线性代数北京邮电大学出版社戴斌祥主编习题答案

线性代数习题及答案

（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编

习题一 （A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)...321； (4) 13 (2)

1)(2n )(2n

2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n

1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n

1)=

(1)

2

n n ; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n

2)…2)=0+1+…+(n

1)+(n

1)+(n

2)+…+1+0=n (n

1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意.

所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234()

11223344(1)

j j j j j j j j a a a a τ-

由题意有：232,

4.j j ==

故1234141243

243241j j j j j j ?==?

?

D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-

即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；

解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)

6(1)(1)1τ-=-=

所以该项带正号。 （2）324314516625a a a a a a

解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-=

所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200

001030000004

； (2)

1230

002030450001

. （3

）

0100002

0001000

n n -

【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,112

10

n n

n ij a a a n a n a -=??=???

?=-??=?=??其余

所以

12

()112233(2341)

122334

1,1

1

1(1)(1)(1)

123(1)(231)1

(1)!

n j j j n j j j njn n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-?????-?=-=-?

6. 计算下列各行列式.

(1)

2

141312112325062-----； (2) ab

ac ae bd

cd

de bf

cf

ef

-------； (3)

1

001100110

1a b c d ---； (4)

1234234134124123

.

【解】(1) 12

5

0623121012325

62

r r D

+---=--;

(2) 1

11

41

11111

D abcdef abcdef --==------;

21

011

111(3)(1)1

1

10

1100

1

011;

b c D a a b cd c c d d d

d abcd ab ad cd --?--?

=+-=+++--????=++++ 32122113

314214

41

210234

10

234

102

3410341011

30

113(4)160.1041202220

04

410123

111

4r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

=

==-------

7. 证明下列各式.

(1) 22

3

22()111

a a

b b a a b b a b +=-；

(2)

222222222

2

2

2

2

2

2

2

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；

(3) 2

3

2

2

322

32

111()111a a a a b

b ab b

c ca b b c c c c =++ (4) 2000

(

)000

n n a b

a b D ad bc c d c

d

=

=-； (5)

1211

111

111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++??=+ ???+∑∏. 【证明】(1)

13

23

2

2

3()()()2()2001()()()()()2()

2

1

c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b

--+--=

--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 32

21

3142

41

222

2-2-2

232

2

21446921262144692126

02144692126214469

2126

c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c

d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

23232

3

2

3

11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

2

22

1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c

c ++---=++

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

2

3112

32

3

1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得

22(1)2(1)2(1)00

00

00

(),

n n n n a

b a

b

a b

a b

D a

b

c d

c d

c d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=?-?=-

据此递推下去，可得

222(1)2(2)

112()()()()()()n n n n n n

D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-=

=-=--=- 2().n n D ad bc ∴

=-

(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.

当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明

阶数为n 时结论也成立.

按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：

112

21

12

111110111

11110111111101

11

1

1

1

1

.

n n n

n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=

+

+=+

但由归纳假设

1112

1111,n n n i i D a a a a ---=??+= ???

∑ 从而有

112

1121112

1111

111111.

n n n n n i i n n n

n n i i i i i i D a a a

a a a a a a a a a a a a ---=-===??

+=+ ?

??

?

???++== ? ????

?∑∑∑∏

8. 计算下列n 阶行列式.

(1) 1

11111

n x x

D x

=

(2) 1

2222

2222

2322

2

2

n D n

=；

(3)00

00

00

0000

n x y x y D x y y x

=

. (4)21000121000120000021000

12

n D =

.

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n

1),得

11

111[(1)]

,11

n x D x n x =+

-

将第一行乘（

1）后分别加到其余各行，得

11

11110[(1)]

(1)(1).0

1

n n x

D

x n x n x x --=+-=+---

(2) 21311

122221000

010100100201000

2

n r r n r r r r D n ---=

-按第二行展开222

2010

02(2)!.002

0000

2

n n =---

(3) 行列式按第一列展开后，得

1

(1)(1)(1)10000000000

000(1)0000000

(1)(1).

n n n n n n n n x

y y x y x y D x

y x y x y y

x

x y

x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-

(4) 210002000001000121

001210012100012000120001200000210002100021000

12

000

12

000

12

n D =

=

+

122n n D D --=-.

即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=

由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-+

+-=- 得

11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.

12121

2

111n n n n

a a a a a a D a a a ++=

+

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1

1n

i

i a

=+

∑，得

2323

23

123

111111,1

1n n

n

n i n i n

a a a a a a D a a a a a a a =+??

=++ ???

+∑ 将第一行乘（

1）后加到其余各行，得

2

311

10

10011.0

0100

1

n

n

n

n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???

∑∑

10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,

,i a i n ≠=）.

111

1

123222211

223322

221122

331

11112

3n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n

a a a a a

b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=

.

【解】行列式的各列提取因子1

(1

,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式. 312

1

2

3

2

2

2

2

3121

12

12311

113121231

12

11111()().

n n

n n n n n n n n n n n j i n n j i n i

j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ? ? ???

??

??

??

??

-= ???∏

11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D 的值。

解：D=

1112142122

24

3132

344142

44

12

01

a a a a a a a a a a a a -，132333438,7,2,10M M M M ==== 4

333

1

1323334313132323333343434567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8(1)27(1)02(1)1108141032.

i i i i D a M a M a M a M a M +=++++=-=-+-+-+-=-?-?+-??+-??+-??=---=-∑ 12. 用克拉默法则解方程组.

（1）12

12450,37 2.x x x x +=??-=? （2）12312

1

32,

21,4.x x x x x x x -+=??+=??-=?

(3) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (4)

12123234345

4556 1,

56 0,

56 0, 560,

5 1.

x x x x x x x x x x x x x +=??++=??

++=??++=?+=?? 【解】（1）因为1212

450

372x x x x +=??-=?

D =

45

4337

=--；D 1=

05

1027

=--；D 2=

40832

=

所以121210

8,.43

43

D D x x D D =

==

=- （2）因为12312

1

32

214x x x x x x x -+=??

+=??-=? D =[1(1)]2,3

11

11111

2003151

1012

r i i +-=--=

-=--- D 1=21

1

01

12

1

201201361

40

1611-==

=-----

D 2=12

1

12111

11

0011422

1410

2

2--=--=

=---

D 3=112

11

2

1

2103171

4

12

--=-= 所以

3121231347

,,.5

5

5

D D D x x x D D D =

==

=-=

=- (3)方程组的系数行列式为

11101110

131131

21110131

180;1210

52121101211

2

3

1401

2

3

1

2

3

D -------=

=

===≠----- 1234511015101111211118;

36;

2211

1211

3123032

3115011152111

2111

36;18.122112120

1

3

3

12

3

D D D D --====---=

==

=--

故原方程组有惟一解，为

312412341,2,2, 1.D D D D

x x x x D D D D

=

=======- 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212

,,,,.

66513335133665

D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=

13. λ满足什么条件时，线性方程组1231231

2321,

2,4553

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=?有唯一解？

解：D =[32(1)]

2

121

11104

5

5

4

5

c λ

λ

λλ

λ

---=--

=1

(1)

(1)(54)4

5

λλλλ--=-?+

要使方程组有唯一解，必须D 0≠，于是：(1)(54)0λλ-?+≠ 解得：1241,5

λλ≠≠-

当λ不等于1，4

5

-

时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组

1231231

230,0,20

x x x x x x x x x λμμ++=??

++=??++=? 有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

11

0,111

21

λμμ= 即

(1)0.μλ-=

故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.

15. 求三次多项式23

0123()f x a a x a x a x =+++，使得

(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====

【解】根据题意，得

0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.

f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=

这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于

012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=

故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为

23()752f x x x =-+

（B 类）

1. 已知n 阶行列式D 的每一列元素之和均为零，则D = 。 解： 令

D =

111211*********

12[1(1)]2122221

22

22,3,,121

2

n n n n n nn

r i n n

i n

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=++

+++

+++

+=

=

212221

2

0000n n n nn

a a a a a a =

2.D

3. 写出行列式D 4=

512

312123

122x x x x x

x

的展开式中包含3

x 和4

x 的项。

解：令D 4=

512

312123

122x x x x

x

x

=

11121314212223243132333441

42

43

44

a a a a a a a a a a a a a a a a =

12341234

()11223344(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑

比较可得：只有当12341234j j j j =时，才能出现4x 项，当12342134,4231j j j j =时，为3

x 项，

故4D 中含4x 项为：4

10x + 含3

x 项为：(2134)

(4231)31221334414223341(1)(1)5a a a a a a a a x ττ-+-=-。

4. 已知4阶行列式D 4=

1234

334415671122

，试求41424344A A A A +++，其中4(1,2,3,4)j A j =为

行列式D 4的第4行第j 列的元素的代数余子式。

解：因为D 4=

1234

334415671122

所以414243441234

334415671111

A A A A +++=

[1(1)]412,3,4

1123

123

3011

(1)0111456

456

1000

c i i +-+==

=-

[41(4)]

5

5

11

1

23

11

(1)0

1

1(1)(1)

36

036

r +-+=-=------(6(3)) 3.=----=

5. 解方程1

22

221

2121111110.n

n n

n

n

n a a a a a a x a a a = 解：因D =

1

21211111112121212(1)(1)

111111111

1

1

1

10111n

n n n n n n n n n n

n

n

n

n

n

n n n n a a a a a a a a a a a a x

a a a x

a a a ------+?+---=

---

=122

11

1

1

2

11111

1(1)11

1n n n n n n

n n

a a a x a

a a +---?-------+

122221************

11

111

n n n n n n n n

n n n n

a a a a a a a a a a a a ---?---------

故由D =0可得：

1

(1)

n x +=-1222212111121212111121111

1

111

11111

1

111

1n n n n n n n n

n

n n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---?---?---------------

因为

121211111

1

121211*********

1

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---------=

---=1()n i j j i n

V a a ≤<≤=

-∏

所以(1)

x =-122221212111111

1()

n n n n

n

n i j j i n

a a a a a a a a a a a ≤<≤-------∏

6. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为

ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)

按题设有

11223

30,0,0,

ax by c ax by c ax by c ++=??

++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

11223

31101

x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.

习题二（A类）

1. 1. 设A=

1212

2121

1234

??

??

??

??

??

，B=

4321

2121

0101

??

??

--

??

??

--

??

，

（1）计算3A-B，2A+3B；

（2）若X满足A+X=B，求X；

（3）若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.

解：（1）3A-B=

3636

6363

33912

??

??

??

??

??

-

4321

2121

0101

??

??

--

??

??

--

??

=

1315

8282

37913

-??

??

??

??

??

。

2A+3B=

2424

4242

2468

??

??

??

??

??

+

12963

6363

0303

??

??

--

??

??

--

??

=

141387

2525

2165

??

??

--

??

??

??

。

（2）因A+X=B，则X=B-A，即

X=

4321

2121

0101

??

??

--

??

??

--

??

-

1212

2121

1234

??

??

??

??

??

=

3111

4040

1335

-

??

??

--

??

??

----

??

。

（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即

Y=2

3（A+B）=2

3

（

4321

2121

0101

??

??

--

??

??

--

??

+

1212

2121

1234

??

??

??

??

??

）=

5533

2

0202

3

1133

??

??

???

??

??

=

1010

22

33

44

00

33

22

22

33

??????????????????

。

2. 计算下列矩阵的乘积.

（1）[]11321023????

-??-??????=； （2）

500103120213????????-????????????

； （3） []32123410????

????????

； （4）

()11

121311

2

321

2223231

32333a a a x x x x a a a x a a a x ????

????????????????； （5） 11

121321222331

32

33100011001a a a a a a a a a ????????????????????

； （6） 1

2101

3

1010101210

0210

023********????

????-?

??

?????

-???

?

-????

. 【解】

(1) 32103210;6420963

0-??

??--?

???

-?

?-??

(2)531??

??-????-??; (3) (10);

(4) 33

222

111

222

333

12211213311323322311

()()()ij i

j

i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x

==++++++++=

∑∑

(5)111212132122222331

32

3233a a a a a a a a a a a a +??

??+????+??

; (6) 1

25

2012400430009??

??-????

-??

-??

. 3. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????

B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 2

2

()()-=-A+B A B A B 吗?

【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311??

??-=--????--??

AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A

B )≠A 2B 2.

4. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若2

=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y . 【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取2

001,000000????==??????0A A ,但A ≠0

(2) 令110000001-??

??=??????A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110????????????=≠=????????????-??????

A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y . 5. 计算：

（1）3

010001000??????

????

；（2）cos sin sin cos k

θθθθ????-??（k 为正整数）； （3）1

01k

λ??

???

?

（k 为正整数）. 解：（1）3

010001000??????????=010001000??????????010001000??????????010001000??????????=001000000??????????010001000??

????????

=33000000000?????=??????

O 。 （2）令D k =cos sin sin cos k

θθθθ??

?

?-??

（k 为正整数），则当k =2时，

D 2=cos sin sin cos θ

θθ

θ???

?-??cos sin sin cos θ

θθθ????-??=cos 22sin cos 2sin cos cos 2θ

θθθθθ??

??-??

=cos 2sin 2sin 2cos 2θ

θθθ??

?

?-??

；

设D m =cos sin sin cos m m m m θθθθ??

?

?-??成立，则 D m +1=cos sin sin cos m m m m θ

θθ

θ??

?

?-??

cos sin sin cos θ

θθθ??

??-?

?

=cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin m m m m m m m m θθθθθθθθθθθθ

θθθθ-+??

?

?---??

=cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)m m m m θ

θθθ++??

?

?-++??

. 故有：D k =cos sin sin cos k

θ

θθθ???

?-??=cos sin sin cos k k k k θθθ

θ??

??-??

. (3) 令D k =1

01k

λ

??

?

???

（k 为正整数），则 当k =2时，有：

D 2=101λ???

???101λ??????=1021λ?????

?；

假设D m =101m

λ??????=101m λ??

????

成立，则

D m +1=101m λ??????101λ??????=1

0(1)1m λ????+?

?；

故有1

01k

λ

???

???=101k λ??????

。

6. 设a b c d b

a d

c c

d a b d

c

b

a ????--?

???--??--??

A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为

22222222()

()a b c d b a d

c a b c

d a b c d c d a b d

c

b

a *???

?--??-+++=-+++??--??--??

A =A 又因为*A A =A E ，所以有

22222()a b c d -+++A =A E ，且0

即 4

2

2

2

2

2

2

2

2

24

()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有

2

2

2

22

()a b c d ==-+++A . 7. 已知线性变换

112112212321331233

232,3,232,2,45;3,

x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+????=-++=+????=++=-+?? 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知

112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ????

????????===-??????????????????-????

????????===????????????-??????

-??

??==-????--??

X AY Y Bz X AY ABz z,

从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为

112321233

12342,

1249,1016.

x z z z x z z z x z z z =-++??

=-+??=--+? 8. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数典型例题

线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

线性代数典型例题

线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数试卷及答案

《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数习题及解答

线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)