专科一组 数学建模

手机“套餐”优惠几何的层次分析模型

摘要：层次分析法是一种多方案或多目标的决策分析方法，它能够合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。本文利用层次分析法的思想来综合比较手机资费组合方案（套餐），并且使用层次分析模型，利用穷举法和Mathematic软件设计出了比现行手机资费组合方案更合理的方案。

关键词：层次分析评价权向量数学模型

一问题重述

手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长。手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京等地的移动和联通两大运营商都相继推出了许多形式的“套餐”，让人眼花缭乱。人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？基于此，我们建立数学模型分析研究下列问题：

（1）给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？

（2）提出我们对各种资费方案的评价准则和方法，拒此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准分析、比较，并给出评价。

（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。我们又如何评价这个方案？

（4）如果移动公司聘请我们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 我们会考虑哪些因素? 根据我们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个更为合理的“套餐”方案。

二模型假设

（1）假设一用户选定一种方案后，其本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值恒定。

（2）假设用某种“套餐”同一层次方案的用户的平均话费与此层次方案的基本月租费相同。

三符号说明

s为赠送的本地主叫时间（分钟数）；

/

s为赠送本地通话时间（分钟数）；

s为套餐赠送通话时间（分钟数）；

i

u为某套餐的使用人数；

i

f为资费费率；

i

J为套餐各层次的基本费；

i

t一个月本地主叫分钟数；

1

t为长途主叫分钟数；

2

t为赠送本地通话时间内的被叫分钟数；

3

p是指本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值。

四 模型的建立及求解

1、对问题（1）的解答：

由统计材料可得以下的比例图，从中我们可以看出讨论“套餐”时，本地通话是影响“套餐”设计的主要因素。因此建立模型时，主要考虑本地通话。

我们通过对两种“套餐”的仔细分析，得出该题需要对套餐中的每个档次进行时间段的划分。对此我们有以下结果：

方法一：国内IP 长途资费相同，在不考虑IP 长途的情况之下有： 针对北京和上海这两种“套餐”，北京移动公司全球通“畅听99套餐”所提供的服务是赠送本地主叫免费时间，本地被叫全免，而超出各种套餐部分后，本地主叫资费不同，套餐月基本费越高，本地主叫资费越低，而这个“套餐”的不同方案的国内IP 长途资费相同，其它服务相同的情况下，将考虑哪种套餐对我们更优惠。

根据统计资料中北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的数据，影响用户费用的是本地主叫分钟数，假设某用户一个月本地主叫分钟数为1t ，有： （1）当1t ≤280时，月基本费为99元的“套餐”适合用户使用。 （2）当280＜1t ≤560时，满足（1t -280）*0.35+99≤139。

即： 1t ≤395，当280＜1t ≤394.3时，月基本费为99元的“套餐”适合用户使用。 当394.3＜1t ≤560时，月基本费为139元的“套餐”适合用户使用。 （3）当560＜1t ≤1000时，满足（1t -560）*0.25+139≤199。

得：1t ≤800，即：当560＜1t ≤800时，月基本费为139元的“套餐”适合用户使用。

当800＜1t ≤1000时，月基本费为199元的“套餐”适合用户使用。 （4）当1000＜1t ≤2000时，满足（1t -1000）*0.2+199≤299。

得：1t ≤1500，即：当1000＜1t ≤1500时，月基本费为199元的“套餐”适合用户使用。

当1500＜1t ≤2000时，月基本费为299元的“套餐”适合用户使用。 （5）当1t >2000，月基本费为299元的“套餐”适合用户使用。

根据统计资料中上海移动公司“全球通68套餐”方案的数据，影响用户费用的是主被叫，现设某用户一个月中超过本地通话资费后，360分钟以外的本地主叫分钟数为

1t ，被叫分钟数为3t 。

（1）使用68元/月的“套餐”时，1t *0.18+3t *0≤128。

即1t =333分钟，则当一个月接打电话超过360分钟时，且之后本地主叫分钟数小于333分钟，就适合用68元/月的“套餐”。

（2）使用128元/月的“套餐”时，1t *0.16+3t *0≤188。

即1t =375分钟，则当一个月接打电话超过360分钟时，之后本地主叫分钟数大于333分钟，且当一个月接打电话超过800分钟时，之后本地主叫分钟数小于375分钟，就适合用128元/月的“套餐”。

（3）当一个月接打电话超过800分钟时，且之后本地主叫分钟数大于375分钟，就适合用188元/月的“套餐”。

方法二：在考虑IP 长途的情况之下有： 模型要考虑赠送本地主叫时间（分钟数）（北京）和本地通话时间（上海）。设每种套餐每个档次的通话费用为m 。

对于前者，我们令J 为月租、1t 为本地主叫时间、s 为赠送的本地主叫时间，不考虑被叫（被叫免费），2t 为长途主叫时间、1f 为本地主叫费率、2f 为长途主叫费率。

其资费计算模型为：???>+-+≤≤+=)......()()0.......(..........

12211122s t t f f s t J s t t f J m （1）

此式为北京套餐各方案的计算方法，对于不同的方案计算如下： 根据统计资料中其月租的不同将其分为四个方案：

方案一：???>+-+≤+=)280......(1.035.0)280(99)280.......(..........

1.09912112t t t t t m

方案二：???>+-+≤+=)560......(1.025.0)560(139)560.......(..........

1.013912112t t t t t m

方案三：???>+-+≤+=)1000......(1.02.0)1000(199)1000.......(..........

1.019912112t t t t t m

方案四：???>+-+≤+=)2000......(1.015.0)2000

(299)2000.......(..........

1.029912112t t t t t m

显然对于这四个方案，它们适应于不同（通话量）需求的用户，那么针对不同需求

的用户，就此“套餐”的上面四个方案分别适应于什么样的用户呢？对于这个问题我们想到两个相邻的方案转度时会出现一个临界点，这个点就是它们适应人群的划分点，对此我们用主叫时间来表示这个临界点。假设这四个方案的临界点分别为：/

1t 、/

2t 、/

3t ，那么这三个点就可以将适应人群按照主叫时间分为A 、B 、C 、D 四类且主叫时间分别满足：/

1t t A ≤、/

2/

1t t t B ≤<、/3/2t t t C ≤<、D t t

3。

下面我们将/

1t 、/

2t 、/

3t 计算出来：

???

????+=+-++=+-++=+-+22/322/222/11.02991.02.0*)1000(1991.01991.025.0*)560(1391.01391.035.0*)280(99t t t t t t t t t 解得：/1t =394、/2t =800、/

3t =1500

即：上面的四种方案分别适应于一个月内的主叫时间在（0—394分钟）、（394—800分钟）、（800—1500分钟）和（1500分钟以上）的用户。

对于赠送本地通话时间的情况，设/s 为赠送本地通话时间、3t 为赠送本地通话时间内的被叫时间，令p 是指本地主叫分钟数与本地通话分钟数的比值，314t t t +=，由假设（1）知41pt t =，在模型（1）上稍做改动，得：

其资费计算模型为：?????>+-+≤+=)

......()().......(..........

/

422/11/422s t t f ps t f J s t t f J m

根据统计资料中其月租的不同将其分为三个方案：

方案一：???>+-+≤+=)360......(1.0)360(18.068)360.......(..........

1.068421142t t p t t t m

方案二：???>+-+≤+=)800......(1.0)800(16.0128)800.......(..........

1.0128422142t t p t t t m

方案三：???>+-+≤+=)1200......(1.0)1200(13.0188)1200.......(..........

1.0188423142t t p t t t m

与北京套餐适用用户群的计算方法相同，得：

/1t =333+3601p 2p 、/

2t =375+8002p

即：上海“套餐”的三种方案分别适用于一个月内主叫时间在（0--333+3601p ）、[（333+3601p ）--（375+8002p ）]和（375+8002p ）分钟以上的用户。

2、模型二：对问题（2）的解答：

层次分析法模型如下：

目标层

准则层

方案层

我们对各种资费方案（套餐）的评价准则有如下几点：

（1）公司发展。对于一个很有价值的资费方案，它应有利于公司的发展，主要包括公司利润和发展市场；

（2）价格。资费方案的价格，直接影响用户的满意度；

（3）忠实度。即用户忠实度表示用户用这种资费方案的稳定性； （4）适用性，即该资费方案是否符合当地实际情况。

对于如何确定备选方案针对准则层的因素的权向量，我们有以下处理：

对于可以计算具体数值的因素，我们先计算各方案的数值，然后根据其比例确定权向量。

对于不可以计算具体数值的因素，我们先作出方案层的对比矩阵，并进行一致性检验，然后计算出其权向量。

我们把以上准则抽象为我们模型的因素：

（1）公司发展。在这里我们只考虑公司利润，将其量化，由假设（2）得：

利润 L=∑

=n

i i

i i

i u s u J 1

L 表示利润对于公司毛收入成正比，与服务时间成反比。 （2）价格。将其量化，把其转化为对用户的优惠： 优惠 Y=∑=-n

i i i i u J s f 1)*(实

实

f 表示移动公司现行资费方案的费率。

（3）忠实度、适用性两个因素为不可量化因素。

我们选资费方案作为目标层，把这些因素作为准则层，把我们考虑的“套餐”方案作为方案层，从而可建立层次结构（下图）

目标层

准则层

方案层

?????????

??

???

???

???=135

1

2131171

51571325311A 计算得一致性比例CR=0.0288，CR<0.1从而A 是可以接受的。

利用和法可求得权向量为：

????

?

????

???=1333.00576.05681.02410.0W 综合得分为：T C C ),(21=?

?

?

???=?4597.05403.0*),(4221W ββ 因此，我们的评价准则考虑（公司发展，价格，忠实度，适用性）四个因素，利用层次分析，综合得分可知，北京方案优于上海方案。 3、对问题（3）的解答：

对北京移动公司2007年5月23日推出的全球通“被叫全免费计划”方案的评价。 用我们解（2）题中的模型进行评价是可以的，在这里不一一求出其权重，只是依据我们对各种资费方案的评价准则和方法对其进行评价和权重的相对估计。北京全球通“被叫全免费计划”方案从表面上来说，其被叫免费，就导致公司利润相对降低，但是其优惠措施会吸引更多的用户入网；再者被叫免费是通信以后发展的趋势，这就导致公司有良好的发展前景，且用户增多，公司利润总量也不会降低太多。

综合起来考虑，也就是说此方案在公司发展这一准则上的权重比移动公司现行的资费方案的要高；对于第二个准则价格，即对用户的优惠程度其权重显然比现行的资费方案要高；对于第三个准则用户的忠实度，即用户在网的稳定性，此方案的“用户至少在网一年”这一要求显然提高了用户在网的稳定性；最后，对于第四个准则适用性，全球通“被叫全免费计划”方案是根据北京的实际情况进行设计的，其在北京的适用性肯定比移动公司现行的资费方案在北京的适用性要强。

综上可得北京全球通“被叫全免费计划”方案与移动公司现行的资费方案相比要优越。这里还要说明的是我们说北京全球通“被叫全免费计划”方案与移动公司现行的资费方案相比要优越是相对于北京来说的，因为地域适用性是对资费方案评价的重要准则，对于其它地区来说此方案的适用性就可能不是很好了。 4、对问题（4）的解答：

对于第（4）个问题我们在模型二的基础上采用层次分析法的逆向思维进行考虑，通过模型二我们知道如果一个方案在模型二里的权重较高，那么就说明这个方案较好，也就是说一个优越的方案的权重是很高的，要使其权重高用逆推方法考虑影响其权重的因素；这些因素也就是我们对资费方案的评价准则，然后再细分，找出其影响因素。

我们将四个准则综合起来考虑，量体裁衣，深入了解所针对的客户群，只有这样才能得到一个适用性较好的方案，要考虑当地信息消费情况和竞争状况，因为这些因素会影响公司的发展前景；另外还要考虑网络资源的合理利用性，网络资源的合理利用可以实现公司和用户都利益最大化。总而言之我们考虑的因素主要有以下几个方面：信息市场现状分析、客户群体现状分析、网络资源的合理利用。

根据以上分析，我们设计方案如下。

首先我们考虑对于一个资费“套餐”组合应该满足：

????

?

>=-+>++)

2(*)1(),...,3,2,1.(..............................11 i i i i i i

i J f s n i f J J s s 实

第（1）式是对“套餐”的基本月租费的基本要求；

第（2）式意味着“套餐”具有对用户优惠和有吸引力的特点；

根据北京和上海的实际情况，将营运商的收入降低不超过10%的条件下，利用穷举法并结合层次分析模型进行求解。利用穷举法计算发现比北京方案更合理的方案很多，最后我们选取了一个用层次分析法模型得分最高的方案。以北京“套餐”方案为基础用Mathematica（见附件）得出一个较优方案如下表所示。

为：

a.b{{0.495332},{0.504092}}，说明我们的方案比北京“套餐”方案更优。

用同样的方法，也可以得到与上海实际情况相符合的较优方案。

五模型评价及推广

评价：我们结合对附件1：关于2006年中国通信的统计资料的分析采用层次分析法所建的手机“套餐”模型充分考虑了营运商与用户利益最大化的因素，得到的结果优于现行方案，但是我们仅就四个主要资费方案进行评价。对些诸如：特色服务的评价准则未做更深入的讨论。

推广：该模型还可适应于企业对用户有不同要求的产品设计等具有多目标混合决策问题的解决。

参考文献

[1] 刘锋，《数学建模》，南京大学出版社，2006.4

[2] 徐安农，《Mathematica数学实验》，电子工业出版社，2005.6

附件

权向量计算（matlab）

n=6;

ri=1.24;

W=[0,0,0,0,0,0];

C=[0,0,0,0,0,0];

A=[1,2,3,4,5,7;

1/2,1,1,3,5,6;

1/3,1,1,2,3,5;

1/4,1/3,1/2,1,2,3;

1/5,1/5,1/3,1/2,1,2;

1/7,1/6,1/5,1/3,1/2,1];

[V,D]=eig(A);

lamb=max(max(D));

ci=(lamb-n)/(n-1);

cr=ci/ri;

for i=1:n

aij=0;

for j=1:n

akj=0;

for k=1:n

akj=akj+A(k,j);

end

aij=aij+A(i,j)/akj;

end

W(i)=(1/n)*aij;

end

WW=W';

n 4;u 1 0.15;u 2 0.5;u 3 0.2;u 4 0.15;f s 0.4;J 1 J1;J 2 J2;J 3 J3;J 4 J4;s 1 s1;s 2 s2;s 3 s3;s 4 s4;

Y

i 1

n

f s u i s i J i Print "Y ",Y

Y 0.15J10.5J20.2J30.15J40.06s10.2s20.08s30.0

计算区别度：

穷举法

99___126___180___

我们方案比北京套餐方案的比较