法。 3、 处理现实对象的数学模型可分为三大类： ， ， 。 4、设论域{}54321,,,,u u u u u U =，F 集5 3215 .017.02.0u u u u A +++= ，F 集5 4217 .01.03.05.0u u u u B +++= ,则=B A ,=B A , =C A 。 5、设论域[]1,0=U , ,)(u u A =则 =)(C A A , =)(C A A 。 6、设U 为无限论域,F 集?-=U x x e A 2 ,则截集 e A 1= ,=1A 。 7 、设论域 {} 54321,,,,u u u u u U =, F 集 5432115.07.01.03.0u u u u u A ++++= ，F 集5 4319 .04.08.03.0u u u u B +++=,则=B A ,=ΘB A ,格贴近度 =),(B A N 。 8、设 2 1,R R 都是 实数域上的F 关系 , 2 )(1),(y x e y x R --=, ) (2),(y x e y x R --=, 则 =)1,3()(21C R R ,=)1,3)((21C C R R 。 9、设论域{}321,,u u u U =,{}4321,,,v v v v V =,)(V U F R ?∈,且 ?? ?? ? ??=6.005.04.02.03.0101.007.02.0R ,3 217 .03.01.0u u u B ++= 则 =3 v R ,=)(B T R 。 10、设变量z y x ,,满足? ?? -≤≥111a z a x 且或 ?? ? ? ? ≥-≤≥≥11111a z a z a y a x 或且且时,为使1),,(a z y x f ≥,此时函数),,(z y x f 的表达式为 。 二、证明 证明：R 是传递的F 关系的充要条件是2 R R ?。 三、叙述题 1、比较模糊集合与普通集合的异同。 2、叙述动态聚类分析的解题步骤。 四、解答题 1、 ) (),(0 7.03.08 .06.05.04.02.0)()()()()(} {},{1 3 215432121 321,3,2,1,5,4,3,2,1B f A f y y y B x x x x x A y x f x f y x f x f x f Y X f y y y Y x x x x x X -++= ++++= =====→==求 ：５４ 题号 一 二 三 四 总分 得分
[模糊数学,理论,方法]浅谈模糊数学理论下的采矿方法选择
浅谈模糊数学理论下的采矿方法选择 摘要：矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是生产力构成的主要因素之一。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素。随着近代数学及计算机技术的发展，运用模糊数学理论来优选采矿方法，具有一定的科学性和现实意义。 关键词：模糊数学;采矿方法;选择 矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是国家经济起飞的首要条件及经济实力的重要标志，是生产力构成的主要因素之一。采矿方法的选择对安全生产、提高矿石产量、降低矿石损失率和贫化率、提高劳动生产率和降低成本等具有重要影响，关系到矿山的效益甚至矿山的生存和发展。采矿方法的选择又是一项复杂的系统工程，矿床地质条件和矿体赋存条件与采矿方法之间是一个复杂的非线性关系。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素，基于此本文提出了用模糊数学理论来优选采矿方法。选出的采矿方法在一定程度上能够克服主观性和随意性，具有良好的科学性，并能为矿山企业选择采矿方法提供可靠的理论依据。 1传统的采矿方法选择技术 传统的采矿方法选择主要分为三步，首先根据矿床地质特征和采矿技术条件初选可行方案，然后进行技术积极分析，若比较的方案之间差异不明显，需要进行细致的综合分析选出最优的采矿方法。该方法依靠人的经验，主观随意性较大，结果比较主观、片面，缺乏科学性。因此，需要综合采矿领域多位专家的经验，并运用科学理论将经验决策上升到科学化的决策水平，实现采矿方法的优化选择。 2现代采矿方法 2.1基于数学及计算机技术的采矿方法 近代数学及计算机技术的发展是发展当代科学技术的理论基础，采矿方法的选择只有运用了近代数学及计算机技术才能上升到科学的高度。近年来，很多专家学者对此进行了深入研究并提出了运用模糊数学选择采矿方法，运用灰色关联分析选择采矿方法，运用灰色局势决策选择采矿方法，运用多目标决策选择采矿方法，运用价值工程选择采矿方法以及运用人工智能选择采矿方法等。 灰色理论选择采矿方法包括灰色关联分析和灰色局势决策，该方法可以克服采矿知识的不完全性和非确知性，但是没考虑到方案中各目标、各因素的相对重要程度，不符合实际情况;多目标决策选择采矿方法各目标权重的确定具有一定的人为因素。权重确定的正确与否直接决定着决策结果是否合理。因而，此法得出的结果可能会与实际情况不符;运用价值工程，主要考虑的是经济技术指标，选择的采矿方法不能很好的适应矿床地质开采技条件。人工智能主要采用专家系统，但是专家系统仍存在着知识获取的瓶颈，知识窄台阶，推理能力弱，智能水平低，系统次少，适用性差等问题。
模糊数学方法在财务报表分析中的应用
财务分析是企图了解一个企业经营业绩和财务状况的真实面目，从晦涩的会计程序中将会计数据背后的经济涵义挖掘出来，为投资者和债权人提供决策基础。由于会计系统只是有选择地反映经济活动，而且它对一项经济活动的确认会有一段时间的滞后，再加上会计准则自身的不完善性，以及管理者有选择会计方法的自由，使得财务报告不可避免地会有许多不恰当的地方。虽然审计可以在一定程度上改善这一状况，但审计师并不能绝对保证财务报表的真实性和恰当性，他们的工作只是为报表的使用者作出正确的决策提供一个合理的基础，所以即使是经过审计，并获得无保留意见审计报告的财务报表，也不能完全避免这种不恰当性。这使得财务分析变得尤为重要。 一、财务分析的主要方法 一般来说，财务分析的方法主要有以下四种： 1.比较分析：是为了说明财务信息之间的数量关系与数量差异，为进一步的分析指明方向。这种比较可以是将实际与计划相比，可以是本期与上期相比，也可以是与同行业的其他企业相比； 2.趋势分析：是为了揭示财务状况和经营成果的变化及其原因、性质，帮助预测未来。用于进行趋势分析的数据既可以是绝对值，也可以是比率或百分比数据； 3.因素分析：是为了分析几个相关因素对某一财务指标的影响程度，一般要借助于差异分析的方法；
4.比率分析：是通过对财务比率的分析，了解企业的财务状况和经营成果，往往要借助于比较分析和趋势分析方法。 上述各方法有一定程度的重合。在实际工作当中，比率分析方法应用最广。二、财务比率分析 财务比率最主要的好处就是可以消除规模的影响，用来比较不同企业的收益与风险，从而帮助投资者和债权人作出理智的决策。它可以评价某项投资在各年之间收益的变化，也可以在某一时点比较某一行业的不同企业。由于不同的决策者信息需求不同，所以使用的分析技术也不同。 1.财务比率的分类 一般来说，用三个方面的比率来衡量风险和收益的关系： 1)偿债能力：反映企业偿还到期债务的能力； 2)营运能力：反映企业利用资金的效率； 3)盈利能力：反映企业获取利润的能力。 上述这三个方面是相互关联的。例如，盈利能力会影响短期和长期的流动性，而资产运营的效率又会影响盈利能力。因此，财务分析需要综合应用上述比率。 2.主要财务比率的计算与理解：
模糊数学试题(B)
南京工业大学 模糊数学与控制 试题（B ）卷（闭） 2009－20010学年 第一学期 使用班级 信科0701 班级 学号 姓名 一 填空题(共36分) 1 处理现实对象的数学模型可分为三大类： ， ， 。 2 设论域{}54321,,,,u u u u u U =，F 集5 3215 .017.03.0u u u u A + ++= ，F 集5 4217 .02.03.05.0u u u u B + ++= ,则=B A ,=B A , =C A 。 3 设论域[]2,0=U , ,)(u u A =则=)(C A A , =)(C A A 。 4 设U 为无限论域,F 集?-=U x x e A 2 ,则截集e A 1= ,=1A 。 5设论域{}54321,,,,u u u u u U =,F 集5 43211 5.07.0 6.03.0u u u u u A + +++= ，F 集5 4317 .04.08.01.0u u u u B +++= ,则=B A ,=ΘB A ,格贴近度=),(B A N 。 6 设21,R R 都是实数域上的F 关系,2 )(1),(y x e y x R --=,) (2),(y x e y x R --=,则 =)2,3()(21C R R ,=)2,3)((21C C R R 。 7 设 论 域 {} 321,,u u u U =, {}4321,,,v v v v V =, ) (V U F R ?∈,且
???? ? ??=6.07.05.04.02.03.0101.04.07.02.0R ,3 217.03.01.0u u u B + +=则=3 v R ,=)(B T R 。 8 设变量z y x ,,满足 ?? ? -≤≥1 11a z a x 且或?? ? ?? ≥-≤≥≥11111a z a z a y a x 或且且时,为使 1),,(a z y x f ≥,此时函数),,(z y x f 的表达式为 。 二（12分） 设[]5,0=U ，对[]1,0∈λ，若F 集A 的λ截集分别为[][]??? ? ? ???? ≤<≤<==132]5,3(3205,305,0λλλλλA 求出：（1）隶属函数)(x A ；（2）SuppA ;(3)KerA 。
模糊数学学习心得
《模糊数学》学习心得 姓名：李书纲 学号：200805050303 专业：信息与计算科学 老师；黄晓昆 地点：文鼎楼502
《模糊数学》学习心得 在大四的上学期，我们数学学院给我们开了黄晓昆老师的《模糊数学》这门课，这是继《近世代数基础》后黄老师给我们上的第二门比较抽象的课程。“模糊数学”这个词一听上去就很抽象，翻开课本是感觉更“模糊”。但在学习了半个学期后，对这门课程有了一定的了解，并学到了一部分知识，也积累了一点自己的学习心得体会。 先说说什么是“模糊数学”。模糊数学是相对于精确数学而言的，在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，为了研究这些与模糊概念相关的东西，“模糊数学”就产生了。 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有：第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复
学生素质评价模糊数学模型的构建与应用
学生素质评价模糊数学模型的构建与应用 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分，下 面是搜集的一篇探究构建学生素质评价模型基本原则的论文范文，欢迎阅读查看。 对高职高专学生进行素质评价，目的在于使学生的评价内容走 向多元化，实现过程发展性和终结性评价的有机结合。因此，需要一种行之有效的评价工具，促使学生发挥个性、潜能以及创造性，从而使其具备持续发展的自信和能力。 一、模糊数学与数学模型 模糊数学是处理和研究模糊性现象的方法和理论。由于模糊性 概念发展了模糊集的具体描述方式，人们可运用概念进行评价、推理、控制、判断和决策，也可通过模糊数学进行描述。比如，模糊综合评判、模糊控制、模糊聚类分析、模糊决策等，这一系列方法最终构成一种模糊性理论，在气象、石油、环境、农业、化工、控制、教育、医学、地质、经济管理、语言等诸多领域已取得研究成果。 数学模型是实际问题与数学理论相结合发展起来的一门新学科。它将实际问题归为数学问题，并利用数学方法、概念和理论，进行深入研究，从定量或定性角度对实际问题进行分析，同时为解决实际问题提供可靠指导和精确数据。可见，数学模型是利用数学方法和语言解决现实问题的过程，是培养学生创造力的有效途径。 二、综合素质评价
“综合素质评价”指在每个学期期末或每个学年期末，全国各地的学校组织的一次对全体在校学生综合素质和能力评价的测评任务。综合素质评价一般分为六个维度(不同的地区或学校结构略有差异)，分别是“道德品质”“公民素养”“学习能力”“交流合作与实践创新”“运动与健康”“审美”“表现能力”.六个维度又分别被分为若干个项目。等级分别为A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(较差)。或者是百分制，100-80(优秀)、79-60(良好)、59-30(一般)、29-0(较差)。 对学生进行综合素质评价是新时期高职高专教学评价的主要内容，因而需要制定一种有效的素质评价模型。基于模糊数学的高职高专学生素质评价模型具有标准的数据支撑，说服力较强，适宜运用于学生综合素质评价。 三、构建学生素质评价模型的基本原则 (一)一个目标 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分。实现现代化建设与高职高专学生的能力和素质有直接关系。从我国的发展要求以及发达国家的发展经验看，无论是发展和解放生产力、建设小康社会，还是创建和谐社会、加快城市化建设，高等职业所培养的应用型人才不可或缺。因此，职业技术教育应坚持以就业为导向，以服务为宗旨，以培养学生综合素质、职业道德以及动手能力为重点，突出实用性。 (二)三个维度
模糊数学试题
华南理工大学研究生课程考试 《 模糊数学 》样卷 注意事项：1. 所有答案请按要求填写在答题纸上； 2. 课程代码：（S0003006） 3．考试形式：闭卷（ √ ） 开卷（ ） 开闭卷结合（ ） 4. 考试类别：博士研究生（√ ） 硕士研究生（√ ） 5． 试卷共 十二大题，满分100分，考试时间150分钟。 一、填空题 1.设论域U={u 1,u 2,u 3,u 4,u 5}，F 集A=(0.5,0.1,0,1,0.8), B=(0.1，0.4，0.9，0.7，0.2)，则(A ?B)C =_______________。 2.设论域R=[0,3],且 01112 (), ()213323 x x x x A x B x x x x x ≤≤-≤≤??==?? -<≤-<≤?? 则它们的黎曼贴近度N(A,B)=_______________________。 3. 0.410.70.510.62,323=_______123234 = ++=++?设，则。 4. 设A =[3，9]， B =[7，10]，则A +B = ，A ?B = 。 5.设论域U={1,2,…,10}，且 0.20.40.60.811110.80.60.40.2 [],[]4567891012345 = ++++++=++++ 大小 则[不大也不小]=_____________________________。 二、判断题（请在每小题的括号内认为正确的打“√”错误的打“?”） 1. λ≤μ ? A λ ?A μ ( ) 2 (A λ)c =(A c )λ （ ） 3 若A ? B ? C , 则N (A ,C ) ≤ N (A ,B )∨N (B ,C ) ( ) 4 若R 1?S 1， R 2?S 2，则 R 1∪R 2 ? S 1∪S 2 ( ) 5 R∪R c = E ( )
基于模糊数学的旅游目的地综合评价
统计与决策２０11年第15期（总第339期 ） 人们在日常生活中常常碰到许多需要比较、判断的问题：在北京、海南和杭州三处选择一个旅游点，要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用；在旅游期间对酒店的选择，要考虑酒店的价格、顾客满意度、安全度、服务和环境质量；在选择旅游方式上，是选择自助旅游，团队旅游还是单项委托旅游，这取决于旅客的经济能力、性格爱好、健康状况和游客对旅游目的地的了解程度等等。人们在处理这些问题的时候，要考虑的因素会涉及到经济、社会、人文等各方面，但一个共同的特点是它们都需要作比较、判断、评价或决策，人的主观选择会起相当主要的作用，若需要更准确的决策，就需要借助数学方法，而影响判断的这些因素的重要性、影响力或优先程度难以量化，这就给用一般的数学方法解决问题带来实际上的困难。这时可以采用模糊评价的方法。红色旅游资源是指以革命纪念地、纪念物，以及所承载的革命精神为内涵，以现代旅游为基本形式，组织接待旅游者参观游览、学习革命历史知识、接受革命传统教育以振奋精神、放松身心、增加阅历的旅游活动资源，是红色革命精神与现代旅游经济的结晶。江西是一个红色旅游资源大省，资源丰富且数量多、分布广、类型全、品位高，被称为“红色摇篮”。这里有毛泽东所领导建立的第一个革命根据地“中国红色革命摇篮”——井冈山，举世闻名的的八一起义英雄城——南昌，中国工农红军万里长征的始发地、中华苏维埃共和国诞生地“红色故都”——瑞金等众多中国革命之最。在此运用定量分析的方法对这三个红色旅游革命圣地进行品质综合评价。1 模型的建立与求解 1.1符号说明 I 1：交通便利评价指标I 2：环境与服务质量评价指标I 3：红色旅游资源知名度评价指标W 1：交通便利评价指标的权重 W 2：红色旅游资源知名度评价指标的权重W 3：环境与服务质量评价指标的权重 1.2景点品质综合评价模型 对于交通便利（I 1）和环境与服务质量(I 2)这两个指标用模糊集{很好，好，较好，一般，较差}表示，对于红色旅游资源知名度（I 3）这个指标用访问量表示。 交通便利：我们以市区和目的地之间的距离为标准，运用谷歌地图搜索出它们之间的距离。根据乘客的旅游心理，当然是花费在车上的时间越少越好。作为中部省会城市，南昌的地理位置非常优越，它地处长江中下游，鄱阳湖西南岸，承东启西，纵贯南北。井冈山地区处在江西省与湖南省的交界地带，不但拥有自己的飞机场，而且还临近京九铁路，交通非常的便利。而瑞金位于江西省南部与福建接壤的两省交界处，交通不是很畅通。 环境与服务质量：游客满意程度是旅游景区服务质量高低的最有说服力的体现，它主要表现在游客在游览过程中享受到的人力、实物服务的使用价值，所得物质和心理的感受与评价。景区的软硬件等各方面的质量最终都通过游客满意度表现出来。因此本人在景区发放了200份问卷调查，收到了197份有效问卷，最终得出了结论。 基于模糊数学的旅游目的地综合评价 樊国敬 （赣南师范学院，江西赣州341000） 摘 要：模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广泛的一种方法。在对某一事物进行评 价时常会遇到这样一类问题，由于评价事物是由多方面的因素所决定的，因而要对每一因素进行评价；在每一因素作出一个单独评语的基础上，如何考虑所有因素而作出一个综合评语，这就是一个综合评价问题。以南昌，井冈山和瑞金为例，利用模糊综合评价，通过对交通条件，红色旅游资源知名度和环境与服务质量的分析，从而对江西三大红色旅游胜地进行品质综合评价。 关键词：模糊数学；综合评价；隶属函数；权重系数中图分类号：F592.7 文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2011）15-0186-03 基金项目:江西省人文社科共建资助项目（07YJ221） 作者简介：樊国敬（1972－），男，安徽临泉人，博士研究生，副教授，研究方向：旅游经济。旅游目的地 南昌井冈山瑞金 交通便利很好很好一般 红色旅游资源知名度 300125372300187504 环境与服务质量 好很好较好 表1 南昌、井冈山和瑞金的情况一览表*数据来源：南昌旅游管理局，井冈山旅游管理局，瑞金旅游管理局。 186
基于模糊数学的网络安全风险评估
基于模糊数学的网络安全风险评估 1.摘要 针对计算机网络频繁遭受到攻击的情况，在分析网络安全的基础上，本论文将模糊数学的方法运用于网络安全风险评估中, 综述了计算机网络安全以及网络信息安全评估标准和评价现状，探索了用模糊数学综合评价方法进行网络安全风险评估的应用途径。 2.引言 随着信息化进程的深入和互联网应用的快速发展，人们的工作、学习和生活方式正发生着巨大变化，效率也大大提高，信息资源和系统资源得到了最大程度的共享。网络技术的不断发展，不仅仅为人们的生活带来了惊喜，同时也带来了威胁。 网络安全正逐渐成为一个国际化的问题，计算机犯罪、黑客和病毒程序等严重威胁着网络安全，每年全球因计算机网络的安全系统被破坏而造成的经济损失达数千亿美元，因此网络的安全性也就变的特别重要，风险评估是安全建设的出发点，尽可能的把对系统未来一段时间内可能遭受的可疑攻击行为进行预测和防范，从而为安全管理人员制定系统安全策略提供参考。 网络安全风险评估的目的是服务于网络的发展，促进网络安全保障体系的建设，提高网络的安全保护能力。同时，加强网络安全风险的评估是我国当前信息安全工作的客观需要和紧迫需求，为加强宏观网络安全管理，促进网络安全保障体系建设，就必须加强安全评估工作，并逐步通过法规，标准手段加以保障，并逐步使网络安全评估工作朝向制度化的方向发展。 3.模糊数学基础 3.1 模糊数学发展状况 与其他学科一样，模糊数学也是因实践的需要而产生的，在日常生活和科学技术中，模糊概念处处存在。现代数学是建立在集合论的基础上，集合可以表现概念，而集合中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。 在较长的时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，是以精确性为主要特征的，获得显著效果。但是在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。模糊数学是以不确定性的事物为研究对象的，应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、计算机应用等各个方面，模糊数学的理论研究领域相当广泛。 3.2 模糊数学方法 模糊数学集合不同于经典集合，它是没有精确边界的集合，可以灵活地对普遍采用的语言变量进行建模。模糊集合表示的是元素属于集合的程度。因此，模糊集合特征函数的取值范围在0和1之间，以便表示元素属于一个给定集合的程度。 模糊数学方法主要包括模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策，模糊线性规划，模糊控制等几个方面。它主要是描述某一事件的发生与否具有一定的不确定性和某一对象是否符合某一概念的不确定性。 4.风险评估 所谓风险评估，就是判断信息技术基础设施的安全状况能力，确定计算机系统和网络中每一种资源缺失或遭到破坏对整个系统造成的预计损失数量，是对威胁、脆弱点以及由此带来的风险大小的评估。评估标准在信息系统风险评估过程中的指导作用不容忽视，而在评估过程中使用何种方法对评估的有效性同样占有举足轻重的地位。本文采用模糊数学中的综合评判法对网络安全的风险进行研究与分析，能较好的解决评估的模糊性，也在一定程度上解决了从定性到定量的难题,但是由于风险要素的确定和评估本身带有主观性，因此风险评估中出现误差也是难免的。
最新北京理工大学数学专业模糊数学期末试题(MTH17077)
课程编号：MTH17077 北京理工大学2013-2014学年第二学期 2011级模糊数学期末试题（本卷推断为2011级试题） 一、（15分）设论域为实数集，(),A B F ∈， ()(),011,122,12,3,230,0,x x x x A x x x B x x x ≤≤-≤≤????=-≤≤=-≤≤?????? 其它其它， （1）写出0.60.7,A A ?；（2）求,c A B A 的隶属函数； （3）求A 与B 的内积，外积，格贴近度。 二、（10分）设H 是实数集R 上的集合套，已知( )(),0,1H λλ?=∈?，令()[]0,1A H λλλ∈= 。 （1）求ker ,A SuppA ；（2）求A 的隶属函数()A x 。 三、（10分）设余三角范式S 的表达式为(),S a b a b ab =+-，求与S 对偶的三角范式T 的表达式(),T a b 。 四、（15分）已知{}123456,,,,,X x x x x x x =，R 是X 上的模糊关系。 110.70.40.60.60.610.60.40.6 0.60.70.710.40.60.60.60.60.610.6 0.60.610.60.410.60.60.70.60.40.61R ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? ， （1）判断R 是否是模糊拟序矩阵，说明理由； （2）依据R 对X 进行分类（要求写出对应各阈值λ的分类以及类间偏序关系）。 五、（10分）设{}{}1231234,,,,,,X x x x Y y y y y ==，R 是X 到Y 的模糊关系， 0.70.510.90.20.40.60.810.20.60R ?? ?= ? ??? 。 （1）求R 在X 中的投影X R ，R 在3x 处的截影3 x R ； （2）设R T 为R 诱导的模糊变换，{}23,A x x =，求()R T A 。
数模模糊数学作业题目答案
1、（模糊聚类）已知我国31个省农业生产条件的5大指标数据。 五大指标的数据 （1）作聚类图。并告知分5类时，每一类包含的省份名称（列表显示）。 （2）若分为3类，问相似水平（就是阈值）不能低于多少 解：新建,将全部数据存入该,打开MATLAB,在命令窗口输入： >>datastruct=importdata('') 检查一下数据是否导入正确： >> %这里是31*5的数值矩阵 >>datastruct.textdata%这里是31*1的省名称文本矩阵 >>fuzzy_jlfx(3,5, %调用网站所给的模糊数学聚类程序包
9 311.000.83 0.67170.93 1 150.91 2130.91 3290.91 4260.90 5110.89 6190.89 7100.89860.88 9310.88 10160.88 11120.87 12210.8713180.87 14230.85 15220.85 16200.8517140.84 18300.83 19270.83 2070.83 21280.82 22250.82 23240.81 2480.80 2550.79 2640.79 2730.76 2820.74 2910.67 30 根据编号代表意义，可知分5类时的省份编号为： 第一类：9、上海 第二类：1、北京 2、天津 第三类：3、河北 第四类：4、山西 第五类：其余省市自治区都属于第五类 （2）若分成3类，由聚类图可知阈值应在（,）内。 2、（模糊评价）对某水源地进行综合评价，取U 为各污染物单项指标的集合，取V 为水体分级的集合。可取U(矿化度，总硬度，NO3-，NO2-，SO42-)，V （I 级水，Ⅱ级水，Ⅲ级水，Ⅳ级水，V 级水）。现得到该水源地的每个指标实 I 级水 Ⅱ级水 Ⅲ级水 Ⅳ级水 V 级水 矿化度 0 0 0 总硬度 0 0 0 硝酸盐 0 0 0 亚硝酸盐 0 0 0 硫酸盐 几级水 解：在matlab 命令窗口内输入数据： >> V=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; >> A=[,,,,]; >> fuzzy_zhpj(2,A,V) % 调用网站所给的模糊综合评判程序包 ans =
模糊数学论文06251(荟萃知识)
基于模糊数学的网络安全风险评估 模型 学院电信学院 专业计算机软件与理论 学号 姓名 日期2010年12月10日
基于模糊数学的网络安全风险评估模型 兰州交通大学电子与信息工程学院，兰州（730070） 摘要：针对计算机网络频繁遭受到攻击的情况，在分析网络安全的基础上，本论文将模糊数学的方法运用于网络安全风险评估中,综述了计算机网络安全以及网络信息安全评估标准和评价现状，探索了用模糊数学综合评价方法进行网络安全风险评估的应用途径。初步的实验结果表明，应用模糊数学分析网络的安全风险评估中，可以得到一种较为实际和准确的描述。 关键词:网络安全模糊综合评价风险评估模糊数学 Abstract：There are frequent attacks on computer network now. This paper proposes a new network security risk analysis method in which fuzzy mathematics is applied ,Overview of the computer network security, and network information security evaluation criteria and the evaluation of the current situation, explore a comprehensive evaluation method using fuzzy mathematics for network security risk assessment of the application. The preliminary experiment shows that this method can attain a more accurate description in analyzing network security status. Keywords: Network Security , Fuzzy Comprehensive Assessment ,Risk Assessment, Fuzzy Mathematics
模糊数学结课论文
模糊数学结课报告
本学期选修了模糊数学这门课，旨在对自己以后在数学的学习上有所帮助，同时也拓宽自己的知识面和训练自己的逻辑思维。通过老师的讲授再加上自己查阅一些关于模糊数学的资料书，有了自己对模糊数学这门学科的一些理解，下面进行简单阐述。 摘要：模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。在1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。现代数学建立在集合论的基础上。对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的，乘积空间中的模糊子集就给出了一对元素间的模糊关系。对模糊现象的数学处理就是在这个基础上展开的。 模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。模糊性数学最重要的应用领域应是
计算机智能。它已经被用于专家系统和知识工程等方面，在各个领域中发挥看非常重要的作用，并已获得巨大的经济效益。 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊识别。 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对分类对象进行定量分类的方法。 主要内容：数据标准化建立、模糊相似矩阵。 一、数据标准化 1.原始数据 设论域U 是n 个被分类对象构成的集合,每个对象又有m 个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原始数据矩阵: 2.极差正规化 ????? ?? ?????=nm n n m m x x x x x x x x x X 2 1 22221 11211
MATLAB在模糊数学教学中应用示例
摘要：作者探讨了在模糊数学教学中运用matlab软件来辅助课程教学的方法，并以示例积极推进可视化教学，提高了教学质量，其结果表明教学效果明显. 关键词： matlab 模糊数学教学效果 自1965年扎德（l.a.zadeh）提出“模糊集合”的概念，模糊数学便作为一门新的数学学科诞生了.近五十年来，它的发展非常迅速，应用十分广泛.其理论和应用涉及社会科学、自然科学和思维科学诸多领域.在上世纪九十年代，国外应用模糊数学原理研制和推出了首批模糊家用电器，而现在，模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电饭煲、模糊空调机等已进入了国外千家万户，部分产品进入我国国内，由此可见，其应用前景是举世瞩目的.所以，学生学好模糊数学十分重要.另外，模糊数学在培养学生辩证唯物主义的认识论、方法论，教学素养和应用能力等方面也有着良好的教育功能.由于模糊数学本身是系统化的，涉及的知识深广，使不少学生感到理论太复杂，太抽象，对所学内容难把握，易产生畏难情绪，仅仅通过板书讲授方式难以达到理想的教学效果.因而，加强实践教学是必不可少的一个重要环节.随着高校教学手段的改革，多媒体辅助教学法越来越受师生的欢迎，据统计，60%以上的高校都愿接受，其中数学软件matlab是评价最高的有效的数值和工程计算的软件.针对本科生课程的特点，结合matlab语言所独具的优势，本文着重介绍matlab在模糊数学中的实际应用示例，从而积极推进和改善可视化教学，强化教学效果.下面给出详细示例. 一、利用matlab建立隶属度函数的辅助教学 隶属度是模糊集的基本概念，也是模糊控制的应用基础，由此，正确构造隶属度函数是用好模糊控制的关键之一，而此概念对学生而言是一个抽象的概念，在授课过程中，将基本概念及原理给学生讲透的同时，充分利用计算机的表现能力会将抽象的东西具体化、形象化. 例1.设某污染河水中酚的含量t=0.0012mg/l，给定酚的水质分级标准为： 试建立各级水的隶属度函数. 二、利用matlab来计算λ―截矩阵的辅助教学 在模糊数学中模糊聚类分析法是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的一种方法，在分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间的深浅程度，λ―截矩阵在该分析法中是一个很重要的概念.其定义和计算如下： 三、利用matlab求解模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理.模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.求解模糊线性规划需要分别求出三个普通的线性规则，从而加上伸缩率后的普通线性规划进而添加新变量入和新的约束条件，求解模糊线性规划的具体方法如下： 结果：最优解为z=33.2，此时z=14.93. 以上示例仅是模糊数学中常见的一些问题求解，从中可以观察出，matlab在解决这些问题时简洁、灵活的特点，增强了学生对复杂问题了解时的直观性，缓解了教学课时偏少及当前实验室跟不上教学需求的困境；也让学生在课程学习的同时，轻松地学会一些编程问题，加深、加强了编程能力，使学生更能产生学习matlab及模糊数学的欲望，积极推进模糊数学的教学，使之更高效、更具利用价值. 参考文献： ［1］张驰.试论模糊数学的教育功能［j］.数学教育学报，1997，6，（4）:90-93. ［2］周维.高校“模糊数学”选修课教法初探［j］.淮南工业学院学报（社会科学版），
模糊数学的应用
第一部分模糊计算课后任务 找一些使用模糊数学作为基础的实际应用，并归类整理。对每种实际应用进行简单介绍，并形成文档。 模糊数学的应用 1、模糊模式识别 2、模糊聚类分析 3、模糊综合评价 4、模糊控制系统 5、模糊数学在决策中的应用 1、模糊模式识别 模式识别就是机器的识别，目的在于让机器自动识别事物。 一个典型的模式识别系统，由数据获取、预处理、特征提取和选择、分类决策以及分类器组成。一般分为学习过程和识别过程，通过这两个过程对未知类别进行分类。 在生活中有些模式的界限是不明确的，所以对于界限不明确的模式识别就称为模糊模式识别。模糊模式识别主要分为三个步骤： （1）、提取特征 （2）、建立标准类型模型 （3）、建立识别判决准则 例如：医疗诊断问题，通过病人的症状对病人进行诊断。 设病人集合为P={p1,p2,p3,p4},症状结合X={x1(发烧),x2(头痛),x3(胃疼),x4(咳嗽),x5(胸痛)},诊断结论的集合D={A1(病毒性感冒),A2(疟
疾),A3(伤寒),A4(胃病),A5(胸部问题)}。通过专家经验数据，可以得到症状与诊断结果的关系，然后通过数据关系建立症状与诊断结果的标准模型，最后经过判别准则对新的病人进行诊断。这里判别准则大致有以下几种，最大隶属度原则、阈值原则、折近原则等等。 2、模糊聚类分析 “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行区分和分类，传统的聚类分析是一种硬划分，他把每个待分类的对象严格的划分到某类中，即划分界限是明确的。生活中对象大多数都没有明确的界限划分，所以，需要利用模糊集的理论来对对象进行分类，这种聚类分析叫做模糊聚类分析。常用的模糊聚类分析大致分为两类，其一是基于模糊关系（矩阵）的聚类分析，其二是基于目标函数的聚类分析。 基于模糊关系的聚类分析：即利用模糊集合之间的相似程度来对对象进行分类，大致步骤为： （1）、数据规格化 （2）、构造模糊相似矩阵 （3）、模糊分类 数据规格化的方法有： （1）标准化方法 （2）均值规格化方法 （3）中心规格化方法 （4）最大值规格化方法